大学实变函数（大学通用）上册《积分收敛定理》练习题

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本单元考点（4 个）

单调收敛定理Fatou引理Lebesgue控制收敛定理依测度收敛与积分极限

题目预览（5/9 题）

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1. 设 f_n(x)=n·x^(n-1)（x∈(0,1]），f_n(0)=n。记 ∫ 表示 (0,1] 上的 Lebesgue 积分。下列结论正确的是（　） A. 因为 lim(n→∞) f_n(x)=0 在 (0,1] 上几乎处处成立，由 Lebesgue 控制收敛定理得 lim(n→∞) ∫₀¹ f_n(x)dx = 0 B. 由于不存在可积的控制函数，不能使用 Lebesgue 控制收敛定理，且 lim(n→∞) ∫₀¹ f_n(x)dx = 1 C. lim(n→∞) ∫₀¹ f_n(x)dx = +∞ D. 因为 {1} 是零测集，可忽略其影响，所以 lim(n→∞) ∫₀¹ f_n(x)dx = 0

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2. 设 fₙ(x)=χ₍ₙ,ₙ₊₁₎(x)（区间 [n, n+1) 上的特征函数），x∈ℝ，m 为勒贝格测度。记 g(x)=liminfₙ→∞ fₙ(x)。由 Fatou 引理可断定 ∫ℝ g dm 满足： A. ∫ℝ g dm = 1 B. ∫ℝ g dm = 0 C. ∫ℝ g dm ≥ liminfₙ→∞ ∫ℝ fₙ dm = 1 D. ∫ℝ g dm = liminfₙ→∞ ∫ℝ fₙ dm = 1

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3. 设 E=[0,1]，fₙ(x)=n·χ₍₀,₁ₙ₎(x)（n≥1），记 f(x)=0。下列结论正确的是哪一个？ A. {fₙ} 在 E 上几乎处处收敛于 f，故 lim(n→∞) ∫E fₙdx = ∫E f dx = 0 B. lim(n→∞) ∫E fₙdx = 1 ≠ ∫E f dx = 0，说明极限与积分交换次序不成立 C. 由 Fatou 引理可推出 lim(n→∞) ∫E fₙdx = 0 D. {fₙ} 在 E 上不依测度收敛于 f

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4. 设 f_n(x)= n·x/(1+n²x²)（x∈[0,1]），积分均指 [0,1] 上的 Lebesgue 积分。下列结论正确的是（　） A. f_n 在 [0,1] 上几乎处处收敛于 0，且由 Lebesgue 控制收敛定理知 lim(n→∞) ∫₀¹ f_n(x)dx = 0 B. lim(n→∞) ∫₀¹ f_n(x)dx = 1/2 C. f_n 在 [0,1] 上几乎处处收敛于 0，但因找不出可积控制函数，不能交换极限与积分 D. lim(n→∞) ∫₀¹ f_n(x)dx = π/4

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5. 设可测函数列 {fₙ} 在 E=[0,1] 上依测度收敛于 f，且存在可积函数 g 使 |fₙ(x)|≤g(x) 对一切 n 与 x∈E 成立。由Lebesgue控制收敛定理可得 lim(n→∞) ∫E fₙ dx = （　） A. ∫E f dx　B. 0　C. ∞　D. 不能确定

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