考试考研数学（数二）上册《多元函数微分学》练习题

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本单元考点（5 个）

偏导数与全微分多元复合函数求导法隐函数求导法二阶偏导数多元函数的极值与条件极值

本单元练习题（27 题）

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1. 设二元函数 z = f(x²+y², x/y)，其中 f 具有一阶连续偏导数，且 f₁′(2,1)=2，f₂′(2,1)=−1，则函数 z 在点 (1,1) 处的全微分 dz = ____

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2. 设二元函数 z = f(x+y, xy)，其中 f 具有一阶连续偏导数，且 f₁′(3,2)=4，f₂′(3,2)=−1。求 z 在点 (1,2) 处的全微分 dz。

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3. 设二元函数 z = f(xy, x+y)，其中 f 具有一阶连续偏导数，且 f₁′(2,3)=1，f₂′(2,3)=2。求函数 z 在点 (1,2) 处的全微分 dz。

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4. 设函数 f(x,y)=x²+2y²，则 f 在约束条件 x+y=3 下的条件极小值为（　） A. 4　B. 5　C. 6　D. 9

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5. 设二元函数 z=z(x,y) 由方程 x²+y²+z²=3xyz 所确定，则 ∂z/∂x 在点 (1,1,1) 处的值为 A. -1　B. 1　C. 0　D. 2

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6. 函数 f(x,y)=x²+y²−4x+2y 的极小值为 ____。

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7. 设函数 f(x,y)=x²+3y²，则 f 在约束条件 x+y=4 下的条件极小值为____

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8. 设 z = x²y + e^(xy)，求函数在点 (1, 2) 处的两个偏导数 ∂z/∂x 与 ∂z/∂y 的值。

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9. 设二元函数 z = f(x²−y, xy)，其中 f 具有一阶连续偏导数，且 f₁′(−1,2)=3，f₂′(−1,2)=−2，则全微分 dz 在点 (x,y)=(1,2) 处的值为 ____。

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10. 设 z = f(u, v) 具有一阶连续偏导数，且 u = x² + y，v = xy。则 ∂z/∂x = ____（用 f₁′、f₂′ 表示）。

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11. 设二元函数 z = z(x,y) 由方程 xz + y + ln z = 2 确定（z > 0），则偏导数 ∂z/∂x 在点 (1,1) 处的值为 ____

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12. 函数 f(x,y)=x²+2y²−2x−8y 的驻点为 (1,2)，则该点为（　） A. 极小值点，极小值为 −9　B. 极大值点，极大值为 −9　C. 极小值点，极小值为 9　D. 不是极值点

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13. 设二元函数 z = z(x, y) 由方程 e^z = xy + z 确定，求 ∂z/∂x 与 ∂z/∂y。

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14. 设方程 xyz − z³ = 0 确定隐函数 z = z(x, y)，则 ∂z/∂x 在点 (1, 1, 1) 处的值为 A. 1/2　B. −1/2　C. 2　D. −2

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15. 设二元函数 z=z(x,y) 由方程 xy+yz+zx=3 所确定，且在点 (1,1,1) 的某邻域内 z 有连续偏导数，则 ∂z/∂x 在点 (1,1) 处的值为（　） A. -1　B. 1　C. -2　D. 2

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16. 设 z = x²y + y³，则二阶偏导数 ∂²z/∂x∂y = ____

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17. 设函数 f(x,y)=x²+y²，则 f 在约束条件 x−y=2 下的条件极小值为 ____

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18. 函数 f(x,y)=x²+y²+4x−6y 的驻点为（−2,3），则该点为（　） A. 极小值点，极小值为 −13　B. 极大值点，极大值为 −13　C. 极小值点，极小值为 13　D. 非极值点

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19. 设二元函数 z = z(x,y) 由方程 z + e^(yz) + x = 2 确定，且 z 在点 (1,1) 的某邻域内有连续偏导数（此时 z(1,1)=0），则 ∂z/∂x + ∂z/∂y 在点 (1,1) 处的值为（　） A. −1/2　B. 1/2　C. −2　D. 2

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20. 设 z = f(u, v) 具有一阶连续偏导数，且 u = e^(xy)，v = x + y²，求 ∂z/∂y（用 f₁′、f₂′ 表示）。

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21. 设 z = x³y² + x·sin(xy)，则 ∂²z/∂x∂y 在点 (1,0) 处的值为（　） A. 0　B. 1　C. 2　D. 3

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22. 设二元函数 z = z(x,y) 由方程 sin(xz) + x + y = z 确定，且 z 在点 (0,0) 的某邻域内有连续偏导数（此时 z(0,0)=0）。求 ∂z/∂x 与 ∂z/∂y 在点 (0,0) 处的值。

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23. 设函数 f(x,y)=x²+4y²，则 f 在约束条件 x+2y=5 下的条件极小值为____

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24. 设 z = ln(x² + y²)，求二阶偏导数 ∂²z/∂x∂y。

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25. 求函数 f(x,y)=2x²+y² 在约束条件 x+y=6 下的条件极小值，并说明该函数在此约束条件下是否存在条件极大值（说明理由）。

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26. 函数 f(x,y)=x²+xy+y²−3x 的驻点为 (2,−1)，则该点为（　） A. 极小值点，极小值为 −3　B. 极大值点，极大值为 −3　C. 极大值点，极大值为 3　D. 不是极值点

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27. 设 z = f(u, v) 具有一阶连续偏导数，其中 u = x/y，v = x² − y。求 ∂z/∂y（结果用 f₁′、f₂′ 表示）。

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