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设两个样品点 x₁=(1,1,2) 与 x₂=(3,3,4)，若采用绝对值距离（曼哈顿距离）d(x₁,x₂)=∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ| 作为样品间的距离度量，则 d(x₁,x₂)=____。
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设二维正态总体 N(μ,Σ)，Σ 未知。为检验 H0: μ=μ0 对 H1: μ≠μ0，从总体抽取容量 n=26 的样本，算得 T² = n(x̄−μ0)'S⁻¹(x̄−μ0) = 12。利用变换 F = [(n−p)/(p(n−1))]·T²（p=2），则 F 统计量的值为 ____；已知 F₀.₀₅(2,24)=3.40，在显著性水平 0.05 下应作出的结论是____ H0（填“拒绝”或“不拒绝”）。
在多元方差分析（MANOVA）中，当比较 g 个组的多元均值向量是否相等时，需将总离差阵 T 分解为组内离差阵 W 与组间离差阵 B 之和，即 T = W + B。检验所用的统计量 Λ = |W| / |T|，称为 Wilks 统计量。当各组均值向量差异越____（填“大”或“小”）时，B 相对越大，Λ 的取值越____（填“大”或“小”），越倾向于拒绝“各组均值向量相等”的原假设。
某高校研究教师课时津贴的影响因素，拟建立回归模型，解释变量包括任教年限 x（定量变量，单位：年）与职称（定性变量，含四个互斥类别：助教、讲师、副教授、教授）。请以「教授」为基准类别，写出应设置的虚拟变量个数，并给出每个虚拟变量 D₁、D₂、D₃ 的完整赋值规则；随后反向判断：若某一教师的虚拟变量取值为 D₁=0、D₂=1、D₃=0，该教师属于哪个职称类别？
设二维正态总体 N(μ,Σ)，Σ 未知。从总体抽取容量 n=25 的样本，算得样本均值向量 x̄=(1,2)'，已知 hypothesized 均值 μ0=(0,0)'，且 T² = n(x̄−μ0)'S⁻¹(x̄−μ0) = 75。在显著性水平 α 下，均值向量的似然比检验等价于将 T² 与某个 F 分布的常数 c 比较，当 T² 大于 c 时拒绝 H0: μ=μ0。下列关于该检验的拒绝域形式，正确的是哪一项？ A. 拒绝域为 { T² > c }，其中 c 由 F 分布上分位数确定 B. 拒绝域为 { T² < c }，即 T² 越小越拒绝 H0 C. 拒绝域为 { |x̄| > c }，仅依据每个分量的绝对值判断 D. 拒绝域为 { S > c }，即样本协方差阵越大越拒绝 H0
设二维正态总体 N(μ,Σ)，Σ 未知。为检验 H0: μ=μ0=(10,5)'，从总体抽取容量 n=25 的样本，算得样本均值向量 x̄=(11,6)'，样本协方差阵 S=[[4,0],[0,1]]（对角阵）。取检验统计量 T² = n(x̄−μ0)'S⁻¹(x̄−μ0)，拒绝域为 T² > ((n−1)p/(n−p))F_{p,n−p}(0.05)，其中 p=2，F_{2,23}(0.05)=3.42。计算 T² 的值并作出检验结论。
设三维正态总体 N(μ,Σ)，Σ 未知。为检验 H0: μ=μ0 对 H1: μ≠μ0，取容量 n=21 的样本，算得 T² = n(x̄−μ0)'S⁻¹(x̄−μ0) = 15。已知 F_{3,18}(0.05)=3.16，则在显著性水平 α=0.05 下，似然比检验的拒绝域为 T² > [(n−1)p/(n−p)]·F_{p,n−p}(0.05)，应得的结论是（ ） A. 拒绝 H0，因临界值约为 10.53 B. 不拒绝 H0，因临界值约为 4.74 C. 拒绝 H0，因临界值约为 2.11 D. 不拒绝 H0，因临界值约为 14.2
设 X₁,…,X₁₂ 是来自三维正态总体 N₃(μ, 2I₃) 的独立随机样本（I₃ 为三阶单位矩阵），记 W = ∑(i=1 to 12) XᵢXᵢᵀ。由 Wishart 分布定义，W 服从参数为 (2I₃, 12) 的三维 Wishart 分布，则 E(tr(W)) = ____。
设 X₁,…,X₁₆ 是来自四元正态总体 N₄(μ, Σ) 的独立随机样本，其中 Σ = 3I₄（I₄ 为四阶单位矩阵）。记样本协方差矩阵为 S，则由多元正态样本的性质可知 W = (n−1)S = 15S 服从 Wishart 分布。若记 A = ∑(i=1 to 16)(Xᵢ−X̄)(Xᵢ−X̄)ᵀ，则 E[tr(A)] 等于多少？ A. 60 B. 120 C. 180 D. 240
