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设随机序列 {Xₜ} 中，各 Xₜ 相互独立，且 Xₜ 服从均值 0、方差 4 的同一分布。定义 Yₜ = 3 + Xₜ。(1) 求 E(Yₜ) 与 Var(Yₜ)；(2) 求 Yₜ 的自协方差 γ(k)（k 为非零整数延迟）；(3) 判断 {Yₜ} 是否为白噪声序列，并简述理由。
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设一元回归模型 y=β₀+β₁x+ε，已知 n=5 组观测数据如下：x 的取值为 1, 2, 3, 4, 5；y 的取值为 2, 4, 5, 4, 5。试用最小二乘法求参数 β₁ 与 β₀ 的估计值（提示：x̄=3，ȳ=4，∑xᵢ²=55）。
某研究欲建立 y 关于 x₁、x₂、x₃ 的回归方程，采用前进法（逐步引入）进行变量选择，引入变量的临界值为 F进=4.00（偏F统计量，引入需 ≥4.00）。已知：各变量单独引入时 F(x₁)=5.2，F(x₂)=8.6，F(x₃)=3.1；当 x₂ 已在方程中时，其余变量的偏F值为 F(x₁|x₂)=6.1，F(x₃|x₂)=1.8；当 x₂、x₁ 已在方程中时，x₃ 的偏F值为 F(x₃|x₁,x₂)=2.5。请按前进法逐步判断各变量的引入情况，写出最终的回归模型所含的自变量集合。
设两组标准化随机向量 X=(x₁,x₂)′ 与 Y=(y₁,y₂)′ 的协方差矩阵为 Σ₁₁=I₂，Σ₂₂=I₂，Σ₁₂=Σ₂₁ᵀ=[[0.5,0.1],[0.1,0.5]]。对两组变量作典型相关分析：(1) 计算 M₁=Σ₁₁⁻¹Σ₁₂Σ₂₂⁻¹Σ₂₁ 的特征值，求全部典型相关系数 ρ₁* 与 ρ₂*；(2) 求第一对典型变量 U₁=a′X，V₁=b′Y 的系数向量 a₁ 与 b₁。
某研究对出行方式（步行、地铁、自驾）与出行目的（通勤、购物、休闲）作对应分析，得到二维对应图中行点与列点的坐标如下：步行=(0.9, 0.2)，地铁=(0.1, 0.8)，自驾=(0.5, 0.5)；通勤=(0.8, 0.3)，购物=(0.2, 0.7)，休闲=(0.9, 0.1)。请逐一计算每个行点与每个列点之间欧氏距离的平方（共9个值），找出其中最小的平方距离及其对应的行点—列点配对，并据此说明哪一种出行方式与哪一种出行目的在对应图上关联最紧密。
设两组标准化变量 X 组（x₁, x₂）与 Y 组（y₁, y₂）进行典型相关分析。已知第一对典型变量 U₁ 与 V₁ 的典型相关系数 r₁ = 0.5，且 x₁、x₂ 关于 U₁ 的典型载荷分别为 0.8 与 0.6。求 X 组变量被 V₁ 所解释的冗余方差比例（即 r₁² 乘以 X 组典型载荷平方的平均值）。
设第一组变量有 p=2 个，第二组变量有 q=2 个，样本量 n=25。对两组变量作典型相关分析，求得两个典型相关系数分别为 r₁=0.7 与 r₂=0.4。试用 Bartlett 检验（大样本卡方近似）检验 H₀：总体典型相关系数 ρ₁=ρ₂=0。计算检验统计量 χ² = -[n-1-(p+q+1)/2]·ln Λ，其中 Λ=∏(1-rᵢ²)（i=1,2）。取显著性水平 α=0.05，已知 χ²₀.₀₅(4)=9.488，请判断两组变量的相关性是否显著。
在某项消费偏好调查中，得到 2×3 列联表的观测频数矩阵 N = [[20, 30, 10], [10, 10, 20]]（行表示性别两个类别，列表示偏好三个类别，样本总频数 n = 100）。按对应分析的数据变换方法：(1) 将列联表变换为过渡矩阵 P = (p_ij)，其中 p_ij = n_ij/n，写出 P；(2) 求过渡矩阵 P 的三个列边缘质量 c_j = ∑ᵢ p_ij（j=1,2,3）；(3) 求第 1 列的列剖面（即在 c₁ 条件下各行所占比例）。
设标准化后的两变量单因子模型为 x = A F + ε，载荷向量 A = (0.8, 0.6)′，特殊方差矩阵 Ψ = diag(0.36, 0.64)。现观测得样本点 x = (1, 0)′。(1) 写出 Bartlett 因子得分估计公式；(2) 用该公式计算此样本点的因子得分 F̂（保留精确分数）。
设两总体 G₁、G₂ 的一维密度分别为 f₁(x)=2e^(−2x)（x>0）与 f₂(x)=4e^(−4x)（x>0）。已知先验概率 q₁=0.3、q₂=0.7，误判损失 L(2|1)=1（将 G₁ 误判为 G₂ 的损失）、L(1|2)=3（将 G₂ 误判为 G₁ 的损失）。按贝叶斯判别规则，比较 q₁L(2|1)f₁(x) 与 q₂L(1|2)f₂(x) 的大小进行判别。现测得某样品 x₀=2，计算相应的两个量（取 e⁴≈54.6，e⁸≈2981），并判断该样品应判入哪个总体。
设因子模型 X = AF + ε 中，三个变量 x₁、x₂、x₃ 受两个公因子 F₁、F₂ 影响，其因子载荷阵为 A = [[0.9, 0.3], [0.6, 0.6], [0.7, 0.2]]，各变量的方差均为1。请求出每个变量 xᵢ 的共同度 hᵢ² 以及对应的特殊方差 σᵢ²（i=1,2,3）。
