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设从总体 X 中抽取容量为 6 的样本 X₁, X₂, …, X₆，已知样本观测值满足：∑xᵢ = 48，∑xᵢ² = 452。求样本均值 X̄ 与样本方差 S²。
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设二维随机向量 X=(X₁,X₂)ᵀ 服从二元正态分布 N(μ,Σ)，其中 μ=(2,1)ᵀ，Σ=diag(4,9)。已知该分布的密度函数为 f(x)=(2π)^(-p/2)|Σ|^(-1/2)exp[-(1/2)(x-μ)ᵀΣ⁻¹(x-μ)]，p=2。则 f(x) 在点 x=(2,1)ᵀ 处的值为（ ）。选项中 exp 表示以 e 为底的指数函数。 A. 1/(12π) B. 1/(6π) C. 1/(24π) D. e^(-1/2)/(12π)
设二维随机向量 (X₁, X₂) 服从二元正态分布 N(μ₁, μ₂, σ₁², σ₂², ρ)，其中 σ₁²=4，σ₂²=9，相关系数 ρ=0。则 X₁ 的边际分布为 ____（写出分布名称及参数）；给定 X₂=x₂ 时，X₁ 的条件分布为 ____（写出分布名称及参数）。
设 X₁,…,X₁₀ 是来自三元正态总体 N₃(0, Σ) 的独立随机样本，其中 Σ = 2I₃（I₃ 为三阶单位矩阵），记 W = ∑(i=1 to 10) XᵢXᵢᵀ。由 Wishart 分布的定义，W ~ W₃(Σ, 10)，且 E(W) = nΣ。则 E(W) 的迹 tr(E(W)) 等于多少？ A. 20 B. 30 C. 40 D. 60
设 X 服从二维正态分布 N(μ, Σ)，其中 μ=(1, 2)ᵀ，Σ 为协方差矩阵。令 Y = AX + b，其中 A 为 2×2 常数矩阵，b 为二维常数向量。由多元正态分布的线性变换性质，Y 服从的分布是（ ） A. 二维正态分布 N(Aμ + b, AΣAᵀ) B. 二维正态分布 N(μ + b, Σ) C. 二维正态分布 N(Aμ, AΣ) D. 一维正态分布 N(Aμ + b, AΣAᵀ)
某研究建立Logistic回归模型：ln(p/(1-p)) = β₀ + β₁x，其中 p 为事件发生的概率，x 为自变量。已知模型参数 β₀ = -2，β₁ = 0.5。当某样本的自变量取值 x = 4 时，请计算该样本事件发生的概率 p = P(Y=1 | x=4)。
设某产品的购买概率 p 与广告投放次数 x 满足 Logistic 回归模型 logit(p) = ln(p/(1−p)) = β₀ + β₁x。已知回归系数 β₁ = 0.8，且当 x = 2 时购买概率恰好为 0.5。(1) 求 β₀；(2) 求 x = 0 时的购买概率 p₀（精确到小数点后四位）。
在Poisson回归中，连接函数取g(μ)=ln(μ)，回归系数β通常用极大似然法估计。若对某单个回归系数βⱼ构造Wald统计量 W=(β̂ⱼ/SE(β̂ⱼ))² 进行显著性检验，则在大样本条件下，当原假设H₀:βⱼ=0成立时，W 近似服从自由度为____的卡方分布。
为研究某虫害发生次数与温度的关系，建立Poisson回归模型 log μ(x) = β₀ + β₁x。基于样本数据得到参数的极大似然估计 β̂₀=0.4，β̂₁=0.6，其对应的标准误分别为 SE(β̂₀)=0.2，SE(β̂₁)=0.3。若温度 x=2，则拟合的平均发生次数 μ̂=____（保留三位小数）；对回归系数 β₁ 的显著性进行Wald检验，统计量 z=β̂₁/SE(β̂₁)=____；在显著性水平 α=0.05 下，临界值为1.96，则检验结论为 β₁ 显著（填"显著"或"不显著"）。
在某公司员工年薪的回归模型中，引入虚拟变量 D 表示性别（D=1 表示男性，D=0 表示女性），模型为 y = β₀ + β₁x + β₂D + ε，其中 x 为工作年限。若估计得 β₂ > 0 且在统计上显著，则在其他条件相同的情形下，该系数 β₂ 的含义是：男性员工平均年薪比女性员工高 β₂ 万元。在虚拟变量回归模型的解释中，通常将被赋值为 0 的类别（本例中的女性）称为____组。
