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某顺磁盐单位体积内磁性离子数为 n=6.0×10²⁸ m⁻³，每个离子的总角动量量子数 J=5/2，朗德因子 g=2。已知玻尔磁子 μB=9.274×10⁻²⁴ J/T，玻尔兹曼常量 k=1.381×10⁻²³ J/K，真空磁导率 μ0=4π×10⁻⁷ T·m/A，环境温度 T=300 K。（1）写出该离子有效磁矩 μeff=g√[J(J+1)]μB 并求其数值；（2）在高温弱场近似下，顺磁磁化率满足居里定律 χ=nμ0μeff²/(3kT)，求该盐在 300 K 时的顺磁磁化率 χ。
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某简单金属的传导电子可视为自由电子气，单位体积内电子数 n=4×10²⁸ m⁻³，电子有效质量 m*=2m₀=1.82×10⁻³⁰ kg，电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C。在弱电场下用玻尔兹曼方程的弛豫时间近似描述输运，测得弛豫时间 τ=2×10⁻¹⁴ s。求该金属的电导率 σ 与电阻率 ρ。
在弛豫时间近似下，某金属中传导电子可视为自由电子气，单位体积电子数 n=2×10²⁸ m⁻³，电子电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m=9.1×10⁻³¹ kg，弛豫时间 τ=4×10⁻¹⁴ s。求该金属的电导率 σ（结果保留两位有效数字）。
室温（T=300K，kT=0.026 eV）下，某硅样品中掺入的施主磷原子全部电离，导带有效状态密度 N_c=2.8×10^19 cm^-3，本征载流子浓度 n_i=1.5×10^10 cm^-3。实验测得该 n 型半导体的费米能级位于导带底 E_c 下方 0.182 eV 处。求：(1) 多数载流子（电子）浓度 n；(2) 施主掺杂浓度 N_D（设杂质完全电离、耗尽近似下 n≈N_D）；(3) 少数载流子（空穴）浓度 p（结果保留两位有效数字）。
锗均匀突变p-n结处于热平衡，温度为300 K，取热电压kT/q=0.026 V，本征载流子浓度n_i=2.5×10^13 cm^(-3)。已知p区受主浓度N_A=5×10^15 cm^(-3)，n区施主浓度N_D=2×10^15 cm^(-3)。求该p-n结的内建电势差V_bi（结果保留两位小数）。
某二维正方晶格，晶格常数为 a，其单电子波函数 ψ(x,y) 满足布洛赫定理：对晶格平移矢量 R=ma+nb（m、n 为整数），有 ψ(x+ma, y+nb)=e^(i(mkx·a+nky·a))ψ(x,y)。已知波矢 kx=π/(3a)，ky=π/(2a)。设 ψ(0,0)=A（A≠0）。(1) 写出 ψ(x,y) 按布洛赫定理的一般形式；(2) 求 ψ(6a, 8a)/ψ(0,0) 的值；(3) 判断该状态在平移 R=6a+8b 下波函数值是否改变，并说明理由。
一维晶格常数为 a 的晶体中，单电子波函数 ψ(x) 满足布洛赫定理，即可写成 ψ(x)=e^(ikx)u(x)，其中 u(x) 满足 u(x+a)=u(x)。设某电子处于波矢 k=π/(3a) 的布洛赫态，且已知在 x=x₀ 处 u(x₀)=1。求：(1) 该波函数经历晶格平移 2a 后，即 ψ(x₀+2a)/ψ(x₀) 的值；(2) 平移算符 T(2a) 的本征值；(3) 该电子波矢对应的相位因子每平移一个晶格常数 a 累积的相位角。
单价金属中传导电子可视为自由电子气，其费米温度 T_F = 9.87×10⁴ K，每个原子贡献一个传导电子。在室温 T = 300 K（T≪T_F）下，取气体常数 R = 8.31 J/(mol·K)，π² ≈ 9.87。已知索末菲膨胀给出电子气的摩尔比热 C_e = (π²/2)Z R (T/T_F)，其中 Z 为每原子传导电子数；而经典能量均分定理对每个电子给出 (3/2)R 的摩尔比热贡献。请求出：(1) 该金属电子气的摩尔比热 C_e；(2) C_e 与经典值 (3/2)R 之比，并说明该结果反映了电子比热与经典值怎样的差异。
Drude自由电子气模型把金属中的传导电子处理为经典气体：电子在两次碰撞之间作自由运动，碰撞瞬时且随机，每次碰撞后电子速度方向完全随机化，弛豫时间平均为 τ。设某金属传导电子数密度 n=9×10^28 m⁻³，电子电荷量 e=1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m=9×10⁻³¹ kg，弛豫时间 τ=2.5×10⁻¹⁴ s。请依据模型的基本假设推导电导率 σ 的表达式，计算该金属的电导率 σ 与电阻率 ρ。
