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对模型 y = a·e^(bx)（a>0）两边取自然对数，可化为线性形式 ln y = ln a + bx。若变换后令 z = ln y，u = x，则该线性回归方程为 z = β₀ + β₁u，其中 β₀ = ____，β₁ = ____。
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设响应变量 y 已中心化，三个自变量 x₁,x₂,x₃ 互不相关（正交设计），且各自标准化。记 zⱼ = xⱼᵀy（j=1,2,3），已知 z₁=4，z₂=−2.5，z₃=1。考虑 Lasso 问题：min_β (1/2)∑ᵢ(yᵢ−∑ⱼxᵢⱼβⱼ)² + 1.5∑ⱼ|βⱼ|。求 Lasso 估计 β̂₁、β̂₂、β̂₃，并指出哪些变量被选入模型。
对模型 y = β₀ + β₁·ln(x) 作可线性化变换，令 z = ln(x)，则 y = β₀ + β₁z 为一元线性回归。若经非线性最小二乘拟合得到 β₀ = 2，β₁ = 3，则当 x = e² 时，y 的拟合值为多少？ A. 8 B. 11 C. 6 D. 5
设线性回归模型 y = β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + ε，数据经标准化后，某次Lasso拟合在给定参数 λ 时，其系数估计为：Lasso惩罚下各系数的收缩量为 |β̂ⱼ| = max(|βⱼ^(OLS)| − λ, 0)。已知三个普通最小二乘估计为 β₁^(OLS) = 6，β₂^(OLS) = −2，β₃^(OLS) = 0.8，取 λ = 1.5。请分别计算 Lasso 估计 β̂₁、β̂₂、β̂₃，并指出哪些变量被 Lasso 从模型中剔除（即压缩为 0）。
在线性回归中，若设计矩阵满足正交条件 XᵀX = nI，Lasso 估计具有软阈值形式：β̂ⱼ(λ) = sign(β̂ⱼ^OLS)·max(|β̂ⱼ^OLS| − λ, 0)。设某四个自变量 x₁、x₂、x₃、x₄ 的最小二乘估计分别为 β̂₁^OLS = 3、β̂₂^OLS = −1.5、β̂₃^OLS = 0.8、β̂₄^OLS = −2.2。取惩罚参数 λ = 1 进行 Lasso 回归，则被 Lasso 完全压缩为零（即被剔除）的变量是： A. x₁ B. x₂ C. x₃ D. x₄
岭回归在最小二乘的残差平方和上增加回归系数平方和的λ倍惩罚项，其估计量为 β̂(λ)=(XᵀX+λI)⁻¹Xᵀy。岭估计虽然不再满足无偏性，但当惩罚参数λ→0时，它收敛于____估计；而当λ增大时，各回归系数被整体向零压缩，估计的方差随之降低，从而有效缓解解释变量间的____问题。
Lasso 方法在回归系数估计中添加的惩罚项与由此产生的估计性质，下列说法正确的是： A. 惩罚项为系数的 L2 范数平方，所有系数被均匀压缩但均不为零 B. 惩罚项为系数的 L1 范数，可使部分系数精确压缩为零，从而实现变量选择 C. 惩罚项为系数个数本身，等价于穷举所有子集回归 D. 惩罚项为系数绝对值之和，其解路径关于系数是处处可导的光滑函数
在正交单位化设计（XᵀX=I）下，Lasso 的解具有软阈值形式：β̂ⱼ = sign(bⱼ)(|bⱼ| − λ)₊，其中 bⱼ 为最小二乘系数，λ>0 为惩罚参数，(x)₊ = max(x, 0)。设三个自变量的最小二乘系数为 b₁=7，b₂=−2，b₃=5，取 λ=3，则三个 Lasso 估计中被精确压缩为零的系数对应的自变量是____（填下标数字），且 β̂₁ + β̂₃ = ____。
在线性回归模型 y=Xβ+ε 中，假设误差项 εᵢ 相互独立且服从 N(0, σ²)。某同学拟合后得到标准化残差并绘制残差图，发现残差随自变量增大呈现明显的喇叭形散布，说明误差方差不齐。检测异常时，观察到第 8 号观测点的残差绝对值远大于其余观测点。请填空：喇叭形残差图直接表明不满足的假设是误差项的____性假设；判断第 8 号观测点是否为异常值，最直接可依据的统计量是该点标准化残差的____。
在一项含 n=10 个观测的回归问题中，考虑两个候选模型：模型一含 p=2 个参数，残差平方和 RSS/n=7.3891，故 ln(RSS/n)=2.000；模型二含 p=3 个参数，RSS/n=8.1662，故 ln(RSS/n)=2.100。已知选择准则为 AIC = n·ln(RSS/n) + 2p，BIC = n·ln(RSS/n) + p·ln(n)，其中 ln(10)≈2.3026。请分别计算两个模型的 AIC 与 BIC（结果保留两位小数），并指出按 AIC 与按 BIC 各应选择哪个模型。
