考试考研数学（数二）上册《特征值与二次型》练习题

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本单元考点（5 个）

特征值与特征向量的计算相似矩阵与矩阵相似对角化实对称矩阵的对角化二次型及其矩阵表示正定二次型的判定

本单元练习题（9 题）

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1. 下列二次型中为正定二次型的是（　） A. f₁ = x₁² + 2x₂² + 2x₃² + 2x₁x₂ − 2x₂x₃ B. f₂ = x₁² + x₂² + x₃² + 2x₁x₂ + 2x₂x₃ C. f₃ = x₁² + 2x₂² + x₃² + 4x₁x₂ + 2x₂x₃ D. f₄ = −x₁² − 2x₂² − 3x₃² + 2x₁x₂

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2. 设二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²−2x₁x₂+2kx₂x₃，则 f 为正定二次型的充要条件是（　） A. −√3<k<√3　B. k>√3 或 k<−√3　C. −3<k<3　D. k<√3

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3. 设矩阵 A = [[2,0,0],[0,1,1],[0,0,1]]（上三角矩阵）。下列结论正确的是 A. A 可相似对角化，且相似于对角矩阵 diag(1,1,2) B. A 不可相似对角化，因为特征值 1 对应的线性无关特征向量只有一个 C. A² 一定可相似对角化 D. A 相似于单位矩阵

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4. 下列二次型中，正定的是（　） A. f(x,y,z)=x²+2y²+3z²+2xy+2xz B. f(x,y,z)=x²+2y²+3z²+4xy C. f(x,y,z)=x²+y²+z²−2xy−2yz−2xz D. f(x,y,z)=x²+2y²+z²+2xy+2yz

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5. 设二次型 f(x₁,x₂,x₃)=2x₁²+2x₂²+x₃²+2kx₁x₂，则 f 为正定二次型的充要条件是 k 满足（　） A. -2<k<2　B. k>2 或 k<-2　C. k=2　D. k 为任意实数

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6. 二次型 f(x₁,x₂,x₃)=2x₁²+x₂²−x₃²+4x₁x₂ 的矩阵 A 为（　） A. [[2,4,0],[4,1,0],[0,0,−1]]　B. [[2,2,0],[2,1,0],[0,0,−1]]　C. [[2,2,0],[2,1,0],[0,0,1]]　D. [[1,2,0],[2,2,0],[0,0,−1]]

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7. 二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₁x₂+4x₁x₃−6x₂x₃+3x₃² 的矩阵 A 为对称矩阵，则 A 中位于第2行第3列的元素 a₂₃ 等于 A. −6　B. −3　C. 3　D. 6

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8. 二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²−x₂²+2x₃²+2x₁x₃−4x₂x₃ 的矩阵 A 为（　） A. [[1,0,1],[0,−1,−2],[1,−2,2]]　B. [[1,0,2],[0,−1,−4],[2,−4,2]]　C. [[1,0,1],[0,1,−2],[1,−2,2]]　D. [[1,1,0],[0,−1,−4],[0,−4,2]]

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9. 设 λ₀ 是 n 阶矩阵 A 的特征值，ξ 是 A 的属于 λ₀ 的特征向量，则矩阵 (A+2E)² 的属于该特征向量的特征值为（　） A. λ₀²+4 B. (λ₀+2)² C. λ₀²+2λ₀ D. (λ₀+4)²

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