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设时间序列 {wₜ} 经单位根检验判定为二阶单整 I(2) 序列，序列 {vₜ} 判定为一阶单整 I(1) 序列。现考察线性组合序列 eₜ = wₜ − vₜ。完成下列填空：(1) {vₜ} 的一阶差分序列 {Δvₜ} 的单整阶数为________；(2) {wₜ} 的一阶差分序列 {Δwₜ} 的单整阶数为________；(3) 由于 eₜ 中 wₜ 的单整阶数高于 vₜ，线性组合 eₜ 的单整阶数由________（填 wₜ 或 vₜ）决定，即 eₜ 为 I(____) 序列；(4) 由单整阶数判断，{wₜ} 与 {vₜ} 之间________存在协整关系（填可能或不可能）。
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设对四元VAR系统 y_t=(u_t, x_t, z_t, w_t)' 进行Johansen协整检验（迹统计量法，5%显著性水平），各原假设对应的迹统计量与5%临界值分别为：H0: r≤0 时迹统计量 52.6，临界值 47.86；H0: r≤1 时迹统计量 29.4，临界值 29.80；H0: r≤2 时迹统计量 13.1，临界值 15.49。（1）写出在各步检验中应比较的对象，并逐一判断能否拒绝原假设；（2）据此确定该系统的协整秩 r；（3）说明在对应的VECM模型中应包含几个协整关系方程。
设三维时间序列 yₜ=(y₁ₜ, y₂ₜ, y₃ₜ)′ 服从 VAR(2) 模型：yₜ = c + A₁yₜ₋₁ + A₂yₜ₋₂ + εₜ，其中 c 为 3×1 截距向量，A₁、A₂ 为 3×3 系数矩阵，εₜ 为白噪声向量，模型不含趋势项。请写出该模型第一个方程的一般形式，并计算三个方程中待估系数的总个数。
设时间序列 {y_t} 满足 y_t = ρy_(t-1) + u_t，其中 u_t 为白噪声。为检验 y_t 是否存在单位根，将其改写为DF回归式 Δy_t = γy_(t-1) + u_t，其中 γ = ρ − 1。(1) 写出DF检验的原假设 H₀ 与备择假设 H₁，并说明 H₀ 成立时序列的平稳性状态；(2) 若根据容量 T=120 的样本估计得 γ̂ = −0.62，对应DF检验统计量 t = −4.80，且5%显著性水平下的DF临界值为 −1.95，请判断在5%水平下能否拒绝原假设，并说明 y_t 是否为平稳序列。
某景区季度游客量序列（周期 s=4）经模型识别，需作一次一阶差分（d=1）与一次周期为 4 的季节差分（D=1）后方为平稳；差分序列呈现非季节移动平均滞后 2 阶（q=2）、季节自回归滞后 1 阶（P=1），且无非季节自回归项（p=0）与季节移动平均项（Q=0）。记滞后算子 B 满足 B^k y_t = y_(t−k)，季节差分算子 ∇_4 = 1 − B^4，一阶差分算子 ∇ = 1 − B。请写出该序列对应的 SARIMA 模型的完整记号，并用滞后算子多项式形式写出模型表达式（自回归多项式 Φ(B^s) = 1 − Φ₁B^s，移动平均多项式 Θ(B) = 1 + θ₁B + θ₂B²），同时指出该模型共含几个待估系数。
设某商品日销量序列经一阶差分后得到序列 zₜ，zₜ 满足自回归模型：zₜ = εₜ + 0.3zₜ₋₁ − 0.5zₜ₋₂，其中 εₜ 为白噪声序列。请写出原销量序列 xₜ 所适合的 ARIMA 模型的完整记号，并说明其结构中自回归阶数 p、差分阶数 d、移动平均阶数 q 各为多少。
设 AR(2) 模型 X_t = 0.6·X_{t-1} − 0.1·X_{t-2} + ε_t，其中 {ε_t} 为白噪声，方差 σ²=4。已知 X_50 = 6，X_51 = 4。（1）用最小均方误差准则求 X_52 的点预测值及该预测的均方误差；（2）在正态误差假设下，求 X_52 的 95% 预测区间（取 z_0.025 = 1.96）。
设汇率序列 eₜ 与国内外物价差序列 pₜ 均为 I(1) 序列。研究者用 Engle-Granger 两步法检验二者是否协整：第一步以 OLS 估计 eₜ = α + βpₜ + uₜ，得 α̂=0.2，β̂=0.8，残差平方和 SSR=45（样本量 T=100）；第二步对残差 ûₜ 做不含截距的 ADF 检验，得 ADF 统计量为 -3.42。已知 EG 检验在 T=100、双变量情形下 5% 临界值为 -3.37。（1）写出第一步拟合的协整回归式；（2）计算残差方差的估计值 σ̂² = SSR/(T-2)；（3）在 5% 水平下判断 eₜ 与 pₜ 是否协整并说明理由。
设某地区季度出口额 eₜ 与贸易伙伴国 GDP 水平 gₜ 均为一阶单整 I(1) 序列。采用 Engle-Granger 两步法检验 eₜ 与 gₜ 是否存在协整关系：第一步用 OLS 估计回归 eₜ = α + βgₜ + uₜ，得 α̂ = 12.5，β̂ = 0.86；第二步对残差 ûₜ 进行不含截距项的 ADF 检验，得到 ADF 统计量 t = −3.92。已知 5% 显著性水平下 EG 协整检验临界值为 −3.34，10% 显著性水平下临界值为 −3.04。请判断在 5% 显著性水平下 eₜ 与 gₜ 是否协整，并说明残差 ADF 检验的原假设与判断依据。
