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设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2}，出生率 λ₀=1, λ₁=2（λ₂=0），死亡率 μ₁=2, μ₂=1。若其平稳分布 {π₀, π₁, π₂} 存在，则 π₁=____。
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设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/3, 0, 2/3]]，则该链的平稳分布中 π₃ 等于 A. 3/13 B. 4/13 C. 6/13 D. 2/13
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/4, 3/4]]。利用 C-K 方程计算三步转移概率，则 p₂₂⁽³⁾ = ____。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间 I={0,1,2}，一步转移概率为 P(0,0)=1/2, P(0,1)=1/2, P(1,0)=1, P(2,1)=1，其余为 0。则状态 0 的周期 d 为（ ）。 A. d=1 B. d=2 C. d=3 D. d=∞
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [1/2, 1/2, 0], [0, 0, 1]]。由 C-K 方程，两步转移概率 p₂₂⁽²⁾ = ____。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间 I={0,1,2}，一步转移概率为 P(0,1)=P(1,2)=P(2,0)=1，其余转移概率均为 0。试求状态 0 的周期 d，并判断极限 lim(n→∞) P⁽ⁿ⁾(0,0) 是否存在；若存在，求其值。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 服从均值为 2 的指数分布，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理，lim(t→∞) m(t)/t = ____。
设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,6)、(5,10)。在 x₀=3 处作局部线性回归（局部一次多项式拟合），核函数取三角核 K(t)=(1−|t|)·1{|t|≤1}，带宽 h=2，即各点的权为 wᵢ=K((xᵢ−x₀)/h)，通过最小化加权平方和 ∑ᵢ wᵢ(yᵢ−β₀−β₁(xᵢ−x₀))² 求得估计。则拟合值 ŷ(3)=β̂₀ 为：A. 4.75 B. 4.50 C. 5.00 D. 5.25
设某电子元件的使用寿命 X 服从参数为 λ=1/2 的指数分布，将损坏的元件立即更换，N(t) 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。请写出 m(t) 满足的更新方程，并利用更新方程求出 m(t) 的表达式。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布于区间 (0,2) 上的均匀分布。记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命，A(t) 为时刻 t 的年龄。由更新极限定理，lim(t→∞) E[γ(t)] = ____，lim(t→∞) E[A(t)] = ____。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，其间隔时间 X₁, X₂, … 独立同分布且均非负，第 n 个更新时刻为 Sₙ = X₁+…+Xₙ。则对任意 t≥0，计数函数 N(t) 的正确刻画是： A. N(t) 表示时刻 t 恰好发生一次更新 B. N(t) 是满足 Sₙ≤t 的最大 n，即 N(t) = max{n≥0 : Sₙ≤t} C. N(t) 表示时刻 t 之后的更新次数 D. N(t) 关于 t 单调递减且取值连续
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=3 的泊松过程，则对任意 s<t，增量 N(t)-N(s) 的分布为（ ） A. 参数为 λt 的泊松分布 B. 参数为 λ(t-s) 的泊松分布 C. 参数为 λs 的泊松分布 D. 参数为 t-s 的二项分布
设 {N(t), t≥0} 是泊松过程，已知单位时间内平均到达次数为 3，且到达间隔相互独立服从同一指数分布。记 W₁ 为第一次到达时刻，则 P(W₁ > 0.5) = ____（保留四位小数）。
在非参数回归中，设模型 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i=1,…,5），x₁<…<x₅，采用 Nadaraya–Watson 核权光滑器 m̂(x) = ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)Yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，K 为对称核密度函数，带宽 h>0。已知 Y₁=2，Y₂=4，Y₃=7，Y₄=9，Y₅=11。该方法不预设 m(x) 的参数形式，仅假定其具有某种光滑性。当带宽 h→0 时，m̂(x₃) 收敛于 ____；当带宽 h→∞ 时，m̂(x₃) 收敛于 ____。
设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=1 的泊松过程，且 N(0)=0。由泊松过程具有独立增量与平稳增量性质，概率 P{N(1)=1 且 N(3)=3} = ____（用 e 的幂表示）。
设参数集 T={1,2}，样本空间 Ω={ω₁,ω₂}，P({ω₁})=P({ω₂})=1/2。对每个 t∈T 在 Ω 上定义实值映射，考察下列四个随机变量族： ① X(1,ω₁)=0，X(1,ω₂)=1；X(2,ω₁)=1，X(2,ω₂)=0； ② Y(1,ω₁)=Y(1,ω₂)=0；Y(2,ω₁)=Y(2,ω₂)=2； ③ Z(1,ω₁)=1，Z(1,ω₂)=2；Z(2,ω₁)=3，Z(2,ω₂)=√5； ④ W(1,ω₁)=0，W(1,ω₂)=1/2；W(2,ω₁)=−1，W(2,ω₂)=3/4。 现规定状态空间 S={0,1,2}。按随机过程的定义（对每个固定的 t∈T，X(t,·) 是定义在 Ω 上的随机变量，且取值于状态空间 S），依次判断上述四个随机变量族中哪些构成以 S 为状态空间的随机过程，哪些不构成，并说明不构成的理由。
设样本观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (0, 2)、(1, 5)、(2, 3)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，带宽取 h=1，核函数取均匀核 K(t)=1（当 |t|≤1），K(t)=0（当 |t|>1）。求 m̂(1) 的值。
设随机过程 X(t)=Z·t+W·e^(-2t)（t≥0），其中 Z 与 W 相互独立，Z 等可能地取值 1 和 3，W 服从区间 [0,2] 上的均匀分布。求该过程的均值函数 m_X(t) 与自协方差函数 C_X(t,s)。
设随机过程 {X(t), t∈[0,1]}，对其给出分布族候选：对每个 t∈[0,1]，一维分布函数为 F(t; x)=x²（0≤x≤1）；对任意 s<t 及实数 x, y，二维分布函数规定为 F(s,t; x, y)=F(s; x)·F(t; y)。（1）写出该过程全体有限维分布的定义式（对任意正整数 n 及 0≤t₁<…<tₙ≤1，给出 n 维联合分布函数的表达形式）；（2）按此二维分布的规定，说明该有限维分布族是否满足相容性定理要求的相容性条件，即验证对任意 s<t 及 x, y，F(s; x)=F(s,t; x, +∞) 是否成立，并给出理由。
设 {X(t), t≥0} 为一随机过程，给定其有限维分布族候选形式：对任意正整数 n 及任意 0≤t₁<…<tₙ，规定 (X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布函数为 F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ)=F₁(t₁; x₁)·F₁(t₂; x₂)·…·F₁(tₙ; xₙ)，其中 F₁(t; x) 为一维分布函数族。按相容性定理，该分布族成为某个随机过程的有限维分布族，除要求每个 F₁(t; x) 是一维分布函数外，还须验证：对任意 m<n，n 维分布关于前 m 个分量的边缘分布（即将 x₍m₊₁₎,…,xₙ 取 ____）等于相应的 m 维分布。对于本题给定的乘积形式，该边缘分布恰等于 F₁(t₁; x₁)·…·F₁(t_m; x_m)，故此有限维分布族____相容性条件（第二空填“满足”或“不满足”）。