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某金属导带电子可按自由电子气模型处理，测得其费米能 E_F = 5 eV，弛豫时间 τ = 3×10⁻¹⁴ s。已知电子电荷 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m = 9.11×10⁻³¹ kg，约化普朗克常量 ħ = 1.055×10⁻³⁴ J·s，1 eV = 1.6×10⁻¹⁹ J。求：(1) 费米速度 v_F；(2) 电子在费米面上的平均自由程 l = v_Fτ；(3) 该金属的电导率 σ = ne²τ/m，其中电子数密度 n 与费米波矢满足 k_F³ = 3π²n。结果保留三位有效数字。
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根据BCS超导微观理论及其同位素效应，超导转变温度 Tc 与晶格离子质量 M 满足 Tc ∝ M^(−1/2)（即同位素指数 α=1/2）。已知某元素超导体中同位素 A（离子质量 M₁=25 u）的超导转变温度为 Tc₁=6.0 K。现将样品替换为同位素 B（离子质量 M₂=36 u），其他条件不变。求同位素 B 的超导转变温度 Tc₂。
在硅均匀p-n结中，p区受主浓度N_A=10^18 cm^(-3)，n区施主浓度N_D=10^16 cm^(-3)，本征载流子浓度n_i=10^10 cm^(-3)，热平衡温度300 K，热电压V_T=kT/q=0.025 V。（1）说明p-n结形成时空间电荷区（耗尽层）中内建电场的方向（由n区指向p区还是由p区指向n区），并简述其成因；（2）计算该结的热平衡内建电势V_bi，已知表内建电势公式为V_bi=V_T·ln(N_A·N_D/n_i²)，计算中取ln10=2.3。
某顺磁盐单位体积内磁性离子数 n=6.0×10²⁸ m⁻³，离子总角动量量子数 J=1/2，朗德因子 g=2。已知玻尔磁子 μ_B=9.274×10⁻²⁴ J/T，玻尔兹曼常量 k_B=1.381×10⁻²³ J/K，真空磁导率 μ₀=4π×10⁻⁷ H/m。（1）计算该离子的有效磁矩 μ_eff=g√(J(J+1))μ_B；（2）按居里定律 χ=C/T 求居里常数 C=μ₀nμ_eff²/(3k_B)（单位 K）；（3）求 T=300 K 时该盐的磁化率 χ。
一铁磁材料样品体积 V=1.0×10⁻⁶ m³，其磁滞回线近似为矩形：磁化强度仅在 ±M_s 两态间取值，M_s=1.0×10⁶ A/m，矫顽力 H_c=2.0×10⁴ A/m。样品在幅值远大于 H_c 的交变磁场中以频率 f=50 Hz 反复磁化一周。（1）利用磁滞损耗密度等于磁滞回线所围面积 w=∮μ₀H dM，求样品每循环一周损耗的能量密度 w 与总能量 E；（2）求平均磁化损耗功率 P。（取 μ₀=4π×10⁻⁷ T·m/A）
某简单金属中传导电子可视为自由电子气，电子数密度 n=5×10²⁸ m⁻³，电子电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m=9.1×10⁻³¹ kg。实验测得该金属的直流电导率 σ=4.0×10⁷ S/m。在弱电场下输运可用玻尔兹曼方程的弛豫时间近似描述。（1）求弛豫时间 τ；（2）求电子迁移率 μ。
某二维简单晶格常数为 a 的晶体中，电子势场的 Fourier 分量 U 在倒格矢 G = (2π/a, 0) 处不为零，|U_G| = 0.8 eV。用近自由电子近似分析：当自由电子波矢 k 满足 k² = (k − G)² 时（即布拉格条件），两个简并平面波态发生强耦合。（1）写出布拉格条件在该情形下对应的 k 满足的几何关系（用 a 表示）；（2）求该处能隙的大小 Eg（用 eV 表示）。
金属中自由电子气处于温度 T 的热平衡态，电子占据能量为 E 的量子态的概率服从费米-狄拉克分布 f(E)=1/(e^((E−μ)/(kT))+1)，其中 μ 为化学势。已知某能级 E₁ 满足 E₁−μ=kT·ln25。（1）求该能级上电子的占据概率 f(E₁)，结果写成分数；（2）另有能级 E₂ 位于费米能级下方，且 μ−E₂=kT·ln25，求 f(E₂)，结果写成分数。
某单原子晶体共含 N = 2×10^23 个原子，用爱因斯坦模型描述其晶格振动，所有原子均以相同频率 ω_E 振动，每个原子等效于 3 个独立谐振子。已知爱因斯坦温度满足 k_B·θ_E = ħ·ω_E，其中 θ_E = 150 K，k_B = 1.38×10^-23 J/K。求：该晶体全部振子零点能的总和（即 T=0 时晶格振动的总能量），以焦耳为单位。
