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设从两个 p=2 维正态总体 N₂(μ₁,Σ₁) 与 N₂(μ₂,Σ₂) 中分别独立抽取容量 n₁=n₂=6 的样本。经计算得两样本协方差阵分别为 S₁=diag(4,4)，S₂=diag(9,9)，于是合并样本协方差阵为 S_p=((S₁+S₂)/2)=diag(6.5,6.5)。取显著水平 α=0.05，已知 χ²₀.₀₅(3)=7.815。请用 Box M 检验（含小样本修正因子）检验 H₀: Σ₁=Σ₂：(1) 计算 Box 统计量 M=(N−k)ln|S_p|−Σᵢ(nᵢ−1)ln|Sᵢ|（N=n₁+n₂, k=2）；(2) 计算修正统计量 M*=C·M，其中 C=1−(2p²+3p−1)/(6(p+1)(k−1))；(3) 给出检验结论。
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在聚类分析中，设两个样品点 x₁=(1,2,2) 与 x₂=(2,4,4)。(1) 计算闵可夫斯基（Minkowski）距离 d₃(x₁,x₂)=(∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ|³)^(1/3)（精确值即可，可保留立方根形式）；(2) 计算两点的夹角余弦相似系数 cos θ = (x₁·x₂)/(‖x₁‖·‖x₂‖)，并说明由此判断两点相对于坐标原点的位置关系（夹角是多少度）。
对四个样品 A、B、C、D 作系统聚类（最短距离法），样品间欧氏距离为：d(A,B)=2.0，d(C,D)=2.5，d(A,C)=4.0，d(A,D)=4.5，d(B,C)=4.2，d(B,D)=4.8。请按最短距离法依次合并类，写出每一步合并的类与对应的类间距离，并画出谱系图（用文字描述合并层次），最后说明：若在距离水平 3.0 处截断，样品被分为几类？各是哪些样品？
在线性回归模型 y=Xβ+ε 中，自变量间存在多重共线性。已知 XᵀX = [[4,2],[2,4]]，Xᵀy = (6,8)ᵀ。采用岭回归，取惩罚参数 λ=2，岭估计公式为 β̂(λ)=(XᵀX+λI)⁻¹Xᵀy。(1) 求岭估计 β̂(2)；(2) 求最小二乘估计 β̂=(XᵀX)⁻¹Xᵀy 作为对比；(3) 分别计算两个估计的系数平方和 ‖β‖²=β₁²+β₂²，验证岭估计体现“压缩系数、降低方差”的基本思想。
某城市水务部门研究居民用水量 y（吨/月）与气温 x₁、家庭人口 x₂、住房面积 x₃ 的关系，建立三元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+ε。基于 n=18 组观测数据，经最小二乘估计得总平方和 SST=350，残差平方和 SSE=140。又得偏回归系数的估计值与其标准误如下：b₁=2.5，SE(b₁)=1.25；b₂=1.8，SE(b₂)=0.6。取显著性水平 α=0.05，已知临界值 F₀.₀₅(3,14)=3.34，t₀.₀₂₅(14)=2.145。求：(1) 回归方程整体显著性检验的 F 统计量值，并判断回归方程是否整体显著；(2) 分别计算检验 β₁ 与 β₂ 的 t 统计量值，并逐个判断这两个偏回归系数是否显著。
设因子分析模型为 X = AF + ε，其中 X 为 p 维可观测向量，F 为 m 维公共因子向量，A 为载荷矩阵。已知某 2 变量模型中载荷矩阵 A = [[0.8, 0.3], [0.6, 0.2]]，特殊因子方差（个体方差）分别为 σ₁² = 0.25，σ₂² = 0.2。请按因子分析基本模型计算：(1) 变量 X₁ 的公共因子方差（共同度）h₁²；(2) 变量 X₂ 的共同度 h₂²；(3) 利用方差分解式验证每个变量的共同度与特殊因子方差之和是否等于 1。
典型相关分析的基本思想是在两组变量中分别寻找线性组合，使这两个组合之间的相关系数达到最大。设第一组变量只有 1 个变量 X，第二组有 2 个变量 Y₁、Y₂，已知两组变量的协方差矩阵为：Σ₁₁=1，Σ₂₂=[[2,1],[1,2]]（即 var(Y₁)=var(Y₂)=2，cov(Y₁,Y₂)=1），X 与 Y₁ 的协方差为 1，X 与 Y₂ 的协方差也为 1。按典型相关分析的基本思想，求第一对典型变量之间的典型相关系数 ρ₁（结果保留精确值）。
设两组标准化变量 X=(x₁,x₂)ᵀ 与 Y 组进行典型相关分析。已知第一对典型变量 U₁=a₁ᵀX 与 V₁=b₁ᵀY 的典型相关系数 ρ₁=0.7，X 组的第一典型载荷向量为 a₁=(0.8, 0.6)ᵀ，且 x₁、x₂ 相互独立（协方差均为0），方差均为1。请计算第一典型变量 U₁ 对 X 组变量组的冗余指数（即 U₁ 所解释的 X 组总方差比例）。
