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湘教版·数学（高中）高一上册《第5章 三角函数》练习题

共 27 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（6 个）

弧度制任意角的三角函数同角三角函数基本关系诱导公式三角函数的图象与性质函数y=Asin(ωx+φ)的图象

本单元练习题（27 题）

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1. 已知角 α 终边与角 1650° 的终边相同，角 β 的终边与角 −7π/3 的终边相同，则 sin α + tan β = ____；sin(α − 3π) = ____

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2. 某秋千装置简化模型中，摆绳末端点 P 在竖直平面内做小幅度摆动，某时刻摆绳与水平方向所成角为 α，且 α∈(π/2, π)。工程上已知该时刻 sin α + cos α = 1/5。若需要计算摆绳末端相对悬挂点的水平与竖直位移之比（即 tan α），试求 tan α 的值？

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3. 一根长1 m的测量杆与水平地面所成的角为θ，且θ为锐角，已知sinθ=3/5。测量杆在水平方向的投影长度是多少？

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4. 一台转动测量仪测量某杆沿固定方向的有向投影，读数模型为 s=18sin(π/2+θ) 米，其中 θ 为杆的转角。若 θ=2π/3，测量仪的读数是多少米？

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5. 角α的终边经过点P(−5,12)。若将点P沿过原点的射线放大为原来的2倍，所得点为Q，则sinα的值为（　） A. 12/13　B. 24/13　C. −12/13　D. 5/13

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6. 某港口一天中水深随时间变化的近似函数为 h(t)=3sin(πt/6−π/6)+5（单位：米），其中 t 表示从当天零时起经过的小时数（0≤t≤24）。若规定轮船进出港需水深不低于6.5米，问从零时算起，水深首次达到6.5米是第几个小时？

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7. 已知两个角的度数之和为 180°，且它们的弧度数之差为 π/6，则其中较大的角的度数为____°，较小的角的弧度数为____。

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8. 已知角 θ 满足 sinθ+cosθ=1/5，且 θ∈(0,π)，则 tanθ 的值为（　　） A. 3/4　B. 4/3　C. −3/4　D. −4/3

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9. 某海滨浴场的水深 h（米）随时间 t（小时，0≤t≤24）近似满足 h = 2sin(π/6 · t) + 4。该函数图象是正弦型曲线，请根据其周期性判断浴场水深的变化规律。这个水深变化的最小正周期是多少小时？

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10. 半径为 6 cm 的圆周上，动点先沿逆时针方向运动 7π cm，再沿顺时针方向运动 2π cm。以逆时针为正方向，动点的总转角为____弧度。

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11. 某转盘从起始位置沿顺时针方向转过圆周的 5/12，规定逆时针方向为正，则转过的角的弧度数为（　） A. −5π/6　B. 5π/6　C. −5π/12　D. −5π/3

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12. 求值：sin(−17π/6) + cos(−14π/3) =（　　） A. 0　B. 1　C. −1　D. 1/2

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13. 某角的弧度数是其角度数的 π/180 倍。一个角的角度数为 150°，其弧度数为____；另一个角的弧度数为 5π/4，其角度数为____°。

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14. 某旋转装置的竖直位移 y（单位：cm）随转角 θ（单位：rad）变化，满足 y=8sin(π+θ)。当转角为 π/6 rad 时，装置的竖直位移是多少？

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15. 在平面坐标系中，某旋转装置的转轴固定在坐标原点 O，臂长为 6 m，臂的端点为 P。射线 OP 与 x 轴正方向所成的角为 150°，按逆时针方向测量。此时点 P 的纵坐标是多少米？

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16. 函数 y = 2sin(3x) 的最小正周期为____。

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17. 已知角α的终边与单位圆交于点P（−√3/2，1/2），则sinα等于（　） A. −√3/2　B. 1/2　C. −1/2　D. √3/2

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18. 已知 x∈(π/2，π)，且 sin x=3/5，则 2sin(π+x)−cos(π/2−x)+sin(2π+x)=____。

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19. 某方向传感器以角 θ 表示指向，约定其竖直方向的归一化分量为 sinθ，水平方向的归一化分量为 cosθ。某次测量中 sinθ=5/13，且 θ∈(π/2，π)。该方向的水平方向归一化分量是多少？

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20. 某旋转测量臂长为8 m，转轴位于坐标原点。测量臂从x轴正方向出发，逆时针转过1230°后停止。以转轴为原点、x轴正方向为水平正向，测量臂端点的坐标是多少？

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21. 将函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1/2（纵坐标不变），再把所得图象向左平移 π/6 个单位长度，得到函数 f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0, ω>0, 0<φ<π/2）的图象，则 f(x) 的最小正周期为 ____，φ=____。

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22. 函数 y=2cos x−1 的值域是（　　） A. [−2,2]　B. [−3,1]　C. [−1,1]　D. [−3,3]

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23. 已知函数 f(x)=2sin(2x−π/3)，则 f(x) 在区间 [0, π/2] 上的最大值与最小值之和为（　） A. 2−√3　B. 2+√3　C. √3−2　D. 4−√3

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24. 函数 f(x)=2cos(2x−π/3)，则在区间 [0,π] 内，f 的一个最大单调递减区间是 A. [0,π/6]　B. [π/6,2π/3]　C. [2π/3,π]　D. [π/3,5π/6]

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25. 已知角 α 满足 cos α = 1/2，利用诱导公式求值：cos(π − α) = ____；sin(3π/2 − α) = ____。

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26. 函数 f(x)=3cos(x+π/2) 的最小正周期与最大值分别为（　） A. 2π，3　B. 2π，−3　C. π，3　D. π，−3

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27. 已知角α的终边经过点P(2, −2√3)，则 sinα=____，tanα=____．

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湘教版·数学（高中）其他单元练习题

第1章集合与逻辑（27题）第1章平面向量及其应用（27题）第1章导数及其应用（27题）第1章数（27题）第2章一元二次函数、方程和不等式（9题）第2章 三角恒等变换（27题）第2章空间向量与立体几何（27题）第2章平面解析几何初步（27题）第3章函数的概念与性质（27题）第3章概率（27题）第3章复 数（27题）第3章圆锥曲线与方程（27题）

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