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某铜样品中自由电子数密度 n = 8.5×10²⁸ m⁻³，电子电荷量 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m = 9.1×10⁻³¹ kg。已知在室温下测得其电导率 σ = 5.9×10⁷ Ω⁻¹·m⁻¹。设电子散射服从弛豫时间近似，请计算电子的弛豫时间 τ（结果保留两位有效数字）。
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设简单立方晶格晶格常数为 a，某原子能级经紧束缚近似处理，只计最近邻交叠积分，得能带表达式 E(k)=C−2B[cos(k_x a)+cos(k_y a)+cos(k_z a)]，其中 C=2 eV，B=0.5 eV 为正的常数。第一布里渊区取 k_i∈[−π/a, π/a]。(1) 写出 Γ 点 k=(0,0,0) 处的电子能量 E_Γ；(2) 写出区边界顶角点 R 处（k_x a=k_y a=k_z a=π）的能量 E_R；(3) 求该能带的带宽 ΔE=E_R−E_Γ。
一硅样品中掺入磷原子，浓度为 5×10^16 cm^-3，已知室温下硅的本征载流子浓度 n_i ≈ 1.5×10^10 cm^-3，导带有效状态密度 N_c ≈ 2.8×10^19 cm^-3。设杂质全部电离，试计算：（1）平衡电子浓度 n；（2）该样品的费米能级 E_F 相对导带底 E_c 的位置（以 eV 表示，取 kT ≈ 0.026 eV）。
设某金属中传导电子可视为自由电子气，电子数密度 n = 2.5×10²⁸ m⁻³。已知电子质量 m = 9.11×10⁻³¹ kg，约化普朗克常量 ħ = 1.055×10⁻³⁴ J·s，1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ J。（1）求费米动量 p_F；（2）求费米能 E_F（分别用焦耳和电子伏特表示）。
一维晶格常数为 a 的晶体中，电子波函数 ψ(x) 满足布洛赫定理，且已知平移算符 T(a) 作用于 ψ(x) 满足 T(a)ψ(x)=ψ(x+a)=e^(iπ/4)ψ(x)。(1) 写出该波函数对应的波矢 k 在第一布里渊区内的取值；(2) 求 T(4a)ψ(x)=ψ(x+4a) 与 ψ(x) 之比；(3) 判断 ψ(x+4a) 与 ψ(x) 是否描述同一量子态，并简述理由。
设一维晶格常数为 a 的周期势场中，电子波函数为 ψ(x)。根据布洛赫定理回答：(1) 写出 ψ(x) 满足的一般形式；(2) 若某电子波函数为 ψ(x)=e^(ikx)u(x)，其中 u(x) 满足 u(x+a)=u(x)，求 ψ(x+a) 与 ψ(x) 的比值，并用其说明 k 的物理意义。
金属中电子气处于温度 T 的平衡态，化学势为 μ。已知某能级 E₁ 处电子的费米-狄拉克分布函数值 f(E₁)=1/25。（1）用 kT 表示 E₁−μ；（2）设 E₂=μ−kT·ln3，求该能级的分布函数值 f(E₂)（用分数表示）。
一束波长 λ=0.15 nm 的单色X射线入射某晶体，发生弹性散射（|k|=|k₀|=2π/λ）。已知某衍射极大方向上散射波矢 k 与入射波矢 k₀ 的夹角 θ=30°。根据劳厄方程，衍射极大条件为 k−k₀=G（G 为倒格矢）。求该衍射对应的倒格矢大小 |G|（单位 nm⁻¹，结果保留三位有效数字）。
劳厄方程指出，当散射波矢 k 与入射波矢 k₀ 满足 k − k₀ = G（G 为倒格矢）时，晶体产生衍射极大。对波长 λ 的单色X射线弹性散射，该条件等价于布拉格条件 2d sinθ = nλ，其中 d 为晶面间距，θ 为掠射角，n 为衍射级数。某晶体一族晶面的间距 d = 0.3 nm，入射单色X射线波长 λ = 0.3 nm。求：(1) 该晶面族对应倒格矢的大小 |G| = 2π/d（单位 nm⁻¹）；(2) 满足劳厄方程的一级（n=1）衍射极大的掠射角 θ。
一波长 λ=0.08 nm 的 X 射线入射到晶面间距 d=0.20 nm 的晶体上。按布拉格定律 2d·sinθ=nλ（n 为衍射级数，sinθ≤1），(1) 求可观察到的最高衍射级数 n；(2) 求衍射级数 n=3 时对应的布拉格角 θ。
