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某省2024年统计资料如下：(1) 全年粮食总产量为3200万吨，这是一个总量指标；(2) 年平均人口为5000万人；(3) 该省粮食产量计划为3000万吨，实际完成3200万吨；(4) 全省粮食产量中，水稻占56%，小麦占24%，其余为杂粮。要求：(1) 分别指出"水稻占粮食总产量的比重""水稻与小麦产量之比""人均粮食产量"各属于哪一类相对指标；(2) 计算该省粮食产量的计划完成程度相对指标（百分数，保留两位小数）；(3) 计算人均粮食产量（千克/人）。
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某市 2024 年钢厂统计资料如下：(1) 年初职工 20000 人，年末职工 20400 人（时点指标）；(2) 全年钢产量计划为 500 万吨，实际完成 550 万吨；(3) 全市年末人口 101 万人。请计算：(1) 该厂钢产量的计划完成程度相对指标；(2) 该市人均钢产量（以年末人口计）的强度相对指标；并指出以上两个指标分别属于哪类相对指标，说明强度相对指标中分子与分母是否可以互换。
某化工企业设定了年度单位产品能耗降低率任务为8%。经核算，该企业实际实现单位产品能耗降低率为12%。请根据统计学原理计算该指标的计划完成程度相对数（保留两位小数）。注意：在计算降低率类计划完成程度时，不能直接用实际降低率除以计划降低率，需还原为相对水平进行对比。
设线性方程组 6x₁+x₂=7，x₁+6x₂=7。用 Jacobi 迭代法求解，迭代格式为 x₁^(k+1)=(7−x₂^(k))/6，x₂^(k+1)=(7−x₁^(k))/6。取初值 x₁⁽⁰⁾=x₂⁽⁰⁾=0，迭代两次，求 x₁⁽²⁾ 与 x₂⁽²⁾ 的值（用分数表示）。
设目标函数 f(x)=(x−3)²，用梯度下降法求其极小点。迭代公式为 x_{k+1}=x_k − α·f′(x_k)，取固定步长 α=1/3，初始点 x₀=0，其中 f′(x)=2(x−3)。停止准则为 |f′(x_k)|≤0.5。(1) 依次计算 x₁、x₂、x₃；(2) 判断在哪一步满足停止准则，并写出算法停止时得到的极小点近似值。
设某网站咨询请求的到达次数 {N(t), t≥0} 是强度 λ=5（次/分钟）的泊松过程，第 i 次请求产生的服务收益 Xᵢ 相互独立同分布，且与 {N(t)} 独立，P(Xᵢ=0)=P(Xᵢ=4)=1/2（单位：元）。记前 1 分钟内的总收益 S(t)=∑ᵢ₌₁^{N(t)} Xᵢ。求 E(S(1)) 与 Var(S(1))。
某总体有4个单元，规模测度分别为 M₁=10，M₂=5，M₃=3，M₄=2，∑Mᵢ=20。采用放回的PPS抽样，独立抽取 n=3 次，每次单元 i 被抽中的概率 zᵢ=Mᵢ/20。三次抽样的结果依次为：第1次抽中单元1，观测值 y=40；第2次又抽中单元1，观测值 y=40；第3次抽中单元3，观测值 y=12。请写出 Hansen-Hurwitz 估计量 ŷ_HH=(1/n)∑(yⱼ/zᵢⱼ) 的计算式，并求出该次调查对总体总量 Y 的估计值。
设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从区间 [0,1] 上的均匀分布，Y 服从区间 [1,2] 上的均匀分布。令 Z = XY，求 P(Z ≤ 1/2)。
设二维离散随机变量 (X,Y) 的联合分布律为：P(X=0,Y=0)=0.1，P(X=0,Y=1)=0.2，P(X=1,Y=0)=0.15，P(X=1,Y=1)=0.05，P(X=2,Y=0)=0.3，P(X=2,Y=1)=0.2。试判断 X 与 Y 是否相互独立，并说明理由。
