考试考研数学（数二）上册《常微分方程》练习题

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本单元考点（6 个）

可分离变量方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的实际应用

本单元练习题（18 题）

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1. 设函数 y=y(x) 满足微分方程 dy/dx = xy/(1+x²)，且 y(0)=2，则 y(√3)=____。

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2. 一质量为 m 的物体从静止开始下落，空气阻力大小与速度成正比，比例系数为 m/2。取重力加速度 g=10 m/s²，则以速度大小 v 关于时间 t 的微分方程描述该运动。当物体下落速度达到 10 m/s 时，所需时间 t 为（　） A. ln2 B. 2ln2 C. 4ln2 D. 2ln(3/2)

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3. 设 y = (1+x²)e^x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y'' + a y' + b y = c e^x 的一个解，其中 a, b, c 为常数，则该方程的通解为____

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4. 设函数 y=y(x) 是微分方程 y''=(y')² 满足 y(0)=0, y'(0)=1 的特解，则 y(1/2)=____。

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5. 设函数 y=f(x) 满足微分方程 dy/dx = xy/(1+x²)，且 y(0)=1，则 f(1) =（　） A. √2　B. 2　C. 1+ln2　D. e

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6. 微分方程 y'' = 2x 满足 y'(0)=0, y(0)=1 的特解为 ____。

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7. 微分方程 y' + 2y = e^x 满足初始条件 y(0) = 1/3 的特解为（　） A. y = (1/3)e^x B. y = e^x C. y = (1/3)e^x + e^(−2x) D. y = e^x + (1/3)e^(−2x)

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8. 微分方程 dy/dx = 2xy 满足初始条件 y(0)=3 的特解为（　） A. y=3e^(x²)　B. y=e^(x²)+2　C. y=3e^(2x)　D. y=x²+3

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9. 设函数 y=y(x) 是微分方程 y''=2y' 满足 y(0)=0, y'(0)=1 的特解，则 y(1)=（　　） A. (e²−1)/2 B. e²/2 C. (e²+1)/2 D. 2e²−1

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10. 微分方程 y' + 3y = e^(2x) 满足初始条件 y(0) = 1 的特解为 ____。

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11. 设函数 y=y(x) 满足可分离变量微分方程 dy/dx = 2x·y²，且 y(0)=1/2，则 y(1)=（　） A. 1/2　B. 1　C. 2　D. 4/3

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12. 设函数 y=f(x) 满足微分方程 dy/dx = x·e^(−y)，且 y(0)=0，则 f(1)=____。

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13. 微分方程 y' - y = e^x 的通解为（　） A. y = (x + C)e^x　B. y = Ce^x + e^x　C. y = (x² + C)e^x　D. y = Ce^(−x) + xe^x

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14. 设函数 y=y(x) 满足可分离变量微分方程 dy/dx = (y·ln y)/x，且 y(1)=e，则 y(e)=（　） A. e^e　B. e²　C. e　D. e+1

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15. 设二阶常系数齐次线性微分方程 y″−4y′+13y=0 满足初始条件 y(0)=1, y′(0)=5，则 y″(0)=____

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16. 微分方程 y''-3y'+2y=e^x 的通解为____

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17. 微分方程 y' + y/x = (ln x)/x 满足初始条件 y(1) = 1 的特解为 y = ____。

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18. 微分方程 y″+2y′−3y=0 的通解为（　） A. y=C₁e^(3x)+C₂e^(−x) B. y=C₁e^(−3x)+C₂e^x C. y=(C₁+C₂x)e^(−3x) D. y=e^(−x)(C₁cos2x+C₂sin2x)

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