在岭回归中，岭估计 β̂(k)=(X′X+kI)⁻¹X′y 与最小二乘估计 β̂=(X′X)⁻¹X′y 相比较：岭估计是有____估计（填有偏或无偏）；当岭参数 k=0 时，岭估计退化为____估计。
在含 30 个观测的回归问题中，候选模型甲的残差平方 RSS=180、参数个数 p=4，候选模型乙的 RSS=170、p=7。采用准则 AIC = n·ln(RSS/n) + 2p 与 BIC = n·ln(RSS/n) + p·ln(n)（ln30≈3.40，ln6≈1.79，ln(17/3)≈1.73）进行选择，两准则分别选出哪个模型？ A. AIC 选甲，BIC 选甲 B. AIC 选甲，BIC 选乙 C. AIC 选乙，BIC 选甲 D. AIC 选乙，BIC 选乙
在研究某企业月度产品销量的回归模型中，纳入广告投入（x₁）、促销次数（x₂）和销售人员规模（x₃）三个解释变量。已知 x₃ 对其余两个解释变量作辅助回归的可决系数为 0.75。则 x₃ 的方差膨胀因子 VIF=____，容忍度 Tolerance=____。一般认为 VIF 超过____即表明该变量与其余解释变量之间存在严重的多重共线性。
在某地区居民消费支出的回归研究中，以月消费支出（元）为因变量，纳入收入、家庭人口数、住房面积三个解释变量。为诊断多重共线性，对解释变量 x₁（收入）与其余解释变量作辅助回归，得可决系数 R₁²=0.96；对 x₂（家庭人口数）得 R₂²=0.75；对 x₃（住房面积）得 R₃²=0.5。请计算三个解释变量各自的方差膨胀因子 VIF 和容忍度 Tolerance，并依据经验法则（VIF>10 视为存在严重多重共线性）判断哪些变量存在严重的多重共线性，同时说明严重多重共线性对最小二乘估计的一个主要危害。
在多元线性回归模型中，若某两个解释变量之间高度线性相关，通常会导致（ ） A. 回归系数估计值的方差显著增大，符号可能与实际意义相悖 B. 模型的可决系数 R² 必然接近于 0 C. 回归系数估计值的无偏性被彻底破坏 D. 解释变量与随机误差项必定存在相关关系
在响应 y 关于 x 的线性回归中，n=18，某样本点观测值 y₀=42，拟合值 ŷ₀=38，残差标准差估计 s=2，该点杠杆值 h₀₀=0.2。规定当学生化残差 rᵢ = eᵢ/(s√(1−hᵢᵢ)) 的绝对值大于 2 时判定为异常值。则该点的残差 e₀=____，学生化残差 r₀≈____（保留两位小数），据此判断该点____（填：是/不是）异常值。
在回归模型变量选择中，AIC 与 BIC 都由拟合优度项与复杂度惩罚项构成。AIC 的惩罚项为 2p（p 为模型参数个数），BIC 的惩罚项为 p·ln(n)（n 为样本量）。由此可知：当 n ≥ 8 时，ln(n) ____ 2，此时同样大的 p，BIC 的惩罚比 AIC 更重；因此随模型参数个数增加，BIC 倾向于选择参数更 ____（填“多”或“少”）的模型。
在含一个自变量的一元线性回归中（n=12，待估参数个数 p=2），第 4 个观测点的学生化残差平方 r₄²=8，杠杆值 h₄₄=1/3。利用公式 D_i = (r_i²/p)·[hᵢᵢ/(1−hᵢᵢ)] 计算该点的库克距离，并判断其影响性质（约定 D_i>1 判为强影响点）。下列结论正确的是：A. D₄=2，该点是强影响点 B. D₄=1，该点不是强影响点 C. D₄=4/3，该点是强影响点 D. D₄=4/5，该点不是强影响点
在回归诊断中，若某观测的学生化残差为 r_i = -3.5，按 |r_i| > 3 的常用判定准则，下列判断正确的是（ ） A. 该观测是异常值，因其学生化残差绝对值大于 3 B. 该观测不是异常值，因其学生化残差为负数 C. 该观测是异常值，因其学生化残差小于 0 D. 该观测是否为异常值与学生化残差的符号无关但需再算杠杆值才能确定
在某项化妆品销量回归诊断中，基于残差对误差项进行正态性检验，计算得统计量 W=0.965，在显著性水平 α=0.05 下其临界值为 W₀.₀₅=0.930；另对误差方差齐性进行检验，计算得统计量 F=1.82，对应检验的 p 值为 0.234。按检验规则：W 统计量越大越支持正态性，p 值小于 α 时拒绝方差齐性假设。请填写：误差项____（填“通过”或“不通过”）正态性检验；误差方差____（填“满足”或“不满足”）齐性假定。