某理想单原子分子气体处于平衡态，温度 T=300 K，分子质量 m=1.69×10^-27 kg，分子数密度 n=1×10^27 m^-3。已知普朗克常数 h=6.63×10^-34 J·s，玻尔兹曼常数 k=1.38×10^-23 J/K。请计算该气体分子的平均热波长 λ=h/√(2πmkT)，并求出简并参量 nλ³ 的值，据此判断该气体是否满足经典极限条件（即是否可用玻尔兹曼分布描述）。
某晶体为简单布喇菲格子，每个格点关联两个同种原子，基元中原子分别位于原胞内位置 r₁=(0,0,0) 和 r₂=(1/2,1/2,1/2)（以基矢为单位）。设每个原子的原子散射因子为 f。已知衍射强度 I(hkl) ∝ |F(hkl)|²，结构因子 F(hkl)=f∑ⱼ e^(i2π(hxⱼ+kyⱼ+lzⱼ))。求：(1) F(100)；(2) (110) 衍射的相对强度 I(110)/f²；(3) 判断 (200) 衍射是否消光，若不消光求其相对强度 I(200)/f²。
某面心立方（FCC）结构的金属晶体，晶格常数 a=4.0 Å。用波长 λ=1.0 Å 的单色 X 射线作粉末衍射实验。已知 FCC 结构中结构因子 F=hkl 的系统消光条件为：h、k、l 中既有奇数又有偶数的衍射消光。利用布拉格定律 2d·sinθ=λ 及立方晶系面间距公式 d=a/√(h²+k²+l²)，求该晶体粉末衍射谱中最低的两个衍射角 θ₁ 和 θ₂（结果保留三位有效数字）。
某立方晶系晶体中，晶格常数为 a。取晶轴系 a、b、c。(1) 一晶面族中某晶面在三个晶轴上的截距分别为 a/3、-a、2a，求该晶面的密勒指数。(2) 一晶向矢量从原点出发，端点位于坐标 (a/2, a, 3a/2) 处，写出该晶向的晶向指数。
某理想气体系统与温度 T = 300 K 的大热源接触并处于平衡，其定容热容为 Cv = 20 J/K，玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。利用热力学涨落的基本公式：(1) 求系统能量的方均涨落 <(ΔE)²>；(2) 求系统温度的方均涨落 <(ΔT)²>。
某线性非平衡态系统含三个热力学力 X₁、X₂、X₃ 与三个热力学流 J₁、J₂、J₃，满足线性关系 Ji = ∑j LijXj（i=1,2,3），单位已归一化。已知系统满足微观可逆性，故昂萨格倒易关系成立，即 Lij = Lji（i≠j）。实验测得：当 X₁=1、X₂=2、X₃=3 时，J₁=11、J₂=15、J₃=8；且已知对角系数 L₁₁=2、L₂₂=3、L₃₃=1，以及非对角系数 L₁₂=3、L₁₃=1。请利用昂萨格倒易关系求出未知的非对角系数 L₂₁、L₃₁、L₂₃，并验证三组实验数据与求得的全部系数自洽。
某系统与温度 T = 350 K 的大热源接触并处于平衡，其定容热容为 Cv = 40 J/K。已知玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。（1）写出系统温度方均涨落 <(ΔT)²> 的表达式；（2）计算其数值；（3）进一步求温度的方均根涨落 √(<(ΔT)²>) 的数值（结果保留三位有效数字）。
某正则系综中的单个粒子具有四个能级：能量依次为 0、ε、3ε、4ε，对应的简并度依次为 1、1、2、1。该粒子与温度为 T 的恒温热库接触达到平衡，令 β=1/(kT)，且已知 βε=ln3。(1) 写出该粒子正则系综配分函数 Z 的一般表达式（用 β 和 ε 表示）；(2) 代入 βε=ln3 计算 Z 的数值（结果用分数表示）。
由玻色子组成的理想气体，化学势 μ=0，仅考虑三个单粒子能级 ε₁=ε、ε₂=2ε、ε₃=4ε，能级非简并。系统处于温度 T，且 e^(ε/kT)=2。请按玻色-爱因斯坦分布 n_i=1/(e^((εᵢ-μ)/kT)-1) 分别求出三个能级上的平均粒子数 n₁、n₂、n₃，并计算系统总粒子数 N 及每个粒子的平均能量 E/N（用 ε 表示）。
某容器内装有 5 mol 氦气（可视为单原子理想气体），在体积保持不变的条件下缓慢向气体传热。已知摩尔气体常量 R=8.31 J/(mol·K)，由能量均分定理单原子分子仅有 3 个平动自由度。若传热结束时测得气体共吸收热量 Q=1870 J，且初温为 300 K，求：(1) 该气体的摩尔定容热容 C_V,m；(2) 气体末态温度。