某研究构建广义线性模型：响应变量为某路口单位时段内的事故数 Y，设 Y 服从均值为 μ 的 Poisson 分布，并令 g(μ)=ln μ=β₀+β₁x₁+β₂x₂，其中 x₁ 为车流量，x₂ 为天气等级。按照广义线性模型的三大组成部分（随机部分、系统部分、连接函数）进行划分，下列对应关系完全正确的是 A. 随机部分：Y~Poisson(μ)；系统部分：η=β₀+β₁x₁+β₂x₂；连接函数：g(μ)=ln μ B. 随机部分：η=β₀+β₁x₁+β₂x₂；系统部分：Y~Poisson(μ)；连接函数：g(μ)=ln μ C. 随机部分：Y~Poisson(μ)；系统部分：g(μ)=ln μ；连接函数：η=β₀+β₁x₁+β₂x₂ D. 随机部分：Y~Poisson(μ)；系统部分：η=β₁x₁+β₂x₂；连接函数：g(μ)=μ
在Logistic回归模型中，设响应变量Y服从二点分布，若模型为 logit(p) = ln(p/(1−p)) = β₀ + β₁x，则 p 关于 x 的表达式为 p = ____（用 β₀、β₁、x 表示）。当 β₁ > 0 时，p 随 x 的增大而____。
设随机变量 Y 服从 Gamma 分布，其均值 μ=E(Y)>0。在广义线性模型中采用倒数连接函数 g(μ)=1/μ，则线性预测 η=g(μ)。若某模型设定线性预测为 η=3-2x，则 E(Y) 关于 x 的函数形式为： A. E(Y)=3-2x B. E(Y)=1/(3-2x) C. E(Y)=(3-2x)² D. E(Y)=exp(3-2x)
某工厂考察车间类型（甲、乙、丙三种）对日产量（件）的影响，各随机抽取10天数据，得各组样本均值分别为：甲车间42，乙车间50，丙车间46。现用只含虚拟自变量的回归模型刻画该单因素方差分析问题：以甲车间为基准组，设置虚拟变量 x₁（乙车间取1，否则取0）、x₂（丙车间取1，否则取0），模型为 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε。（1）写出 β₀、β₁、β₂ 与各组总体均值（用各组样本均值估计）的对应关系，并给出三者的估计值；（2）说明该模型在结构上与何种统计模型等价，并指出基准组的选取如何影响回归系数的解释。
设回归模型 y=βx²+ε（模型对参数非线性，不作变换，直接用非线性最小二乘法估计 β）。现有四组观测数据：(x,y)=(1,15),(2,20),(3,2),(4,4)。残差平方和 S(β)=∑(yᵢ-βxᵢ²)²，则 β 的非线性最小二乘估计 β̂ 为（ ） A. 1/2 B. 1/4 C. 2/3 D. 3/4
在回归分析中引入虚拟变量后，含定性变量的回归模型与方差分析模型的关系是下列哪一项？ A. 若回归模型中只含虚拟自变量，则其与单因素方差分析模型在结构上等价 B. 两者完全无关，方差分析不能写成回归形式 C. 两者等价当且仅当样本量大于30 D. 回归模型必须包含至少一个定量自变量才能与方差分析模型建立联系
某研究者研究学历对月工资的影响，学历分为三个互斥类别：高中及以下、本科、研究生。若以「高中及以下」为基准组设置虚拟变量，则下列关于虚拟变量设置的说法正确的是： A. 需设置三个虚拟变量 D1、D2、D3，分别对应三个学历类别 B. 需设置两个虚拟变量：D1=1 表示本科、否则为 0；D2=1 表示研究生、否则为 0 C. 只需设置一个取值为 1、2、3 的虚拟变量表示学历等级 D. 需设置两个虚拟变量：D1=1 表示高中及以下、否则为 0；D2=1 表示本科、否则为 0
设某生物量 y 与时间 t 的关系可由非线性回归模型 y = α·e^(βt) 描述。已知通过变换后用最小二乘法估计得 β 的估计值为 0.7，且当 t = 0 时模型预测 y = 2.5（单位：kg）。请写出该非线性回归模型的一般形式，并求 t = 4（单位：年）时的模型预测值（结果保留两位小数）。
在非线性回归模型的一般形式 y = f(x₁,…,x_k; β₀, β₁, …, β_p) + ε 中，模型是否为“非线性回归模型”取决于回归函数 f 关于参数是否线性，而与它关于自变量是否线性无关。据此判断：模型 y = β₀·x^(β₁) + ε 关于参数非线性，属于非线性回归模型；而模型 y = β₀ + β₁x + β₂x² + ε 虽关于自变量 x 是曲线形式，但因 f 关于参数 β₀、β₁、β₂ 均为线性，故按定义它属于____回归模型（填“线性”或“非线性”），其中 ε 为随机误差项，假定 E(ε) = ____。
对观测数据 (xᵢ, yᵢ)（i=1,…,5）拟合指数模型 y=a·e^(bx)，对 y 取自然对数得 y′=ln y 后作线性回归。已知 n=5，Σxᵢ=15，Σy′ᵢ=20，Σxᵢ²=55，Σxᵢy′ᵢ=70，则回归方程 y′=a′+bx 中斜率 b=____，且原模型的参数 a=e^(a′)=____。