考试考研数学（数二）上册《向量与线性方程组》练习题

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本单元考点（5 个）

向量组的线性相关与线性无关极大线性无关组与向量组的秩线性方程组解的判定齐次线性方程组的基础解系非齐次线性方程组解的结构

本单元练习题（18 题）

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1. 设线性方程组 x+y+z=1，x+2y+3z=2，2x+3y+(a+4)z=4，其中 a 为实常数。该方程组无解的充分必要条件是（　） A. a=0 B. a=1 C. a=-1 D. a≠0

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2. 设齐次线性方程组 x₁+x₂=0，x₃+x₄=0，2x₁+2x₂+x₃+x₄=0 的解集为 V。下列向量组中，构成该方程组基础解系的是（　） A. (1,−1,0,0)，(0,0,1,−1) B. (1,−1,1,−1) C. (1,1,0,0)，(0,0,1,1) D. (1,−1,0,0)，(0,0,1,−1)，(1,−1,1,−1)

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3. 设向量组 α₁=(1,1,0)ᵀ，α₂=(0,1,1)ᵀ，α₃=(1,2,1)ᵀ，则该向量组线性____（填“相关”或“无关”），且满足关系式 α₃=____。

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4. 已知向量组 α₁=(1,1,0)ᵀ，α₂=(2,2,0)ᵀ，α₃=(1,0,1)ᵀ，α₄=(0,1,1)ᵀ，则该向量组的秩与一个极大线性无关组为（　） A. 秩为3，α₁, α₃, α₄ 是它的一个极大线性无关组 B. 秩为3，α₁, α₂, α₃ 是它的一个极大线性无关组 C. 秩为2，α₁, α₃ 是它的一个极大线性无关组 D. 秩为4，α₁, α₂, α₃, α₄ 线性无关

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5. 已知齐次线性方程组 x₁+2x₂−x₃=0, 2x₁+x₂+x₃=0, x₁−x₂+2x₃=0 的系数矩阵秩为2，则其基础解系所含解向量的个数为____。

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6. 已知向量组 α₁=(1,0,2)ᵀ，α₂=(0,1,1)ᵀ，α₃=(2,0,4)ᵀ，α₄=(1,1,3)ᵀ，其秩为 2。则下列向量组中，不能作为该向量组一个极大线性无关组的是（　） A. α₁, α₂ B. α₁, α₃ C. α₂, α₃ D. α₂, α₄

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7. 设向量组 α₁=(1,0,1)ᵀ，α₂=(0,1,1)ᵀ，α₃=(1,1,2)ᵀ，则下列结论正确的是 A. α₁, α₂, α₃ 线性相关 B. α₁, α₂, α₃ 线性无关 C. α₃ 可由 α₁, α₂ 线性表出，故该向量组线性无关 D. α₁+α₂−α₃ 是零向量，故该向量组线性无关

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8. 设向量组 α₁=(1,2,3)ᵀ，α₂=(2,3,4)ᵀ，α₃=(3,5,7)ᵀ，则该向量组线性相关还是线性无关？若线性相关，试写出它们满足的一个线性关系式（系数之和为1）：k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，则 k₁=____，k₂=____，k₃=____（填一组满足条件的数）。

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9. 设四元非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵秩 r(A)=3，已知 η₁=(1,2,3,4)ᵀ 与 η₂=(2,3,4,5)ᵀ 是它的两个解。则 Ax=b 的通解可以写为（　） A. x = k(η₁−η₂) + η₁，k∈R B. x = k₁η₁ + k₂η₂，k₁,k₂∈R C. x = k(η₁+η₂) + η₂，k∈R D. x = k(η₁+η₂)/2 + η₁，k∈R

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10. 对于含 n 个未知数、m 个方程的线性方程组 Ax=b，下列结论正确的是（　） A. 若 m<n，则方程组必有无穷多解 B. 若秩(A)=秩(A,b)=n，则方程组有唯一解 C. 若秩(A)=n，则方程组必有唯一解 D. 若秩(A)=秩(A,b)<n，则方程组无解

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11. 已知线性方程组 x+y+z=1，x+2y+3z=2，x+3y+az=3，其中 a 为实常数。则该方程组有无穷多解的充分必要条件是（　） A. a=5 B. a≠5 C. a=0 D. a=-5

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12. 已知齐次线性方程组 x₁+x₃+x₄=0, x₂−x₃+x₄=0 的系数矩阵秩为2。取 x₃, x₄ 为自由未知量，则在该方程组的基础解系中，由 x₃=1, x₄=0 所对应的解向量为 ____。

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13. 已知向量组 α₁=(1,2,1)ᵀ，α₂=(2,t,3)ᵀ，α₃=(1,3,2)ᵀ 线性相关，则 t=____。

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14. 已知齐次线性方程组 x₁+x₂+x₃=0，x₂−x₃=0 的系数矩阵秩为2。下列向量中，能单独构成该方程组基础解系的是（　） A. (1,0,0)　B. (−2,1,1)　C. (0,0,0)　D. (1,−1,1)

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15. 已知齐次线性方程组 x₁+2x₂−x₃+x₄=0，2x₁+4x₂+x₄=0 的系数矩阵秩为2。取 x₂, x₃ 为自由未知量，则在其基础解系中，对应 x₂=0, x₃=1 的解向量为____。

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16. 已知齐次线性方程组 x₁+x₂−x₃=0，x₂+x₃−x₄=0 的系数矩阵秩为2。取 x₃, x₄ 为自由未知量，分别令 x₃=1, x₄=0 与 x₃=0, x₄=1，得到基础解系 η₁, η₂，则 η₁ 与 η₂ 的全部分量之和为____。

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17. 已知齐次线性方程组 x₁−x₂+x₃=0，x₁+x₂−x₃=0 的系数矩阵秩为2。取 x₂ 为自由未知量，则其基础解系中对应 x₂=3 的解向量为____。

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18. 设向量组 α₁=(1,1,0,2)ᵀ，α₂=(2,1,1,5)ᵀ，α₃=(1,2,t,4)ᵀ，α₄=(0,1,1,1)ᵀ 线性相关，则实数 t=____。

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