在对某两组标准化变量 X 组（x₁, x₂）与 Y 组（y₁, y₂）作典型相关分析时，已求得第一对典型变量的典型相关系数 r₁ = 0.8，且 X 组典型载荷向量为 (0.6, 0.8)，Y 组典型载荷向量为 (0.6, -0.8)（各载荷均相对标准化变量计算）。试计算：(1) 第一典型变量分别解释本组变量总方差的比例；(2) 冗余分析中 Y 组变量被 X 组第一典型变量解释的方差比例（即 Y 冗余指数），以及 X 组变量被 Y 组第一典型变量解释的方差比例（X 冗余指数）。
设 x₁, x₂, x₃ 为标准化变量，用两个公因子建立的因子载荷矩阵为 L = [[0.9, 0.2], [0.8, 0.3], [0.3, 0.7]]（第 i 行第 j 列为变量 xᵢ 在因子 fⱼ 上的载荷）。请计算：（1）各公因子 f₁、f₂ 的方差贡献；（2）f₁、f₂ 的方差贡献率及前两个公因子的累计方差贡献率（保留两位小数）。
设某两变量标准化后的因子模型为 X = A F + ε，其中载荷矩阵 A = [0.9 0.2; 0.6 0.8]（第一行对应 x₁，第二行对应 x₂），特殊因子 ε 与公共因子 F 不相关，且假设 Σ = Var(X) = I。现观测得某样品的标准化取值 x₁ = 2，x₂ = 1。试用回归估计法（汤姆森法）计算该样品的公共因子得分向量 f̂ = (f̂₁, f̂₂)ᵀ。
设两总体 G₁、G₂ 的训练样本分别为：G₁：(3,3),(2,1),(4,2)；G₂：(1,4),(0,2),(2,3)。假定两总体协方差矩阵相等，试用 Fisher 判别法：(1) 求判别函数的方向向量 w（取最简整数比例形式，以 x 前系数为正）；(2) 写出按 w·x 与两投影均值中点比较的判别规则；(3) 将新样品 x₀=(2,2) 判入哪一类？
设五个样品 X₁, X₂, X₃, X₄, X₅ 在一维数轴上的坐标分别为 0, 2, 5, 9, 14。采用欧氏距离与最小距离法（单 linkage）进行系统聚类：每一步将当前类间距离最近的两类合并，直至所有样品并为一类。请依次写出四次合并的过程（每步指出被合并的类），并求出第四次合并时的类间距离。
设两个样品点 x₁=(2,0,3) 与 x₂=(5,2,7)。分别按下列定义计算两点间的距离：(1) 绝对值（曼哈顿）距离 d₁=∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ|；(2) 欧氏距离 d₂=√(∑(x₁ⱼ−x₂ⱼ)²)；(3) 切比雪夫距离 d₃=max|x₁ⱼ−x₂ⱼ|；(4) 明氏距离取 p=3，即 d₄=(∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ|³)^(1/3)，结果保留两位小数。最后将 d₁、d₂、d₃、d₄ 按从小到大排序（用 < 连接）。
设两总体 G₁ 与 G₂ 均为一维正态总体，分布分别为 N(2,1) 与 N(6,1)，先验概率 q₁ = q₂ = 1/2，误判损失 C(1|2) = C(2|1)。按 Bayes 判别法，对样本点 x 给出判别规则：x 判入 G₁ 当且仅当 x 满足什么条件？并据此判定 x = 5.5 应判入哪个总体。
某实验室对7个样品作系统聚类，记录每次合并时的类间距离：由7类并为6类的距离为0.6，6类并为5类为0.9，5类并为4类为1.3，4类并为3类为1.7，3类并为2类为4.8，2类并为1类为7.2。请用合并距离的跳跃幅度确定合适的聚类数目，并说明理由。
设二维正态总体 N(μ,Σ)，Σ 未知。为检验 H0: μ=μ0 对 H1: μ≠μ0，从总体抽取容量 n=25 的样本，算得 Hotelling T² 统计量的值为 T²=18。请完成：(1) 将 T² 转化为相应的 F 统计量并给出其自由度；(2) 取显著性水平 α=0.05，已知临界值 F₀.₀₅(2,23)=3.44，判断是否拒绝 H0。
某高校研究教师课时津贴的影响因素，拟建立回归模型，解释变量包括任教年限 x（定量变量，单位：年）与职称（定性变量，含四个互斥类别：助教、讲师、副教授、教授）。请以「教授」为基准类别，写出应设置的虚拟变量个数，并给出每个虚拟变量 D₁、D₂、D₃ 的完整赋值规则；随后反向判断：若某一教师的虚拟变量取值为 D₁=0、D₂=1、D₃=0，该教师属于哪个职称类别？
设二维正态总体 N(μ,Σ)，Σ 未知。为检验 H0: μ=μ0=(10,5)'，从总体抽取容量 n=25 的样本，算得样本均值向量 x̄=(11,6)'，样本协方差阵 S=[[4,0],[0,1]]（对角阵）。取检验统计量 T² = n(x̄−μ0)'S⁻¹(x̄−μ0)，拒绝域为 T² > ((n−1)p/(n−p))F_{p,n−p}(0.05)，其中 p=2，F_{2,23}(0.05)=3.42。计算 T² 的值并作出检验结论。
某零售企业考察三种包装设计（甲、乙、丙）对某商品日销量（件）的影响。以包装甲为基准组，引入两个虚拟变量 D₁、D₂：乙包装时 D₁=1、D₂=0；丙包装时 D₁=0、D₂=1；甲包装时 D₁=0、D₂=0。建立只含虚拟自变量的回归模型 y = β₀ + β₁D₁ + β₂D₂ + ε。已知估计结果为 β̂₀=120，β̂₁=25，β̂₂=10。请写出三种包装日销量的拟合值，并说明该模型与哪种统计模型在结构上等价。