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某高校从全校 N=600 名学生中调查月均消费，已知总体方差 σ²=225（元²）。（1）分别按放回与不放回简单随机抽样方式抽取容量 n=60 的样本，写出样本均值的方差（不放回情形用修正系数 (1−n/N)）；（2）计算不放回相对放回抽样方差下降的百分比（保留两位小数）。
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设二元平稳时间序列 y_t=(y₁ₜ, y₂ₜ)′ 服从 VAR(1) 模型 y_t = A y_(t-1) + u_t，其中 A = [[0.3, 0.4], [0.5, 0.1]]，新息 u_t 为标准正交白噪声（协方差矩阵为单位阵 I）。已知 A² = [[0.29, 0.16], [0.20, 0.21]]。(1) 根据 VAR 系数结构判断 y₂ₜ 是否格兰杰引起 y₁ₜ，并说明理由；(2) 对 y₁ₜ 进行 3 期（h=0,1,2 累计）预测误差方差分解，计算来自 y₂ₜ 新息的方差贡献占比（百分数，保留一位小数）。
设平稳 AR(1) 模型 X_t = 0.8·X_{t-1} + ε_t，其中 {ε_t} 为白噪声，方差 σ² = 2。已知 X_20 = 5。用最小均方误差准则求 X_22 的点预测值，并写出其 95% 预测区间（取 z_0.025 = 1.96），区间端点保留两位小数。
设某城市月度房价序列 hₜ 与租金指数序列 rₜ 均为一阶单整 I(1) 序列，样本容量 T=200。研究者采用 Engle-Granger 两步法检验二者是否协整：第一步以 OLS 估计回归 hₜ = α + βrₜ + uₜ，得 α̂=120，β̂=1.8；第二步对残差 ûₜ 进行不含截距项的 ADF 检验，得 t 统计量为 −3.60。已知协整回归残差 ADF 检验在 5% 显著性水平下的临界值为 −3.37，在 1% 水平下为 −3.90。（1）写出第二步检验的原假设与备择假设，并说明检验统计量应与哪套临界值比较而非普通 ADF 临界值；（2）判断在 5% 水平下能否拒绝原假设，并据此说明 hₜ 与 rₜ 是否存在协整关系；（3）若研究者误用普通 ADF 的 5% 临界值 −2.86 进行判断，结论会发生什么变化？说明这一错误的实质。
某经济时间序列 y_t 的观测数据无任何确定性趋势成分。研究者为判断其平稳性，采用 DF 检验，对回归式 Δy_t = γ·y_(t-1) + ε_t 进行估计，回归中不含常数项与趋势项。原假设为 H₀: γ=0（序列含单位根），备择假设为 H₁: γ<0（序列平稳）。已知在 5% 显著性水平下，该设定下 DF 检验的临界值为 -1.95。若估计所得的 γ 的 t 统计量为 -2.61，请依据 DF 检验原理判断检验结论，并据此说明该序列的平稳性。
设时间序列 {X_t} 服从 AR(2) 模型 X_t = 1.7X_(t-1) − 0.7X_(t-2) + ε_t，其中 ε_t 为白噪声。该模型对应的特征方程为 1 − 1.7z + 0.7z² = 0。请完成：(1) 验证 z = 1 是否为该特征方程的根；(2) 求出该特征方程的全部根；(3) 依据单位根过程的定义，判断 {X_t} 是否为单位根过程，并说明理由。
某市电力公司记录了 2018 年 1 月至 2023 年 12 月共 72 个月的用电量序列 {X_t}（t=1,2,…,72），该序列呈现以年为周期的季节性，季节周期 s=12。为同时消除趋势性与季节性，对序列施加复合差分，记 W_t = (1−B)(1−B^12)X_t，其中 B 为后移算子。请写出 W_t 关于 X_t 的展开表达式，指出 W_t 有定义的最小下标 t 的值，并计算该复合差分运算使序列损失的数据点个数。
