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考试考研数学（数二）上册《一元函数微分学》练习题

共 18 道沉淀题 · AI 对照课标原创 · 三重审校答案可核对

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本单元考点（6 个）

导数的概念与几何意义复合函数、隐函数及参数方程求导高阶导数微分中值定理洛必达法则求极限函数单调性、极值与凹凸性

本单元练习题（18 题）

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1. 设函数 f(x) 在 x₀ 处可导，则极限 lim(h→0) [f(x₀+2h)−f(x₀−2h)]/(4h) 等于（　） A. f'(x₀)　B. 2f'(x₀)　C. f'(x₀)/2　D. 4f'(x₀)

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2. 设函数 f(x)=x³+ax²+bx（a,b 为常数）在 x=2 处取得极小值 −4，则曲线 y=f(x) 的拐点横坐标为____

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3. 设曲线由参数方程 x = t³ + t, y = y(t) 给出，其中 y = y(t) 由隐函数方程 e^y + t·y = e 确定，且当 t = 0 时 y = 1。则该曲线在 t = 0 对应点处的二阶导数 d²y/dx² = ____。

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4. 设函数 f(x) 在 x=0 处的某邻域内有定义，且 f(0)=0。若当 x≠0 时 f(x)=x²·sin(1/x)，则由导数的定义可知 f'(0) = （　） A. 0 B. 1 C. −1 D. 不存在

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5. 设函数 f(x) 在 x₀ 处可导，下列说法正确的是：A. f(x) 在 x₀ 处的导数就是曲线 y=f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率　B. 若 f(x) 在 x₀ 处的左导数存在，则 f(x) 在 x₀ 处可导　C. 函数在某点连续则在该点必可导　D. 导数的定义与自变量在该点的增量取正还是取负有关

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6. 设函数 f(x)=x²−4x+3，验证其在区间 [1,3] 上满足罗尔定理的条件，则定理结论中存在的 ξ∈(1,3) 使得 f'(ξ)=0，求 ξ 的值。 A. ξ=1　B. ξ=3/2　C. ξ=2　D. ξ=5/2

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7. 设曲线由参数方程 x = t², y = y(t) 给出，其中 y = y(t) 由隐函数方程 y² + t y − 6 = 0 确定且当 t = 1 时 y > 0。则该曲线在 t = 1 对应点处的导数 dy/dx 为（　） A. −1/5　B. −2/5　C. −1/10　D. 2/5

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8. 函数 f(x) = x³ − 3x 的单调递增区间为____。

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9. 设函数 f(x) 在 x=1 处可导，且 f(1)=2。若曲线 y=f(x) 在点 (1, 2) 处的切线经过点 (3, 8)，则由导数的几何意义可知 f'(1)=____

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10. 设曲线 y=x³ 上点 P(1,1) 处的切线为 L，则 L 与 x 轴交点的横坐标为 ____

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11. 设函数 f(x) 在 x=2 处可导，且 f(2)=3，f'(2)=4。则极限 lim(h→0) [f(2+h)−3]/h = ____。

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12. 设函数 f(x)=√x，区间 [1,4]。由拉格朗日中值定理，存在 ξ∈(1,4)，使得 f'(ξ)=(f(4)−f(1))/(4−1)=____。

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13. 设曲线由参数方程 x = t², y = y(t) 给出，其中 y = y(t) 由隐函数方程 y² + t y − 6 = 0 确定且当 t = 1 时 y = 2，则该曲线在 t = 1 对应点处的切线斜率 dy/dx 为（　） A. −1/5 B. 1/5 C. −2/5 D. 2/5

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14. 设函数连续，用洛必达法则求极限 lim(x→0) [∫₀ˣ e^(t²)dt − x] / x³，其值为 A. 0　B. 1/6　C. 1/3　D. 2/3

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15. 设 y = y(x) 由方程 x²y + ln y = x 确定，则 dy/dx = ____

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16. 设函数 f(x)=ln x 在区间 [1,e] 上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的 ξ∈(1,e) 满足（　） A. f'(ξ)=1/e　B. f'(ξ)=1/(e−1)　C. f'(ξ)=e−1　D. f'(ξ)=1

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17. 若函数 f(x) 在 x₀ 处可导，则 f(x) 在 x₀ 处必____（请填“连续”或“不连续”）；反之，f(x) 在 x₀ 处连续不一定能保证 f(x) 在 x₀ 处可导，故可导是连续的____条件（请填“充分必要”或“充分不必要”）。

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18. 用洛必达法则求极限 lim(x→0) (1/x² − 1/(x·tan x))，其值为 A. 0　B. 1/6　C. 1/3　D. 2/3

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