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设时间序列 {y_t} 满足 y_t = ρy_(t-1) + u_t。为检验单位根原假设 H₀: ρ=1（即 γ=ρ-1=0），对回归式 Δy_t = γy_(t-1) + ε_t 作 DF 检验。某学生基于 n=100 的样本得到估计值 γ̂ = -0.05，其标准误 SE(γ̂) = 0.020。已知样本量 n=100、含截距情形下 DF 检验 5% 显著性水平的临界值为 -2.89。要求：(1) 计算 DF 检验统计量的数值；(2) 在 5% 显著性水平下判断能否拒绝单位根原假设，并说明该序列在 5% 水平下是否为平稳序列。
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已知某商场月度销售额序列 {X_t}，t=1,2,…,36，季节周期 s=12。对序列作一阶季节差分，记 W_t = X_t − X_(t−12)（t=13,14,…,36）。若已知 X_1=30，X_13=42，X_25=60，试计算 W_13 与 W_25 的值。
设时间序列 {Yₜ} 经过一阶差分后得到的新序列 Xₜ = Yₜ − Yₜ₋₁ 满足平稳可逆的 ARMA(1,1) 模型：Xₜ = 0.6Xₜ₋₁ + εₜ − 0.4εₜ₋₁，其中 {εₜ} 为白噪声序列。试用滞后算子 B 写出 {Yₜ} 所服从的 ARIMA 模型，并指出模型的阶数 (p,d,q)；再将该模型展开为关于 Yₜ 的等价形式（即把 Yₜ 表示为 Yₜ₋₁、Yₜ₋₂ 与 εₜ、εₜ₋₁ 的线性组合），写出最终的展开式。
设时间序列 {Yₜ} 经一阶差分后的序列 Xₜ = Yₜ − Yₜ₋₁ 满足 ARMA(1,1) 模型：Xₜ = 0.6Xₜ₋₁ + εₜ − 0.4εₜ₋₁，其中 {εₜ} 为白噪声。请写出 {Yₜ} 所服从的 ARIMA 模型，并将 (1−0.6B)(1−B)Yₜ = (1−0.4B)εₜ 展开整理，给出等价的 ARMA(2,1) 形式，标明自回归系数与移动平均系数。
设某零均值平稳时间序列样本容量 n=100（显著性界限近似为 2/√n=0.2），其样本自相关函数为：ρ(1)=0.5，ρ(2)=−0.3，ρ(3)=0.1，k≥4 时均在 ±0.2 内且无衰减模式；其偏自相关函数为：φ₁₁=0.5，φ₂₂=(ρ(2)−ρ(1)²)/(1−ρ(1)²)，k≥3 时数值交替变号且绝对值缓慢衰减，不落入显著性界限。请：(1) 计算 φ₂₂ 的值；(2) 依据 ACF 与 PACF 的截尾、拖尾特征识别该序列适用的模型类型，并说明判断依据。
在研究某地区居民消费支出的多元线性回归模型中，自变量为可支配收入 x₁、家庭人口 x₂、住房面积 x₃。为诊断多重共线性，对各解释变量作辅助回归，得到判定系数分别为 R₁²=0.96，R₂²=0.36，R₃²=0.49。请计算三个解释变量的方差膨胀因子 VIF₁、VIF₂、VIF₃（保留两位小数），并依据经验法则（VIF>10 认为存在严重多重共线性）判断哪些变量之间存在严重的多重共线性。
设某零均值时间序列有5个观测值，中心化后的数据依次为：y₁=3, y₂=−1, y₃=0, y₄=1, y₅=−3。请采用除以 n 的有偏估计方法，计算样本自协方差函数 γ̂₀ 与 γ̂₁，并据此求样本自相关函数 ρ̂₁ = γ̂₁/γ̂₀。
设 {ε_t} 为白噪声序列，E(ε_t)=0，Var(ε_t)=3，且不同时刻的 ε_t 互不相关。令 X_t = ε_t + 0.6·ε_(t−1)（t 取一切整数）。试求：E(X_t)、Var(X_t)、X_t 与 X_(t+1) 的自协方差 Cov(X_t, X_(t+1))，并据此判断 {X_t} 是否为平稳时间序列，说明理由。
设随机序列 {ε_t} 满足：各 ε_t 相互独立，且 E(ε_t)=0，Var(ε_t)=1.5（t 为任意整数）。请根据白噪声序列的定义，逐一验证 {ε_t} 是否满足白噪声序列的两个条件，并说明理由。
某研究考察饮食结构变量组（p=2）与体质指标变量组（q=2）之间的相关关系，样本量 n=30。经典型相关分析求得两个典型相关系数分别为 r₁=0.6 与 r₂=0.3。试用 Bartlett 检验依次检验：（1）H₀：所有典型相关系数均为 0；（2）剔除第一个典型变量后 H₀：其余典型相关系数均为 0。已知 χ²₀.₀₅(4)=9.49，χ²₀.₀₅(1)=3.84，取显著性水平 α=0.05。
