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已知轨道角动量算符 L = r × p，其直角坐标分量为 L_x、L_y、L_z，且坐标与动量满足对易关系 [x_i, p_j] = iħδ_ij。利用 L_x = yp_z − zp_y 与 L_y = zp_x − xp_z，计算对易子 [L_x, L_y]，写出每一步展开过程，并据此说明该结果与角动量对易关系 [L_i, L_j] = iħε_ijk L_k 是否一致。
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能量为 E=3 eV 的电子自左侧入射，遇到一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=6 eV，其余区域势能为 0。已知 a=0.156 nm，电子质量 m 对应 ħ²/(2m)=0.0381 eV·nm²。求电子对该势垒的透射系数 T（在 e^{−2κa}≪1 的近似下，取 T=16E(V₀−E)/V₀²·e^{−2κa}，结果保留两位有效数字）。
根据量子力学算符公设与对应原理，经典力学量 f(x,p) 对应算符 f(x̂,p̂)，且正则对应关系为 [x̂,p̂]=iħ。设某体系的哈密顿算符为 Ĥ = p̂²/(2m) + V(x̂)，其中 V(x) 为势函数。试利用对易关系 [x̂,p̂]=iħ 计算 [x̂,Ĥ]，并指出所得结果与经典对应原理下 dx/dt = p/m 的对应关系，写出 [x̂,Ĥ]/(iħ) 的表达式。
一维微观粒子处于状态 Ψ(x) = A·sin(πx/a)（0 ≤ x ≤ a），在区域外 Ψ(x)=0，其中 a 为已知常数，A 为归一化常数。根据波函数公设，求：(1) 归一化常数 A；(2) 粒子在区间 [0, a/2] 内出现的概率。
一维线性谐振子处于基态与第一激发态的波函数分别为 ψ₀(x) = (α/π)^(1/4) e^(−αx²/2) 与 ψ₁(x) = √2·(α/π)^(1/4)·√α·x·e^(−αx²/2)，其中 α = mω/ħ。已知线性谐振子能级公式 E_n = (n + 1/2)ħω，n = 0, 1, 2, …。求该谐振子基态与第一激发态的能量 E₀ 和 E₁，并写出能级间隔 ΔE = E₁ − E₀。
一维无限深方势阱（0<x<a，阱外势能无穷大）中质量为 m 的粒子，已知阱宽为 a 时基态（n=1）能量为 2 eV。若保持粒子质量不变，将阱宽缩为 a/2，求该体系第一激发态（n=2）的能量。
设一维自由粒子的波函数为 ψ(x,t) = A·exp[i(3x − 5t)]，其中 A 为归一化常数，坐标 x 以米为单位，时间 t 以秒为单位，指数中 3 的单位为 m⁻¹，5 的单位为 s⁻¹。取 ℏ 为约化普朗克常量。（1）将 iℏ·∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m)·∂²ψ/∂x² 形式的薛定谔方程代入该波函数，求该粒子质量 m 的表达式（用 ℏ 和数值表示）；（2）说明该波函数满足的是自由粒子（势能 V = 0）的薛定谔方程。
一电介质球半径 R=0.1 m，被非均匀极化，其内部任一点极化强度 P=αr，其中 α=6×10⁻¹² C/m³，r 为从球心指向该点的位置矢量。求：(1) 球内体束缚电荷密度 ρ′；(2) 球面上的面束缚电荷密度 σ′；(3) 球内体束缚电荷总量与球面束缚电荷总量。
电荷量为 q 的点电荷沿 z 轴正方向以恒定速度 v=0.8c（c 为真空光速）运动。某观察时刻，场点 P 位于粒子推迟位置处张角为 θ 的方向上，到推迟位置的距离为 R，且 cosθ=1/4。根据李纳-维谢尔势公式 φ = q/[4πε₀(1−n·β)R]，其中 n 为推迟位置指向场点 P 的单位矢量，β=v/c，n·β 为二者的标量积。求：(1) P 点的标势 φ（用 q、ε₀、R 表示）；(2) P 点的矢势 A（用 q、ε₀、R、c 表示）。
