全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
用接受-拒绝方法从密度 f(x)=2x（0≤x≤1）中抽样，取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1 作为建议分布。(1) 求最小的常数 c，使得 f(x)≤c·g(x) 对一切 x∈[0,1] 成立；(2) 设已生成均匀随机数 U₁=0.8 和 U₂=0.3，写出利用这两个数执行一次接受-拒绝采样的完整步骤，并判断本次抽样被接受还是被拒绝。
登录后查看答案
设 {ξₙ, n≥1} 为相互独立的随机变量序列，具有相同的分布：P(ξₙ=2)=1/3，P(ξₙ=1/2)=2/3。记 Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，定义 Mₙ=ξ₁ξ₂…ξₙ（约定 M₀=1）。(1) 求 Eξₙ 与 Eξₙ²；(2) 证明 {Mₙ, Fₙ, n≥0} 是鞅（即验证 Mₙ 可积、Fₙ 可测且 E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ）；(3) 计算 E Mₙ 与 E M₃²。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=4, λ₁=2, λ₂=1（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=1, μ₂=2, μ₃=3。求其平稳分布中 π₃ 的值。
设连续时间马尔可夫链状态空间为 {0,1,2}，转移率矩阵 Q 的非对角元素为：q₀₁=2, q₀₂=0；q₁₀=4, q₁₂=1；q₂₀=0, q₂₁=2。（1）写出该链的嵌入链（跳转链）的一步转移概率矩阵 P；（2）判定嵌入链各状态的类型（正常返、零返或瞬过）。
用蒙特卡洛方法估计定积分 I=∫₀¹ x² dx。（1）采用样本均值法：取 U₁,…,U_n 为 (0,1) 上的独立均匀随机数，用 (1/n)∑xᵢ² 估计 I，求单次估计量 x²（x∼U(0,1)）的方差，并求使估计标准误不超过 0.001 所需的最小样本量 n；（2）改用对偶变量法：以 (Uᵢ²+(1-Uᵢ)²)/2 作为基本估计量，求其方差，并计算普通样本均值法方差与之的比值。
用接受-拒绝方法从密度 f(x)=6x(1−x)（0≤x≤1）中抽样，建议分布取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1。(1) 求满足 f(x)≤c·g(x) 对一切 x 成立的最小常数 c；(2) 求每次提议被接受的概率；(3) 已知某次提议被接受，求该样本落在区间 [0,1/2] 内的概率。
用接受-拒绝方法生成服从密度 f(x)=3x²（0≤x≤1）的随机数。取建议分布为 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1，取常数 c=3 使得 f(x)≤c·g(x) 对所有 x∈[0,1] 成立。设 U₁,U₂ 独立且均服从均匀分布 U(0,1)，若 U₂≤f(U₁)/(c·g(U₁)) 则接受 X=U₁。(1) 写出每次试验的接受概率；(2) 若一次试验中 U₁=0.5，U₂=0.2，判断该样本是否被接受。
设弱平稳过程 {X(t)} 的自相关函数为 R(τ)=e^(-4|τ|)。求：(1) X(t) 的功率谱密度 S(ω)；(2) X(t) 的平均功率。
设参数集 T=(0,∞)，候选有限维分布族定义如下：对任意正整数 n、任意 0<t₁<…<tₙ，规定 (X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布函数为 F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ)=∏ₖ₌₁ⁿ [1−e^(−t_k x_k)]（x₁,…,xₙ≥0；若有某分量 x_k<0 则取 F=0）。(1) 说明每个 t>0 处的一维分布 F(t; x) 对应何种常见分布，并指出 X(t) 与 E[X(t)]；(2) 验证该分布族是否满足相容性条件，即对任意 m<n，边缘分布 F(t₁,…,t_m; x₁,…,x_m)=lim(x_{m+1},…,xₙ→∞) F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ) 是否成立；(3) 由相容性定理判断：是否存在随机过程以该分布族为其有限维分布族？
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间 I={0,1,2}，一步转移概率为 P(0,1)=P(1,2)=P(2,0)=1，其余转移概率均为 0。试求状态 0 的周期 d，并判断极限 lim(n→∞) P⁽ⁿ⁾(0,0) 是否存在；若存在，求其值。