设第一组变量有 p=2 个变量，第二组变量有 q=3 个变量，样本量 n=31。对两组变量作典型相关分析，求得第一个典型相关系数 r₁=0.6。用 Bartlett 检验统计量 χ₀² = −[n−1−(p+q)/2]·ln[(1−r₁²)(1−r₂²)…(1−r_k²)] 的第一项，即取 −[n−1−(p+q)/2]·ln(1−r₁²)，在 H₀：第一对典型变量不相关成立时它近似服从自由度为 pq 的 χ² 分布。给定显著性水平 α=0.05，临界值 χ²₀.₀₅(6)=12.592。试计算检验统计量的值，并判断第一个典型相关系数是否显著（计算结果保留两位小数）。
设某次调查得到 2×2 列联表的观测频数如下：行变量 A 类（20, 10），B 类（10, 20），总样本量 n=60。（1）计算各单元格的期望频数 E_ij 与 Pearson 卡方统计量 χ²；（2）由 χ² 求该列联表的总惯量 Inertia = χ²/n，并写出结果。
设两因子模型的初始载荷矩阵为 A（按行书写）：变量 x₁ 的载荷为 (√3/2, 1/2)，x₂ 的载荷为 (1/2, −√3/2)，x₃ 的载荷为 (√3/2, −1/2)。现对该载荷阵施行正交旋转，旋转角 θ=30°，旋转矩阵 R=[[cosθ, sinθ],[−sinθ, cosθ]]，其中 cos30°=√3/2，sin30°=1/2，旋转后载荷矩阵 B=AR。试求：(1) 旋转后载荷矩阵 B（按行写出各变量载荷）；(2) 分别计算 x₁ 旋转前后的共同度，验证共同度在旋转前后保持不变；(3) 判断此旋转属于正交旋转还是斜交旋转，并说明判断依据（即正交旋转与斜交旋转对因子间相关性的不同要求）。
某市场调研对手机品牌（行变量：星耀、蓝讯、橙阅）与用户职业（列变量：学生、职员、退休人员）作对应分析，得到二维对应图中各点的坐标如下：行点 星耀=(0.5, 0.1)，蓝讯=(0.2, 0.7)，橙阅=(0.8, 0.6)；列点 学生=(0.4, 0.2)，职员=(0.2, 0.6)，退休人员=(0.9, 0.5)。试在坐标平面上描出上述六个点，完成对应图；并依据行点与列点在图上的邻近程度，指出每个品牌各自与哪一类职业用户对应关系最密切，并简述理由。
设两标准化变量 x₁、x₂ 服从单因子模型 x = A F + ε，载荷向量 A = (0.7, 0.9)′，特殊方差矩阵 Ψ = diag(0.51, 0.19)，公共因子 F 与特殊因子互不相关。现观测到一组样本的标准化取值为 x₁ = 1，x₂ = 2。请用巴特莱特（Bartlett）因子得分法计算该样本公共因子 F 的得分估计值（结果保留三位小数）。
设正交因子模型 X = AF + ε 中，三个标准化变量 x₁、x₂、x₃ 在两个公共因子 F₁、F₂ 上的载荷矩阵为 A = [[0.6, 0.4], [0.5, 0.7], [0.8, 0.2]]，F₁、F₂ 互不相关且方差均为 1，特殊因子 εᵢ 与公共因子互不相关。请分别求变量 x₂ 的共同度 h₂² 与特殊方差 σ₂²。
设某时间序列有4个观测值，经中心化后的数据依次为：y₁=2, y₂=−1, y₃=1, y₄=−2。请计算样本自协方差函数估计 γ̂₀ 与 γ̂₁（使用除以 n 的公式），进而求样本自相关系数 ρ̂₁，并写出样本偏自相关系数 φ̂₁₁ 的值。
设某零均值化后的时间序列前4个观测值的中心化数据为 x₁=−1.5, x₂=−0.5, x₃=0.5, x₄=1.5。采用除以 n 的有偏估计计算样本自协方差函数 γ̂(k)=（1/n）∑(t=1..n−k) xₜxₜ₊ₖ。(1) 求 γ̂(0)、γ̂(1)、γ̂(2)；(2) 求样本自相关函数 ρ̂(1)、ρ̂(2)；(3) 由 ρ̂(1)、ρ̂(2) 递推求样本偏自相关函数 φ̂₁₁ 与 φ̂₂₂。
设平稳时间序列 X_t = ε_t − 0.5ε_(t-1)，其中 ε_t 为零均值白噪声且 Var(ε_t)=1。请计算该序列的自协方差函数 γ_0、γ_1，并求自相关函数 ρ_1 与 ρ_2 的值，说明自相关函数在滞后几步后截尾。
设 {Z_t} 为白噪声序列，E(Z_t)=0，Var(Z_t)=4，且不同时刻的 Z_t 互不相关。定义 X_t = Z_t + 0.5·Z_(t-1)（t 为整数）。(1) 求 X_t 的均值 E(X_t) 与方差 Var(X_t)；(2) 求自协方差 γ(1)=Cov(X_t, X_(t-1)) 与 γ(2)=Cov(X_t, X_(t-2))；(3) 依据计算结果说明 {X_t} 是否为平稳时间序列，并指出理由。