设随机向量 X=(X₁,X₂)ᵀ 服从二元正态分布 N₂(μ,Σ)，其中 μ=(2,1)ᵀ，Σ=diag(4,9)。由多元正态分布的密度函数定义，其密度可写为 f(x)=(2π)^(-1)|Σ|^(-1/2) exp[-(1/2)(x-μ)ᵀΣ⁻¹(x-μ)]，则行列式 |Σ|=____，Σ⁻¹=diag(____,____)，指数部分可化为 -1/2×[(x₁-2)²/4+(x₂-1)²/____]。
设随机向量 X=(X₁,X₂)ᵀ 服从二元正态分布 N₂(μ,Σ)，其中 μ=(1,3)ᵀ，Σ=[1 0; 0 4]。写出该分布的密度函数 f(x₁,x₂)=____（用 π 的表达式表示），并填空：该分布中 X₁ 与 X₂ ____（填“相互独立”或“不独立”）。
在Logistic回归模型中，若某事件发生的概率为 p，则该事件发生的几率（odds）是指（ ） A. p B. 1−p C. p/(1−p) D. (1−p)/p
设三维总体 X∼N₃(μ,Σ)，μ 与 Σ 均未知，从该总体抽取容量为 4 的样本，其观测值为 x₁=(2,4,1)'，x₂=(4,6,3)'，x₃=(3,5,2)'，x₄=(3,5,2)'。则均值向量 μ 的极大似然估计为（ ） A. (3,5,2)' B. (4,5,2)' C. (2,5,2)' D. (3,4,2)'
在泊松回归模型中，设响应变量 Y|X=x 服从泊松分布，其均值 μ 与协变量 x 满足 log(μ) = ln3 + ln2·x（自然对数底为 e）。若将协变量取值为 x=3，则该模型下 Y 的期望 E(Y|x=3) = ____（次）。
某研究考察建筑密度 x 对蚊虫捕获数 Y 的影响。建模时假定每次观测中 Y 服从均值为 μ 的 Poisson 分布，并设线性预测子为 η=β₀+β₁x。请回答：(1) 该模型随机成分是____；(2) 若采用规范连接（canonical link），则连接函数为 g(μ)=____；(3) 此时该模型的三大组成部分中，除去随机成分与连接函数外，剩余部分称为____。
在Logistic回归模型 logit(p) = ln(p/(1−p)) = β₀ + β₁x 中，当 β₀ + β₁x = 0 时，事件发生的概率 p = ____。
某零售企业考察三种包装设计（甲、乙、丙）对某商品日销量（件）的影响。以包装甲为基准组，引入两个虚拟变量 D₁、D₂：乙包装时 D₁=1、D₂=0；丙包装时 D₁=0、D₂=1；甲包装时 D₁=0、D₂=0。建立只含虚拟自变量的回归模型 y = β₀ + β₁D₁ + β₂D₂ + ε。已知估计结果为 β̂₀=120，β̂₁=25，β̂₂=10。请写出三种包装日销量的拟合值，并说明该模型与哪种统计模型在结构上等价。
某公司研究员工年薪（万元）的影响因素，解释变量包括工作年限 x（定量变量）与学历层次（定性变量，含三个互斥类别：本科、硕士、博士）。请回答：(1) 若以「本科」为基准类别，应设置几个虚拟变量？分别写出其取值规则（记为 D₁、D₂）。(2) 若有研究者对三个学历类别设置了三个虚拟变量 D₁、D₂、D₃（每个类别对应取 1，其余取 0），并同时放入含截距项的回归模型，请指出这种设置存在的具体问题（写出专业术语）。(3) 写出按 (1) 正确设置后对应的总体回归模型的一般形式，并说明 β₂ 的含义。
在研究某市住房价格的回归模型中，引入虚拟变量 D 表示地段类型（D=1 表示学区房，D=0 表示非学区房），模型为 y = β₀ + β₁x + β₂D + ε，其中 x 为房屋面积（平方米），y 为房价（万元）。若估计得 β̂₂ = 30，则对 β₂ 的正确解释是： A. 学区房房价平均比非学区房高30%，其他条件相同 B. 在房屋面积相同的条件下，学区房房价平均比非学区房高30万元 C. 房屋面积每增加1平方米，房价平均增加30万元 D. 学区房与非学区房的房价没有显著差异
设回归模型 y = β₀ + β₁·x + β₂·x² + ε，其中 ε 为随机误差项。从参数角度看，该模型中回归函数关于参数 β₀、β₁、β₂ 均为线性，因此属于____回归模型（填“线性”或“非线性”），但回归函数关于自变量 x 是____次多项式，故常称其为多项式回归。