考试考研数学（数二）上册《二重积分》练习题

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本单元考点（5 个）

二重积分的概念与性质直角坐标下计算二重积分极坐标下计算二重积分交换积分次序利用对称性化简二重积分

本单元练习题（9 题）

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1. 设平面区域 D 由曲线 y=x² 与直线 y=1 所围成，计算二重积分 I = ∬_D (x³ + x²y) dσ 的值为（　） A. 4/21　B. 8/21　C. 2/21　D. 4/15

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2. 设 D 为平面区域 x²+y²≤4，则二重积分 ∬_D (x³y + 2x + 5) dσ 的值为（　） A. 5π　B. 10π　C. 20π　D. 40π

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3. 设 D 为平面区域 x²+y²≤9，则二重积分 ∬_D (x²y + y³ + 3) dσ 的值为（　） A. 9π　B. 27π　C. 54π　D. 81π

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4. 计算二重积分 ∬_D (x+y) dσ，其中 D 是由直线 x=0、x=1、y=0、y=2 围成的矩形区域，则该积分的值为（　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 2

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5. 设 D 是由直线 x=0、x=1、y=0、y=2 围成的矩形区域，则二重积分 ∬_D (2x + y²) dσ 的值为（　） A. 10/3 B. 14/3 C. 16/3 D. 6

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6. 设区域 D 由 x² + y² ≤ 1 确定，则由二重积分的比较性质可知，下列不等式成立的是 A. ∬_D (x² + y²) dσ ≥ ∬_D (x² + y²)² dσ　B. ∬_D (x² + y²) dσ ≤ ∬_D (x² + y²)² dσ　C. ∬_D (x² + y²) dσ = ∬_D (x² + y²)² dσ　D. ∬_D (x² + y²) dσ 与 ∬_D (x² + y²)² dσ 的大小无法比较

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7. 设 D = {(x,y) | x²+y² ≤ 1}，f(x,y) 在 D 上连续，∬ 表示在 D 上的二重积分。给出如下四个命题：(1) 若 f(-x,y) = -f(x,y) 对一切 (x,y)∈D 成立，则 ∬f dσ = 0；(2) 若 f(x,y) ≥ m > 0（m 为常数），则 ∬f dσ ≥ mπ；(3) 二重积分 ∬f dσ 的值与 D 的分割方式及点 (ξᵢ,ηᵢ) 的取法有关；(4) 若 f₁(x,y) ≤ f₂(x,y) 在 D 上成立，则必有 ∬f₁ dσ < ∬f₂ dσ。其中正确命题的个数是 A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

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8. 设 D = {(x,y) | x²+y² ≤ 2}，则二重积分 ∫∫_D (x²+y²) dσ 的值为（　） A. π　B. 2π　C. 4π　D. 8π

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9. 设区域 D 由曲线 y=x² 与直线 y=x（0≤x≤1）所围成，则二次积分 ∫₀¹ dx ∫_{x²}^{x} f(x,y)dy 交换积分次序后等于（　） A. ∫₀¹ dy ∫_y^{√y} f(x,y)dx B. ∫₀¹ dy ∫_{√y}^{y} f(x,y)dx C. ∫₀¹ dy ∫_{y²}^{y} f(x,y)dx D. ∫₀¹ dy ∫_{x²}^{x} f(x,y)dx

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