某城市逐月平均气温序列共有 n=84 期观测（周期 s=12）。研究者计算其样本自相关函数：滞后 1 至 11 期处 r(k) 均在 -0.15 与 0.12 之间，绝对值均小于显著性临界值 2/√84 ≈ 0.22；滞后 12 期处 r₁₂=0.45，滞后 24 期处 r₂₄=0.37。以 2/√n 作为判断自相关是否显著的界限，依据上述样本自相关函数的特征，判断该序列是否存在显著的季节效应，并简述理由。
设某厂日产量序列 xₜ 非平稳，对其作一阶差分得到序列 zₜ = xₜ − xₜ₋₁，已知 zₜ 满足：zₜ = 0.5zₜ₋₁ + εₜ + 0.3εₜ₋₁ + 0.2εₜ₋₂，其中 εₜ 为白噪声序列。请写出 xₜ 所适合的 ARIMA 模型的完整记号（含 p、d、q 的取值），并据此说明原序列模型的自回归阶数、差分阶数与移动平均阶数分别为多少。
某城市地铁日客流量序列 x_t 经 ADF 检验判定为非平稳，对其实施一阶差分得到序列 y_t = x_t − x_(t−1)，y_t 通过平稳性检验。样本自相关函数呈拖尾特征，样本偏自相关函数在滞后 1 阶后截尾，据 ARIMA 建模步骤对差分序列拟合 AR(1) 模型：y_t = 0.6 y_(t−1) + ε_t，ε_t 为白噪声。已知 x_T = 200，y_T = 4（T 为最新观测期）。请按建模流程：(1) 写出对原序列应拟合的 ARIMA 模型阶数；(2) 计算 x_(T+1) 与 x_(T+2) 的点预测值。
某研究组对 n=240 的月度序列拟合 ARMA 模型后，得到残差序列的自相关系数如下：r₁=0.12，r₂=0.15，r₃=−0.10，r₄=0.08，r₅=0.06，r₆=0.05。采用 Ljung-Box 统计量 Q = n(n+2)∑(r_k²/(n−k))（k 从 1 到 m）对残差进行白噪声检验，取 m=6，显著性水平 α=0.05，χ² 分布上侧分位数 χ²₀.₀₅(6)=12.592。请计算 Q 的值（保留两位小数），并判断能否认为残差是白噪声。
某研究小组用两个候选模型拟合同一组长度 n=50 的时间序列数据。已知模型 A 的极大对数似然值为 lnL_A=-80，自由参数个数 k_A=2；模型 B 的极大对数似然值为 lnL_B=-78，自由参数个数 k_B=4。采用 AIC=-2lnL+2k 与 BIC=-2lnL+k·ln(n) 进行模型比较（ln50≈3.912）。请分别计算两个模型的 AIC 与 BIC 值，并说明：在 AIC 准则下两模型如何取舍？在 BIC 准则下应选择哪个模型？
设对三元VAR系统 y_t=(x_t, z_t, w_t)' 进行Johansen协整检验（迹统计量法，5%显著性水平）。依次对原假设 H0: r≤0、H0: r≤1、H0: r≤2 检验，所得迹统计量分别为 41.36、18.75、3.12，对应的5%临界值分别为 29.68、15.41、3.76。请按迹检验的顺序判别规则依次比较各步统计量与临界值，写出每一步的判断结论，并据此确定该系统协整向量的个数 r 及变量间的协整关系个数。
设某经济序列 xₜ 含单位根，其误差项存在较强的正向一阶自相关。研究甲用 ADF 检验得到统计量 t_ADF = -2.10；研究乙用 PP 检验（经非参数修正）得到统计量 Z(t) = -3.15。两检验均在 5% 显著性水平下进行，相应的 DF 临界值为 -2.86。请根据上述数值判断：在 5% 水平下，ADF 检验与 PP 检验各自能否拒绝存在单位根的原假设，并指出在误差正向自相关情形下哪种检验更易得出拒绝结论。