设某三变量两因子模型 X = AF + ε 的因子载荷阵为 A = [[0.9, 0.3], [0.4, 0.6], [0.6, 0.8]]，其中两个公因子为 F₁、F₂。请计算每个变量 x₁、x₂、x₃ 的共同度 h²，并写出各变量的特殊方差 εᵢ²（设各变量方差为1）。
设两个总体 G₁ 与 G₂ 的均值向量分别为 μ₁=(1,3)ᵀ、μ₂=(5,7)ᵀ，两总体协方差矩阵相同且为 Σ=[[1,0],[0,4]]。现有新样品 x₀=(3,4)ᵀ，试用马氏距离判别法判定 x₀ 所属的总体：分别计算 x₀ 到两总体的马氏距离平方 d²(x₀,G₁) 与 d²(x₀,G₂)，并给出判别结论。
设从两个 p=2 维正态总体 N₂(μ₁,Σ₁) 与 N₂(μ₂,Σ₂) 中分别独立抽取容量 n₁=n₂=6 的样本。经计算得两样本协方差阵分别为 S₁=diag(4,4)，S₂=diag(9,9)，于是合并样本协方差阵为 S_p=((S₁+S₂)/2)=diag(6.5,6.5)。取显著水平 α=0.05，已知 χ²₀.₀₅(3)=7.815。请用 Box M 检验（含小样本修正因子）检验 H₀: Σ₁=Σ₂：(1) 计算 Box 统计量 M=(N−k)ln|S_p|−Σᵢ(nᵢ−1)ln|Sᵢ|（N=n₁+n₂, k=2）；(2) 计算修正统计量 M*=C·M，其中 C=1−(2p²+3p−1)/(6(p+1)(k−1))；(3) 给出检验结论。
在聚类分析中，设两个样品点 x₁=(1,2,2) 与 x₂=(2,4,4)。(1) 计算闵可夫斯基（Minkowski）距离 d₃(x₁,x₂)=(∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ|³)^(1/3)（精确值即可，可保留立方根形式）；(2) 计算两点的夹角余弦相似系数 cos θ = (x₁·x₂)/(‖x₁‖·‖x₂‖)，并说明由此判断两点相对于坐标原点的位置关系（夹角是多少度）。
对四个样品 A、B、C、D 作系统聚类（最短距离法），样品间欧氏距离为：d(A,B)=2.0，d(C,D)=2.5，d(A,C)=4.0，d(A,D)=4.5，d(B,C)=4.2，d(B,D)=4.8。请按最短距离法依次合并类，写出每一步合并的类与对应的类间距离，并画出谱系图（用文字描述合并层次），最后说明：若在距离水平 3.0 处截断，样品被分为几类？各是哪些样品？
在线性回归模型 y=Xβ+ε 中，自变量间存在多重共线性。已知 XᵀX = [[4,2],[2,4]]，Xᵀy = (6,8)ᵀ。采用岭回归，取惩罚参数 λ=2，岭估计公式为 β̂(λ)=(XᵀX+λI)⁻¹Xᵀy。(1) 求岭估计 β̂(2)；(2) 求最小二乘估计 β̂=(XᵀX)⁻¹Xᵀy 作为对比；(3) 分别计算两个估计的系数平方和 ‖β‖²=β₁²+β₂²，验证岭估计体现“压缩系数、降低方差”的基本思想。
某城市水务部门研究居民用水量 y（吨/月）与气温 x₁、家庭人口 x₂、住房面积 x₃ 的关系，建立三元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+ε。基于 n=18 组观测数据，经最小二乘估计得总平方和 SST=350，残差平方和 SSE=140。又得偏回归系数的估计值与其标准误如下：b₁=2.5，SE(b₁)=1.25；b₂=1.8，SE(b₂)=0.6。取显著性水平 α=0.05，已知临界值 F₀.₀₅(3,14)=3.34，t₀.₀₂₅(14)=2.145。求：(1) 回归方程整体显著性检验的 F 统计量值，并判断回归方程是否整体显著；(2) 分别计算检验 β₁ 与 β₂ 的 t 统计量值，并逐个判断这两个偏回归系数是否显著。
设因子分析模型为 X = AF + ε，其中 X 为 p 维可观测向量，F 为 m 维公共因子向量，A 为载荷矩阵。已知某 2 变量模型中载荷矩阵 A = [[0.8, 0.3], [0.6, 0.2]]，特殊因子方差（个体方差）分别为 σ₁² = 0.25，σ₂² = 0.2。请按因子分析基本模型计算：(1) 变量 X₁ 的公共因子方差（共同度）h₁²；(2) 变量 X₂ 的共同度 h₂²；(3) 利用方差分解式验证每个变量的共同度与特殊因子方差之和是否等于 1。
典型相关分析的基本思想是在两组变量中分别寻找线性组合，使这两个组合之间的相关系数达到最大。设第一组变量只有 1 个变量 X，第二组有 2 个变量 Y₁、Y₂，已知两组变量的协方差矩阵为：Σ₁₁=1，Σ₂₂=[[2,1],[1,2]]（即 var(Y₁)=var(Y₂)=2，cov(Y₁,Y₂)=1），X 与 Y₁ 的协方差为 1，X 与 Y₂ 的协方差也为 1。按典型相关分析的基本思想，求第一对典型变量之间的典型相关系数 ρ₁（结果保留精确值）。