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在某回归模型（含截距，n=20，p=2）的诊断中，对第 i 个观测点已知：普通残差 eᵢ=3，杠杆值 hᵢᵢ=0.25，残差平方和 SSE=40.5（即均方误差 s²=40.5/18=2.25）。（1）计算标准化残差（内部学生化残差）rᵢ = eᵢ/(s·√(1−hᵢᵢ))；（2）利用删除第 i 个点后的估计公式 s₍ᵢ₎² = [(n−p)s² − eᵢ²/(1−hᵢᵢ)]/(n−p−1)，计算学生化残差（外部学生化残差）tᵢ = eᵢ/(s₍ᵢ₎·√(1−hᵢᵢ))，结果保留两位小数；（3）判断该点是否为异常值候选点（|tᵢ|>2 视为候选）。
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设多元线性回归模型为 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε，现有 4 组中心化后的观测数据如下：x₁：-1, 1, -1, 1；x₂：1, 1, -1, -1；y：1, 5, 3, 7。已知设计矩阵的三列（常数项列、x₁、x₂）两两正交，请用最小二乘法求参数 β₀、β₁、β₂ 的估计值 β̂₀、β̂₁、β̂₂。
某饮料公司研究广告投入 x（万元）与季度销售额 y（万元）的关系，随机抽取 12 个季度数据建立一元线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε。对回归方程作显著性检验（H₀: β₁=0, H₁: β₁≠0），已知回归平方和 SSR=486，残差平方和 SSE=120，取显著性水平 α=0.05，临界值 F₀.₀₅(1,10)=4.96。要求：(1) 写出检验统计量 F 的表达式并计算其值；(2) 给出检验结论，说明回归方程是否显著。
在某农作物的施肥量 x（千克/亩）与产量 y（千克/亩）的一元线性回归研究中，由 12 组田间观测数据算得：回归系数估计 b₁ = 3，残差平方和 SSE = 270，自变量离差平方和 ∑(xᵢ-x̄)² = 12。假定误差项服从正态分布，取显著性水平 α = 0.05，已知 t₀.₀₂₅(10) = 2.2281。求回归系数 β₁ 的 95% 置信区间（结果保留三位小数）。
某校为比较两种教学方法的效果，设甲班学生成绩服从正态总体 N(μ₁, σ₁²)，乙班学生成绩服从正态总体 N(μ₂, σ₂²)，两总体相互独立且方差已知：σ₁²=9，σ₂²=30。从甲班随机抽取 12 名学生，测得样本均值 x̄₁=78 分；从乙班随机抽取 20 名学生，测得样本均值 x̄₂=75 分。取显著性水平 α=0.05，检验甲班平均成绩是否显著高于乙班，即 H₀: μ₁≤μ₂，H₁: μ₁>μ₂（已知 z₀.₀₅=1.645，z₀.₀₂₅=1.96），请给出检验统计量的值并作出结论。
在某农作物的施肥量 x（千克/亩）与产量 y（千克/亩）的一元线性回归分析中，由 10 组观测数据求得回归系数的估计值 b₁ = 3，残差平方和 SSE = 80，自变量离差平方和 ∑(xᵢ-x̄)² = 20。求回归系数 β₁ 的置信度为 95% 的置信区间。（已知 t₀.₀₂₅(8) = 2.306）
某企业研究广告投入 x（万元）与销售额 y（万元）的关系，由 20 组数据算得相关系数 r = 0.8，样本标准差 σx = 2，σy = 5。甲同学断言：'r = 0.8 表明广告投入每增加 1 万元，销售额平均增加 0.8 万元。'（1）指出该断言混淆了哪两个统计概念并说明理由；（2）求 y 对 x 的回归系数 b，写出正确的平均变化量并判断该断言是否成立。
在下列回归分析研究情境中，分别指出哪个变量是自变量（解释变量），哪个变量是因变量（被解释变量），并说明回归分析所要刻画的是二者之间的何种关系。（1）研究某地区居民人均可支配收入与人均消费支出之间的关系；（2）研究某农作物施肥量与亩产量之间的关系；（3）研究某城市平均气温与空调月销量之间的关系。请逐一作答，并概括说明回归分析与相关分析在研究内容上的区别。
某连锁咖啡企业拟研究门店日均客流量 x 对当日营业额 y 的影响，规划部门将回归分析的工作环节整理为五项：甲、依据专业知识设定 y 关于 x 的理论回归模型；乙、收集并整理 30 家门店的客流量与营业额样本数据；丙、利用样本数据对模型中的未知参数作出估计；丁、对估计出的回归方程及回归系数进行显著性检验；戊、对通过检验的回归方程的结构与拟合情况进行分析诊断，并结合实际作出解释和应用。请按回归分析的规范流程写出这五个环节的正确顺序（用甲乙丙丁戊表示）。若企业为节省时间，打算将丁环节省略，直接用未检验的方程进行预测，这一做法是否违背回归分析的基本步骤要求？请简要说明理由。