研究人员对某宏观经济序列 xₜ（样本量 T=200）分别进行 ADF 检验与 PP 检验。已知 xₜ 的误差项 uₜ 存在明显的异方差（条件方差随水平变化），且 ADF 检验中滞后差分项的阶数 p 难以准确选定。检验结果为：ADF 统计量 t=-1.85，PP 统计量 t=-2.96，5% 水平临界值均为 -2.87。请回答：(1) 分别判断两种检验在 5% 显著性水平下是否拒绝单位根原假设；(2) 结合异方差背景下 PP 检验采用非参数修正而 ADF 检验依赖差分滞后项的特点，说明两检验结论不一致的原因，并指出在本情形下更宜采信哪种检验的结论。
某航空公司记录了 2009 年 1 月至 2013 年 12 月共 60 个月的旅客运输量序列 {X_t}（t=1,2,…,60），已知该序列呈现以 12 个月为周期的季节波动。建模时先作一阶季节差分：W_t = X_t − X_(t−12)（对 t≥13 有定义），再对差分序列 W_t 作一阶逐期差分：V_t = W_t − W_(t−1)（对满足条件的 t 有定义）。求最终序列 V_t 中有效观测值的个数。
某城市月度供水量序列 y_t 经 ADF 检验判定为非平稳，对其实施一阶差分得到序列 d(y)_t = y_t − y_(t−1)，差分序列通过平稳性检验。已知 d(y)_t 的样本偏自相关函数在滞后 1 阶后截尾，自相关函数呈指数衰减拖尾，据此识别模型并对差分序列估计得：均值 μ = 10，自回归系数 φ̂₁ = 0.5。又知差分序列的最后一个观测值 d(y)_T = 14，原序列的最后一个观测值 y_T = 105。请按 ARIMA 建模步骤：（1）写出所识别模型的完整记号及差分方程形式；（2）用该模型对原序列 y 进行向前 1 步和向前 2 步预测，给出 ŷ_(T+1) 与 ŷ_(T+2) 的数值。
某旅游城市季度游客量序列共有 64 期观测值，研究者计算了滞后 4、8、12 期处的样本自相关函数，分别为 r₄=0.58，r₈=0.51，r₁₂=0.44。在 5% 显著性水平下，判断该序列是否存在显著季节效应，并说明理由（显著性判别阈值取 2/√n）。
为研究某农作物的产量 y（单位：kg/亩）与施肥量 x₁、灌溉量 x₂ 的关系，某农科站建立二元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε，并基于样本容量 n=18 的观测数据进行估计。由数据算得：β₁ 的最小二乘估计 b₁=3.5，残差平方和 SSE=75，且矩阵 (XᵀX)⁻¹ 中与 β₁ 对应的主对角元 c₁₁=0.2。（1）在 H₀: β₁=0 对 H₁: β₁≠0 下计算检验统计量 t=b₁/se(b₁) 的值，其中 se(b₁)=√(MSE×c₁₁)，MSE=SSE/(n−p−1)，p 为自变量个数；（2）给定显著性水平 α=0.05，已知 t₀.₀₂₅(15)=2.131，判断是否拒绝 H₀，并说明 x₁ 对 y 的影响是否显著。
某研究团队研究某化工产品的产量 y 与三个自变量 x₁（反应温度）、x₂（催化剂用量）、x₃（搅拌速度）的关系，建立多元线性回归模型 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + ε，其中 ε 服从均值为零、方差为 σ² 的正态分布且各观测相互独立。基于 n = 20 组观测数据估计参数后得到：总平方和 SST = 500，残差平方和 SSE = 200。请计算：(1) 判定系数 R² 与调整判定系数 R̄²；(2) 检验回归方程整体显著性的 F 统计量之值。