设某电子元件的使用寿命 X 服从参数为 λ=1/2 的指数分布，将损坏的元件立即更换，N(t) 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。请写出 m(t) 满足的更新方程，并利用更新方程求出 m(t) 的表达式。
设参数集 T={1,2}，样本空间 Ω={ω₁,ω₂}，P({ω₁})=P({ω₂})=1/2。对每个 t∈T 在 Ω 上定义实值映射，考察下列四个随机变量族： ① X(1,ω₁)=0，X(1,ω₂)=1；X(2,ω₁)=1，X(2,ω₂)=0； ② Y(1,ω₁)=Y(1,ω₂)=0；Y(2,ω₁)=Y(2,ω₂)=2； ③ Z(1,ω₁)=1，Z(1,ω₂)=2；Z(2,ω₁)=3，Z(2,ω₂)=√5； ④ W(1,ω₁)=0，W(1,ω₂)=1/2；W(2,ω₁)=−1，W(2,ω₂)=3/4。 现规定状态空间 S={0,1,2}。按随机过程的定义（对每个固定的 t∈T，X(t,·) 是定义在 Ω 上的随机变量，且取值于状态空间 S），依次判断上述四个随机变量族中哪些构成以 S 为状态空间的随机过程，哪些不构成，并说明不构成的理由。
设样本观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (0, 2)、(1, 5)、(2, 3)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，带宽取 h=1，核函数取均匀核 K(t)=1（当 |t|≤1），K(t)=0（当 |t|>1）。求 m̂(1) 的值。
设随机过程 X(t)=Z·t+W·e^(-2t)（t≥0），其中 Z 与 W 相互独立，Z 等可能地取值 1 和 3，W 服从区间 [0,2] 上的均匀分布。求该过程的均值函数 m_X(t) 与自协方差函数 C_X(t,s)。
设随机过程 {X(t), t∈[0,1]}，对其给出分布族候选：对每个 t∈[0,1]，一维分布函数为 F(t; x)=x²（0≤x≤1）；对任意 s<t 及实数 x, y，二维分布函数规定为 F(s,t; x, y)=F(s; x)·F(t; y)。（1）写出该过程全体有限维分布的定义式（对任意正整数 n 及 0≤t₁<…<tₙ≤1，给出 n 维联合分布函数的表达形式）；（2）按此二维分布的规定，说明该有限维分布族是否满足相容性定理要求的相容性条件，即验证对任意 s<t 及 x, y，F(s; x)=F(s,t; x, +∞) 是否成立，并给出理由。
设用高斯核对样本量 n=900 的数据作核密度估计，其渐近均方积分误差为 AMISE(h)=2h⁴+5/(900h)。（1）求使 AMISE 最小的带宽 h₀（精确到 0.001）；（2）说明当带宽取 h=0.1（远小于 h₀）时，估计结果主要受偏差影响还是方差影响，并简述曲线形态上的表现。
设观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (1, 3)、(2, 5)、(4, 4)，采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，核函数取均匀核 K(t)=1（当 |t|≤1），K(t)=0（当 |t|>1），带宽 h=1。请计算 m̂(3) 的值。
设有来自某连续总体的 90 个观测值 x₁,…,x₉₀，取值范围均在 [0,45) 内。将 [0,45) 等分为 9 个宽度 h=5 的组格作直方图密度估计，已知落在组格 [15,20) 内的观测值恰有 12 个。请写出组格 [15,20) 上密度估计值 f̂(x) 的表达式并计算其数值。
设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=-1)=1/2），令 Mₙ = Sₙ² − n，停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}。(1) 验证 {Mₙ} 关于自然 σ-域 filtration {Fₙ} 是鞅；(2) 判断可选停时定理的条件是否满足，并说明理由；(3) 利用 E[M_T] = M₀ 计算 E[T]。
设 ξ₁, ξ₂, … 为独立同分布随机变量，P(ξᵢ=1)=P(ξᵢ=−1)=1/2，记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。设常数 a 使得 Mₙ=Sₙ²−an 构成关于 {Fₙ} 的鞅（即 E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ 对一切 n 成立）。(1) 求 a 的值；(2) 求 E[Mₙ]。