设马尔可夫链 {X_n} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1-a, a, 0], [1/3, 1/3, 1/3], [0, b, 1-b]]，其中 0<a<1，0<b<1。若该链的平稳分布为 π = (1/4, 1/2, 1/4)，求 a 和 b 的值。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/4, 0, 3/4]]。试用 C-K 方程先求出两步转移概率矩阵 P²，再据此计算三步转移概率 P₁₂⁽³⁾ = P(X₃=2 | X₀=1)，要求结果写成分数形式。
设统计计算中的协方差矩阵 C = V diag(1/8, 1, 64) Vᵀ，其中 V 为正交矩阵。(1) 求矩阵 C 在二范数意义下的条件数 κ₂(C)；(2) 在求解线性方程组 Cx = y 时，若右端项 y 受到扰动 Δy，且 ||Δy||₂/||y||₂ ≤ 10⁻⁵，给出解的相对误差 ||Δx||₂/||x||₂ 的最坏情况上界；(3) 若要求解的相对误差不超过 10⁻⁴，判断上述扰动水平是否满足要求，并求出允许的最大相对扰动 δ 使得 κ₂(C)·δ = 10⁻⁴。
对称矩阵 A = [[4, 2, 4], [2, 10, -1], [4, -1, 9]]。求 A = LU 的分解，其中 L 为对角元全为 1 的下三角矩阵；再求 A = CCᵀ 的 Cholesky 分解，其中 C 为对角元为正的下三角矩阵。
对某统计量 θ 进行自助法评估，已知原样本上的估计值为 8.0。现独立进行 5 次自助重抽样，得到的统计量估计值依次为 7.0、8.5、9.0、7.5、8.0。以这 5 个自助估计值的均值减去原样本估计值作为偏差估计，以这 5 个自助估计值的样本标准差作为标准误估计，用样本标准差公式（分母为 n-1）计算。求偏差估计与标准误估计（结果保留两位小数）。
设随机变量 X ~ 均匀分布 U(0,1)，用蒙特卡洛方法估计 E[e^X]。具体方案：生成 n = 10000 个独立同分布的均匀随机数 x₁, x₂, ..., x₁₀₀₀₀，计算样本均值 θ̂ = (1/10000)∑ᵢ₌₁¹⁰⁰⁰⁰ e^(xᵢ)，以此作为 E[e^X] 的估计值。已知模拟结果得到 ∑ᵢ₌₁¹⁰⁰⁰⁰ e^(xᵢ) = 17183。试求 θ̂ 的数值，并说明该估计量是否为无偏估计。
某统计计算课程实验中，学生需要对 n=8192 个观测值执行同一统计任务。算法甲采用朴素双重循环策略，基本操作总次数为 2n²；算法乙采用分块优化策略，基本操作总次数为 100n·log₂n（log₂8192=13）。请分别计算两种算法在 n=8192 时的基本操作总次数，并求算法乙相对于算法甲的加速比（即甲、乙操作次数之比），结果保留一位小数。
某实验室研究传感器校准值x与测量偏差y的关系，记录数据为(x,y)：(0,1)、(1,6)、(2,8)、(3,12)、(4,13)。假设误差独立且服从均值为0、方差未知的正态分布，拟合含截距的一元线性回归模型。请计算斜率的最小二乘估计及检验H₀：斜率为0的t统计量，并在双侧显著性水平0.05下给出检验结论。
对线性方程组 4x₁−x₂=3，−x₁+4x₂−x₃=3，−x₂+4x₃=3，采用 Gauss–Seidel 迭代法，按 x₁、x₂、x₃ 的顺序更新，初值为 x⁽⁰⁾=(0,0,0)ᵀ。完成两轮迭代后，求 x⁽²⁾。
设原始样本为 x₁=3, x₂=6（n=2）。对该样本进行有放回重抽样，得到三个自助样本（各容量为2）：{3,3}、{3,6}、{6,6}，对应的样本均值依次记为 θ̄₁*、θ̄₂*、θ̄₃*。请依据自助法基本原理：（1）写出三个自助样本均值；（2）以这三个自助均值的算术平均值作为统计量的自助点估计；（3）以重抽样次数 B=3 为分母，计算这三个自助均值的标准差，作为原样本均值的标准误的自助估计（结果保留三位小数）。
设 A=Q diag(1/5, 2, 10)Qᵀ，其中 Q 为正交矩阵。在线性方程组 Ax=b 中，b 保持不变，系数矩阵受到扰动 ΔA，且 ||ΔA||₂/||A||₂=0.004。利用二范数条件数给出的扰动上界，求相对解误差 ||x̃−x||₂/||x||₂ 的保证上界；假设 κ₂(A)||ΔA||₂/||A||₂<1。