全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=x³（0≤x≤1）。请用逆变换法证明：若 U~U(0,1)，则 X=U^(1/3) 服从该分布，并写出验证过程。
登录后查看答案
设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ (3X_n + 5) (mod 13)，种子 X₀ = 2，其中 X_n 表示第 n 次迭代后的状态。请依次计算 X₁、X₂、X₃、X₄、X₅，并确定该发生器从种子出发的状态序列的周期长度。
设 ξ₁, ξ₂, … 为相互独立的随机变量序列，分布为 P(ξₙ=3)=1/2，P(ξₙ=1)=1/2（n≥1）。令 Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，F₀ 为平凡 σ-域，并定义 Mₙ=cⁿ·ξ₁ξ₂…ξₙ（n≥0，约定 M₀=1），其中 c 为待定正常数。(1) 求 c 的值，使得 {Mₙ, n≥0} 关于滤流 {Fₙ} 是鞅；(2) 对该 c 值，直接由鞅的定义计算 E M₃ 的值。
设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=−1)=1/2，各 Xᵢ 相互独立），则 {Sₙ, n≥0} 关于 {Fₙ}（Fₙ=σ(X₁,…,Xₙ)）是鞅。令 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}，再令 τ = T ∧ 20（即 τ = min{T, 20}）。（1）验证 τ 是关于 {Fₙ} 的停时；（2）利用可选停时定理计算 E[S_τ]。
设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {1,2,3}，转移率矩阵 Q 的非对角元素为：q₁₂=3；q₂₁=1, q₂₃=3；q₃₁=2, q₃₂=2，对角元 qᵢᵢ=-∑(j≠i)qᵢⱼ。(1) 写出该链的嵌入链（跳跃链）的一步转移概率矩阵 P；(2) 据嵌入链判断该连续时间马尔可夫链的状态分类（是否不可约、各状态的常返性）。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 p₁₂'(0)=2，p₂₃'(0)=3，p₃₁'(0)=1，p₃₂'(0)=2，且从状态 2 出发在极短时间内跳向状态 1 与跳向状态 3 的倾向之比为 1:3（即 q₂₁:q₂₃=1:3）。试求 q₂₁、q₂₂、q₂₃ 及 p₂₂'(0)。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3,4}，其 Q 矩阵为 Q = [ -6, 2, 3, 1; 1, -4, 0, 3; 2, 5, -8, 1; 0, 2, 1, -3 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。试求 q₁₄ 及 p₃₃'(0) 的值。
设目标函数 f(x₁,x₂)=x₁²+4x₂²，当前迭代点 x=(2,1)。采用回溯线搜索的梯度下降法：搜索方向取负梯度方向 d=−∇f(x)，初始步长 α₀=1，每步将步长减半（即 α←α/2），接受准则为 Armijo 条件 f(x+αd)≤f(x)+0.25·α·∇f(x)ᵀd。（1）写出 ∇f(x) 与 f(x) 的值；（2）求回溯过程最终接受的步长 α；（3）给出新的迭代点 x⁺=x+αd。
设目标分布为 p(x) ∝ e^(−x)，x>0。使用随机游走 Metropolis-Hastings 算法：从当前状态 x=2 出发，提议分布为对称均匀分布 q(x′|x) = 1/2（当 x′∈[x−1, x+1]，否则为0）。某次迭代中提议新状态 x′=3.5。请计算该提议被接受的概率（用 e 的幂表示精确值，并给出保留四位小数的近似值）。
设某学生用 Metropolis-Hastings 算法从目标分布 π(x) 中抽取了一条长度 n=400 的马尔可夫链样本，记样本均值为 x̄，用于估计 Eπ(X)。已知该链的有效样本量为 ESS=100，且样本标准差 s=2。请按 MCMC 样本误差估计的常用公式，计算该估计量的蒙特卡洛标准误 MCSE = s/√ESS。
设二维正态总体 (X,Y) 服从 N(0,0,1,1,ρ)，其中相关系数 ρ=1/2。现用 Gibbs 采样从该分布抽样：每次完整迭代依次从条件分布 X|Y=y 与 Y|X=x 中抽取新值。已知当前状态为 (x₀,y₀)=(2,0)，第一次从 X|Y=y₀ 抽样时所用标准正态随机数为 z₁=2/√3，第二次从 Y|X=x₁ 抽样时所用标准正态随机数为 z₂=0。请写出两个满条件分布 X|Y=y 与 Y|X=x 的均值和方差，并据此计算一次完整迭代后的新状态 (x₁,y₁)。
设 {X(t)} 为均方连续的实弱平稳过程，其自相关函数为 R(τ)=e^(−2|τ|)·cos(3τ)。(1) 求 X(t) 的功率谱密度 S(ω)；(2) 求过程的总平均功率。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3,4}，一步转移概率为：p₀₁=1；p₁₂=1；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₃=1；p₄₀=1/2，p₄₄=1/2。其余 pᵢⱼ=0。请对该链的每个状态判定其是常返态还是瞬过态，并在注明理由后求该链的平稳分布 π=(π₀,π₁,π₂,π₃,π₄)。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且服从区间 (0,3) 上的均匀分布，记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需等待的时间）。求极限 lim(t→∞) E[γ(t)]。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率为：p₁₁=1/2，p₁₃=1/2；p₂₂=1；p₃₁=1/4，p₃₃=3/4。试对每个状态判定它是常返状态还是瞬过（非常返）状态，并说明理由。
用蒙特卡洛法近似积分 I=∫₀¹ eˣ dx。记 U~Uniform(0,1)。(1) 取估计量 X̂=e^U，求 Var(X̂)（保留4位小数）；(2) 改用对偶变量估计量 Ŷ=(e^U+e^(1−U))/2，求 Var(Ŷ)（保留4位小数）；(3) 求方差缩减倍数 Var(X̂)/Var(Ŷ)（保留1位小数），并说明当固定总计算量为 n 次函数求值时两种估计量的收敛阶。
设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=4 与 λ₂=6（单位：次/小时）。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t) 为叠加过程。求概率 P(N(1)=3 且 N₁(1)=2)，并求在 N(1)=3 的条件下 N₁(1)=2 的条件概率。
用蒙特卡洛方法近似积分 I = ∫₀¹ x² dx。设 U₁,…,Uₙ 为来自 [0,1] 上均匀分布的独立随机样本，估计量记为 Îₙ = (1/n)∑ᵢ Uᵢ²。(1) 写出 E[Îₙ] 并验证其无偏；(2) 计算 Var(Îₙ)；(3) 指出 Îₙ 的均方根误差随 n 增大的收敛速度量级。
设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=1−e^(−2x)（x≥0）。(1) 用逆变换法推导：若 U~U(0,1)，则 X=−ln(1−U)/2 服从该分布；(2) 若某次模拟得到的均匀随机数为 U=0.75，求对应的 X 值（用 ln 表示）。
设 {ξₙ, n≥1} 为独立随机变量序列，其中 P(ξₙ=2)=1/3，P(ξₙ=−1)=2/3。记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，定义 Mₙ=Sₙ−nEξ₁（约定 M₀=0）。请验证 {Mₙ, Fₙ, n≥0} 是鞅，并计算 E[Mₙ]。