在 Drude 自由电子气模型中，金属传导电子被视为经典粒子气体：电子在两次碰撞之间作自由运动，碰撞是瞬时的且使电子速度方向随机化。已知某金属中电子的平均碰撞时间 τ = 2.0×10⁻¹⁴ s（即相邻两次碰撞之间的平均自由时间）。求：(1) 每个电子平均每秒发生碰撞的次数；(2) 若 τ 增大到 2 倍而其他条件不变，每秒碰撞次数变为原来的多少倍？
某绝缘晶体的晶格热导率满足 κ = (1/3)C_V·v·l，其中 C_V 为体积热容，v 为声子平均速率，l 为声子平均自由程。实验测得该晶体在某温度下 κ = 3.6 W/(m·K)，体积热容 C_V = 2.7×10⁶ J/(m³·K)，声子平均自由程 l = 4 nm。求：(1) 声子的平均速率 v；(2) 由散射决定的声子平均弛豫时间 τ = l/v。
一块均匀透明介质的折射率为 n=√2，其下方与空气接触形成平面界面。一束单色光在介质内以入射角 60° 射向该界面。求：(1) 该介质对空气的临界角；(2) 判断光在该界面发生何种现象，并说明理由；(3) 若发生反射，求反射角的大小。
一束单色光从折射率 n=1.50 的均匀玻璃平板内部射向其上表面，光由玻璃射向空气。已知空气折射率近似为 1。（1）求光从玻璃射向空气发生全反射的临界角 C（用角度表示）；（2）若入射角 i=60°，判断光线能否从上表面折射进入空气，并说明发生什么现象。
某晶体中空位的平衡浓度满足 n/N = exp(−E_f/kT)。已知 E_f/k = 3000 K，晶格原子总数 N = 2.0×10^22 个。当温度 T = 1500 K 时，求该晶体中的空位数 n。
某晶体中空位的平衡浓度满足 n/N = exp(−E_f/kT)，其中 E_f 为空位形成能，k 为玻尔兹曼常量，且温度变化时 E_f 不变。已知 E_f/k = 10⁴ K。求：(1) T₁ = 500 K 时空位的平衡浓度 n₁/N；(2) T₂ = 1000 K 时空位的平衡浓度 n₂/N；(3) 比值 n₂/n₁（用 e 的幂表示并算出数值，保留两位有效数字）。
某面心立方晶体中有一条直位错线，其柏氏矢量为 b=(a/2)[110]，位错线单位切向矢量沿 [112] 方向，a 为晶格常数。(1) 求 b 的模长（用 a 表示）；(2) 计算位错线与柏氏矢量的夹角 θ（结果保留一位小数）；(3) 判断该位错属于刃型、螺型还是混合型位错，并说明判断依据。
某金属导带电子可按自由电子气模型处理，测得其费米能 E_F = 5 eV，弛豫时间 τ = 3×10⁻¹⁴ s。已知电子电荷 e = 1.6×10⁻¹⁹ C，电子质量 m = 9.11×10⁻³¹ kg，约化普朗克常量 ħ = 1.055×10⁻³⁴ J·s，1 eV = 1.6×10⁻¹⁹ J。求：(1) 费米速度 v_F；(2) 电子在费米面上的平均自由程 l = v_Fτ；(3) 该金属的电导率 σ = ne²τ/m，其中电子数密度 n 与费米波矢满足 k_F³ = 3π²n。结果保留三位有效数字。
根据BCS超导微观理论及其同位素效应，超导转变温度 Tc 与晶格离子质量 M 满足 Tc ∝ M^(−1/2)（即同位素指数 α=1/2）。已知某元素超导体中同位素 A（离子质量 M₁=25 u）的超导转变温度为 Tc₁=6.0 K。现将样品替换为同位素 B（离子质量 M₂=36 u），其他条件不变。求同位素 B 的超导转变温度 Tc₂。
在硅均匀p-n结中，p区受主浓度N_A=10^18 cm^(-3)，n区施主浓度N_D=10^16 cm^(-3)，本征载流子浓度n_i=10^10 cm^(-3)，热平衡温度300 K，热电压V_T=kT/q=0.025 V。（1）说明p-n结形成时空间电荷区（耗尽层）中内建电场的方向（由n区指向p区还是由p区指向n区），并简述其成因；（2）计算该结的热平衡内建电势V_bi，已知表内建电势公式为V_bi=V_T·ln(N_A·N_D/n_i²)，计算中取ln10=2.3。
某顺磁盐单位体积内磁性离子数 n=6.0×10²⁸ m⁻³，离子总角动量量子数 J=1/2，朗德因子 g=2。已知玻尔磁子 μ_B=9.274×10⁻²⁴ J/T，玻尔兹曼常量 k_B=1.381×10⁻²³ J/K，真空磁导率 μ₀=4π×10⁻⁷ H/m。（1）计算该离子的有效磁矩 μ_eff=g√(J(J+1))μ_B；（2）按居里定律 χ=C/T 求居里常数 C=μ₀nμ_eff²/(3k_B)（单位 K）；（3）求 T=300 K 时该盐的磁化率 χ。