某介质对某一频率光的折射率 n=4/3，真空中光速 c=3×10^8 m/s。一带电粒子在该介质中沿直线匀速运动，速度大小 v=0.9c。（1）求光在该介质中的相速度，并判断该粒子是否满足切连科夫辐射条件；（2）若满足条件，求辐射波前（马赫锥）半角 θ，即 cosθ=c/(nv) 中的 θ 角（用反三角函数及角度表示）。
某介质对某波长光的折射率 n=1.8。一电荷量为 q 的带电粒子在该介质中沿直线匀速运动，速度大小 v=0.75c（c 为真空中光速）。（1）判断该粒子能否在该介质中产生切连科夫辐射，并说明理由；（2）若能产生，求辐射方向与粒子运动方向之间的夹角 θ。
一半径为 a=0.01 m 的细导线圆环，载有角频率 ω=6×10⁸ rad/s 的谐变电流 I(t)=I₀sin(ωt)，磁矩振幅 m₀=I₀πa²。远场辐射功率公式为 P=μ₀m₀²ω⁴/(12πc³)。已知该环满足磁偶极辐射条件（环周长远小于波长），若保持频率不变而将磁矩振幅增大为原来的 3 倍，即 m₀'=3m₀，求新的辐射功率 P' 与原辐射功率 P 的比值 P'/P。
一平行板电容器极板间距远小于极板线度，忽略边缘效应。极板间上半部为真空，下半部为相对介电常数 εr=4 的均匀线性各向同性电介质，真空与介质的分界面平行于极板。静电平衡时介质内的电场强度大小 E=2.5×10⁵ V/m，方向由正极板指向负极板（垂直于界面）。求介质表面极化电荷的面密度 σ′。
质量为 m 的一维自由粒子沿 x 方向运动，波函数为 ψ(x,t)=A e^{i(kx−ωt)}，其中 A 为实常数。为便于数值计算，取单位使 ħ/m=1（即以 ħ/m 为速度单位），已知 |A|²=6 m⁻¹，k=5 m⁻¹。求：(1) 该波函数相应的概率流密度 j 的数值；(2) 写出此情形下概率密度 ρ=|ψ|² 所满足的连续性方程，并指出 ∂ρ/∂t 的值。
用毛皮摩擦橡胶棒时，橡胶棒得到了2.5×10¹⁰个多余的电子。已知每个电子所带电荷量为1.6×10⁻¹⁹C，摩擦过程中没有其他电荷转移。求：（1）橡胶棒得到的电子总电荷量是多少库仑？（2）摩擦后橡胶棒带什么电？
一电子在真空中低速（v≪c）运动，可按电动力学中低速运动带电粒子的偶极辐射公式处理其辐射。某时刻它的加速度大小为 a，辐射总功率为 P₁ = 9×10⁻¹⁸ W；经一小段时间后，速度仍远小于光速，但加速度大小变为 a/2，设电荷量与辐射条件不变。（1）求这两个时刻辐射总功率之比 P₁:P₂；（2）求后一时刻的辐射总功率 P₂。
α粒子（电荷量 2e）与氘核（电荷量 e）均在真空中做低速（v≪c）非相对论加速运动。已知低速运动带电粒子的偶极辐射总功率为 P = q²a²/(6πε₀c³)，其中 q 为电荷量，a 为加速度大小。（1）若二者加速度大小相同，求它们的辐射总功率之比 P_α/P_d；（2）若要求二者辐射总功率相同，求它们的加速度大小之比 a_α/a_d。
在经典原子模型中，电子作简谐振动 x(t) = A·cos(ω₀t)，因辐射电磁能量而受到辐射阻尼，振幅逐渐衰减。已知电子质量 m、电量 e，振动频率 ω₀，辐射功率 P = (e²a²)/(6πε₀c³)，其中 a 为加速度。设振幅衰减很慢，可取一个周期内加速度平方的平均值 ⟨a²⟩ = (1/2)A²ω₀⁴。求电子因辐射损失的平均功率 P̄（用 A、ω₀、e、ε₀、c 表示），并说明振幅 A 随时间的变化趋势。
惯性系 S′ 相对 S 系以速度 v=0.6c 沿 x 轴匀速运动（c=3×10^8 m/s，γ=5/4）。已知 S′ 系中某点的电磁场为 E′=(0, 6×10^6, 0) V/m，B′=(0, 0, 0) T。（1）写出该点电磁场从 S′ 系到 S 系的变换公式（E∥=E′∥，E⊥=γ(E′⊥−v×B′)，B 同理）；（2）求 S 系中该点的电场强度 E 和磁感应强度 B 的各分量。
惯性系 S′ 相对 S 系以速度 v=0.6c 沿 x 轴匀速运动，γ=5/4，c=3×10^8 m/s。S′ 系中某点的电磁场为 E′=(0, 3×10^6, 0) V/m，B′=(0, 0, 0.01) T。利用电磁场量的洛伦兹变换公式，求 S 系中该点的电场强度 E 和磁感应强度 B。