某厂生产的零件长度服从正态分布 N(μ, σ²)。按规定长度的标准差应不超过 0.5 毫米。质检员从一批零件中随机抽取 20 个，测得样本标准差 s = 0.7 毫米。取显著性水平 α = 0.05，检验该批零件长度的标准差是否显著超过 0.5 毫米（H₀: σ ≤ 0.5，H₁: σ > 0.5）。已知 χ²₀.₀₅(19) = 30.14。
设某种电子元件的寿命（单位：千小时）服从参数 λ=1/2 的指数分布，即密度 f(x)=(1/2)e^(−x/2)，x>0。一台设备需依次独立地更换使用 48 个同型元件（每个用完即换，各元件寿命相互独立）。记 T 为这 48 个元件寿命之总和。试用中心极限定理估算：这 48 个元件的总寿命不超过 120 千小时的概率。
设某排版系统每页出现的排版错误数相互独立，且均服从参数 λ=2 的泊松分布。现随机抽取 100 页，记第 i 页的错误数为 Xᵢ（i=1,2,…,100），总错误数 T = X₁+X₂+…+X₁₀₀。试用中心极限定理估算概率 P(T ≤ 180)（结果保留四位小数，参考值 Φ(1.41)≈0.9207，Φ(1.42)≈0.9222）。
某工厂为研究广告投入 x（万元）与销售额 y（万元）的关系，收集了 5 个月的样本数据，经计算得：∑xᵢ=15，∑yᵢ=37，∑xᵢ²=55，∑xᵢyᵢ=134。试用最小二乘法求 y 对 x 的一元线性回归方程 ŷ=b̂₀+b̂₁x。
某研究所研究某种农作物的施肥量 x（kg/亩）与产量 y（kg/亩）之间的关系，随机抽取 10 块试验田，经计算得到回归系数估计 b₁=2，且 ∑(xᵢ-x̄)²=100，∑(yᵢ-ŷᵢ)²=60。取显著性水平 α=0.05，已知 F₀.₀₅(1,8)=5.32。请对回归方程 y=β₀+β₁x+ε 作显著性检验（H₀: β₁=0），计算 F 统计量的值并给出检验结论。
某实验室为研究温度 x（单位：℃）对某化学反应产率 y（单位：%）的影响，独立重复观测 6 次，经整理得到如下统计量：∑xᵢ=18，∑yᵢ=48，∑xᵢ²=82，∑xᵢyᵢ=165。设 y 对 x 的一元线性回归方程为 ŷ=a+b₁x，用最小二乘法求回归系数 b₁ 与常数项 a 的估计值。
某市环保部门拟研究PM2.5浓度 y 与机动车保有量 x 之间的关系。工作人员甲、乙、丙、丁分别负责下列环节：甲负责根据研究目的设定一元线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε 并对模型假设作出说明；乙负责收集近20个监测站的样本数据，并用最小二乘法估计 β₀ 与 β₁；丙负责对估计出的回归方程进行显著性检验，判断 x 与 y 之间是否存在显著的线性关系；丁负责利用通过检验的回归方程对给定 x 值进行预测，并分析预测误差。请指出四人负责环节对应的回归分析步骤名称，并按正确的执行顺序写出这四个步骤的排序（用甲乙丙丁表示）。
某市统计局分析气温（℃）对日用电量（万度）的影响，将回归分析的六个环节编号如下：A. 根据研究问题与专业知识设定理论回归模型；B. 收集并整理气温与用电量的样本观测数据；C. 利用样本数据对模型中的未知参数作出估计；D. 对回归方程及回归系数进行显著性检验；E. 对模型的拟合效果与基本假定进行回归诊断；F. 利用通过检验的回归方程进行预测和控制。请按回归分析规范流程写出正确的字母顺序（用字母间加'→'连接），并指出其中哪一个环节是决定后续预测结果是否可靠、但在参数估计之前并不执行的关键环节（填写其字母）。
某饮料灌装线规定每瓶净含量为 20.5 克，长期生产经验表明每瓶净含量 X 服从正态分布且标准差 σ=2.4 克保持不变。质检部门随机抽取 36 瓶，测得样本均值为 19.6 克。在显著性水平 α=0.05 下，用 Z 检验判断灌装量是否与规定值有显著差异（双侧检验）。请写出原假设与备择假设、检验统计量的观测值、临界值，并给出结论。
某自动灌装机灌装液体的重量服从正态分布 N(μ, σ²)，按工艺要求每瓶标准差不超过 2 克。质检员随机抽取 16 瓶，测得样本标准差 s = 2.6 克。取显著性水平 α = 0.05，在 H₀: σ² ≤ 4，H₁: σ² > 4 下检验灌装方差是否超标。已知 χ²₀.₀₅(15) = 24.996，请给出检验统计量的值并作出判断。
某测量系统每次独立采集一个随机噪声电压 X（单位：毫伏），X 在区间 [0,10] 上服从均匀分布。系统连续独立采集 40 次，得到 X₁, X₂, …, X₄₀，记总噪声电压为 T = X₁ + X₂ + … + X₄₀。试用独立同分布的中心极限定理估算：(1) T 的近似分布；(2) 概率 P(T > 240)（精确到小数点后四位；Φ(2.19) ≈ 0.9857）。