设二维时间序列 y_t=(y₁t, y₂t)′ 服从 VAR(1) 模型：y_t = c + A₁y_{t−1} + ε_t，其中 c = (2, 1)′，A₁ = [[0.5, 0], [0, 0.8]]，ε_t 为白噪声。若该模型平稳，求序列的长期均值 μ = E(y_t)。（提示：由 μ = c + A₁μ 求解）
设某经济序列 yₜ 的样本数据已中心化。研究者分别建立两类单位根检验：模型一为 ADF 检验，回归式为 Δyₜ = α + ρyₜ₋₁ + ΣγᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ（含两阶滞后差分项）；模型二为 PP 检验，在无滞后差分项的回归 Δyₜ = α + ρyₜ₋₁ + uₜ 基础上，用非参数方法对统计量进行修正。估计结果为：ADF 检验的 t 统计量 T₁ = -1.72，PP 检验修正后的统计量 T₂ = -3.65。在 5% 显著性水平下，两检验对应的单位根临界值均为 -2.89。请分别计算各统计量与临界值之差，并据此判断 ADF 检验与 PP 检验在 5% 水平下是否拒绝存在单位根的原假设。
设随机序列 {ε_t} 满足：各 ε_t 相互独立，且对任意整数 t，E(ε_t)=0，Var(ε_t)=0.8。请根据白噪声序列的定义，逐一验证 {ε_t} 是否为白噪声序列，并说明理由。
某城市月度用电量序列的周期 s=12。经模型识别，序列经过一次一阶差分（d=1）与一次周期为 12 的季节差分（D=1）后平稳，差分序列呈自回归滞后一阶（p=1）、移动平均滞后一阶（q=1）、季节自回归滞后一阶（P=1）、季节移动平均滞后一阶（Q=1）的特征，且季节自回归参数 Φ₁ 与季节移动平均参数 Θ₁ 均不退化为 0。请写出该序列所对应的 SARIMA 模型的完整阶数记号，并据此写出其差分算子的多项式表达式 (1−B)^d (1−B^s)^D。
设时间序列 {Yₜ} 服从 ARIMA(2,1,0) 模型，即 (1−0.3B−0.2B²)(1−B)Yₜ = εₜ，其中 B 为滞后算子，εₜ 为白噪声。请先将左端两个多项式相乘展开，再把该模型整理为 Yₜ 关于自身滞后值与白噪声项的等价形式，写出展开后的表达式，并说明该等价形式对应的自回归阶数。
设时间序列 {Yₜ} 经一阶差分后的序列 Xₜ = Yₜ − Yₜ₋₁ 满足平稳可逆的 ARMA(1,1) 模型：(1 − 0.8B)Xₜ = (1 − 0.5B)εₜ，其中 B 为滞后算子，εₜ 为白噪声。请将该模型改写为以 Yₜ 表示的等价 ARMA 形式，即求 (1 − 0.8B)(1 − B)Yₜ = (1 − 0.5B)εₜ 展开后 Yₜ 与其滞后项及白噪声项之间的关系式。
设某零均值时间序列有6个观测值，依次为 y₁=2, y₂=−1, y₃=0, y₄=−2, y₅=1, y₆=0。采用除以 n 的有偏估计计算样本自协方差函数 γ̂ₖ（k=0,1,2），并据此求样本自相关函数 ρ̂₁ 与 ρ̂₂；再由 Yule-Walker 递推求样本偏自相关函数 φ₁₁ 与 φ₂₂。
设平稳时间序列 X_t = ε_t − 0.8ε_(t-1)，其中 {ε_t} 为零均值白噪声且 Var(ε_t)=1。根据自相关函数的定义 ρ_k = γ_k/γ_0，其中 γ_k = Cov(X_t, X_(t+k))，请计算该序列的自协方差函数 γ_0 与 γ_1，并求出延迟一步的自相关函数 ρ_1 的精确值。
设零均值平稳时间序列 {X_t} 的自协方差函数为：γ_0 = 4，γ_1 = 2，γ_k = 0（k≥2）。按偏自相关函数的定义，φ_11 是用 X_(t-1) 对 X_t 做线性最小方差预测时对应的系数，即 φ_11 满足 φ_11·γ_0 = γ_1。请计算 φ_11 的值。
设 3×2 列联表的观测频数矩阵为 N = [[40, 20], [10, 30], [10, 10]]，行表示某品牌三个销售区域，列表示顾客的两个年龄段，样本总频数 n = 120。在对应分析的数据变换中：（1）求对应矩阵 P = N/n，并写出三个行边缘频率；（2）在 P 的基础上求行剖面（过渡）矩阵 R，其中 R 的第 i 行第 j 列元素为 r_ij = p_ij / p_i·（p_i· 为第 i 行的边缘频率），写出 R 的全部元素。
在某高校社团参与情况调查中，得到 3×3 列联表的观测频数矩阵 N = [[12, 18, 10], [16, 14, 20], [8, 8, 14]]（行表示年级三个类别，列表示社团类型三个类别），样本总频数 n = 120。按对应分析的数据变换方法：(1) 将列联表除以总频数 n 得到过渡矩阵 P = N/n；(2) 再用过渡矩阵 P 的每个元素除以对应行的和，得到行剖面矩阵，试分别写出 P 和行剖面矩阵。