某绝缘晶体在 T₁=300 K 时体积热容为 C_V=3.0×10⁶ J/(m³·K)，声子平均速率为 v=3×10³ m/s，声子平均自由程为 l₁=8 nm。已知该晶体处于低温区，体积热容满足德拜 T³ 律 C_V∝T³，而声子平均自由程由倒逆散射主导，满足 l∝1/T。求当温度降至 T₂=150 K 时，该晶体的晶格热导率 κ₂ 是多少 W/(m·K)（结果保留为整数）。
一波长 λ=0.05 nm 的 X 射线入射到晶面间距 d=0.15 nm 的晶体上。按布拉格定律 2d·sinθ=nλ（n 为衍射级数，sinθ≤1），(1) 求能观察到的最高衍射级数 n_max；(2) 求 n=3 级衍射极大的布拉格角 θ。
某简单立方晶体中，一条位错线的单位切向矢量记为 t，其伯格斯矢量 b = a(1, 0, 0)，其中 a 为晶格常数。已知该位错线的方向沿晶向 [0 1 0]。(1) 求位错线方向矢量 t 与伯格斯矢量 b 的夹角；(2) 根据夹角判断该位错属于刃型、螺型还是混合型位错，并说明理由。
超导环中的磁通量以磁通量子 Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.07×10⁻¹⁵ Wb 为最小单位量子化，即环内磁通量只能取 Φ = nΦ₀（n 为整数）。某超导环处于磁通量子化状态，实验测得环内总磁通量为 1.035×10⁻¹⁴ Wb，求该环中包含的磁通量子数 n。
根据磁通量子化，超导环所包容的磁通量只能是磁通量子 Φ₀ = h/(2e) ≈ 2.07×10⁻¹⁵ Wb 的整数倍。设某超导环中包含 5 个磁通量子，试计算该环内被俘获的磁通量 Φ 的大小。
某铁磁材料可视为单轴各向异性矩磁体，其磁滞回线近似为矩形：饱和磁化强度 M_s=1.6×10⁶ A/m，磁化方向仅在±M_s 两态间翻转，矫顽力 H_c=8.0×10⁴ A/m，剩磁 M_r=M_s。现有用该材料制成的均匀样品，体积 V=1.0×10⁻⁶ m³，整体沿易磁化轴一致磁化。(1) 求样品在剩磁状态下的总磁矩 m；(2) 求样品沿完整磁滞回线循环一周、由磁滞引起的单位体积耗散能量与样品总耗散能量 W（已知 μ₀=4π×10⁻⁷ T·m/A，结果可用 π 表示）。
某顺磁盐中磁性离子为有效自旋体系：总角动量量子数 J = 1/2，朗德因子 g = 2。已知单位体积内离子数 n = 8.5×10²⁸ m⁻³，玻尔磁子 μ_B = 9.27×10⁻²⁴ J/T，真空磁导率 μ0 = 4π×10⁻⁷ H/m，玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。（1）求该离子的有效磁矩 μ_eff = g√[J(J+1)] μ_B（以 μ_B 为单位）；（2）由居里定律 χ = C/T，计算体积居里常数 C（单位 K），结果保留两位有效数字；（3）求 T = 300 K 时该材料的磁化率 χ。
某金属可视为自由电子气，电子数密度 n=2×10²⁸ m⁻³，弛豫时间 τ=3.2×10⁻¹⁴ s，电子质量 m=9.1×10⁻³¹ kg，元电荷 e=1.6×10⁻¹⁹ C。在沿 x 方向的恒定弱电场 E=9.1×10³ V/m 作用下，系统达到稳态。（1）从玻尔兹曼输运方程出发，在弛豫时间近似下写出稳态时分布函数偏离的形式，并推导电导率 σ 的表达式；（2）计算该金属的电导率 σ；（3）计算体电流密度 J 和电子平均漂移速度 v_d。
某顺磁盐中磁性离子的总角动量量子数 J=1，朗德因子 g=2。已知玻尔磁子 μB=9.274×10^(-24) J/T。（1）写出该离子有效磁矩 μeff 的表达式并代入数值计算；（2）写出该体系磁化率随温度 T 变化的居里定律形式，并说明温度升高一倍时磁化率如何变化。
某 pn 结处于热平衡，温度为 300 K，该温度下热电压 kT/q 取 0.025 V。已知 p 区受主浓度 N_A 与 n 区施主浓度 N_D 满足 N_A×N_D = n_i^2 × e^20，其中 n_i 为本征载流子浓度。求该 pn 结的内建电势 V_bi，结果保留三位有效数字。
某金属可按自由电子气模型处理，导带电子数密度 n = 5×10²⁸ m⁻³，电子弛豫时间 τ = 4×10⁻¹⁴ s。已知 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，m = 9.11×10⁻³¹ kg，ħ = 1.05×10⁻³⁴ J·s。求：(1) 该金属的霍尔系数 R_H（说明正负号）；(2) 电导率 σ；(3) 费米波矢 k_F 与费米速度 v_F（取 (3π²n)^(1/3) ≈ 1.14×10¹⁰ m⁻¹）。