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为研究某植株的生长规律，测得施肥量 x（克）与株高增量 y（厘米）的 5 组数据。根据散点特征选用对数模型 y = a + b·ln x（a, b 为待估参数）。请写出将模型线性化所用的变换，并说明变换后应分别以什么作为新变量 x′ 和 y′ 对 (xᵢ, yᵢ) 的哪些函数值作一元线性回归。
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某地区考察人均收入 x 与耐用消费品占比 y 的关系，选用双曲型模型 y = x/(a·x + b)（a>0, b>0, x>0）拟合。为将其化为线性回归形式，对模型两边取倒数得 1/y = (a·x + b)/x = a + b·(1/x)。若令 z = 1/y，t = 1/x，则 z 关于 t 的线性回归方程为： A. z = a + b·t，其中 z 为因变量，t 为自变量 B. z = a + b/t，其中截距为 a，斜率为 b C. z = b + a·t，其中截距为 b，斜率为 a D. z = a·t + b·t²，其中 t² 为二次项
考虑如下回归模型：y = β₀·e^(β₁x) + β₂x³ + ε，其中 ε 为随机误差项。该模型的回归函数关于参数 β₁ 是____（填“线性”或“非线性”）的，因此该模型属于非线性回归模型；模型中待估计的未知参数共有____个。
下列关于回归模型的表述中，属于「关于参数是非线性的回归模型」且不能通过适当变换化为线性回归模型的是：A. y = β₀ + β₁x + β₂x² + ε B. y = β₀ + e^(β₁x) + ε C. y = β₀·x^(β₁)·ε D. y = β₀ + β₁/x + ε
设线性回归模型 y=Xβ+ε，设计矩阵满足 X′X=[[4,2],[2,4]]，且 X′y=(6,6)′。(1) 求最小二乘估计 β̂_OLS；(2) 取岭参数 k=2，求岭估计 β̂(2)；(3) 分别计算两估计向量的欧氏范数 √(β₁²+β₂²)，并据此说明岭估计相对最小二乘估计在系数压缩上的表现及无偏性变化。
在含两个自变量的多元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε 中，基于 n=12 组观测数据作回归，已知总平方和 SST=100，判定系数 R²=0.64。在检验回归方程整体显著性的 F 检验中，F 统计量的值为 ____。
设随机向量 X=(x₁, x₂)ᵀ 的协方差矩阵为 Σ=[[5, 2],[2, 2]]，其特征值分别为 λ₁=6（对应单位特征向量 u₁=(2/√5, 1/√5)ᵀ）和 λ₂=1。若取 y₁=u₁ᵀX 作为第一主成分，则 y₁ 的方差为（ ） A. 6 B. 1 C. 5 D. 4
设两总体 G₁、G₂ 的一维密度分别为 f₁(x)=3e^(−3x)（x>0）与 f₂(x)=5e^(−5x)（x>0）。已知先验概率 q₁=0.3，q₂=0.7；误判损失为 c(1|2)=4（将 G₂ 个体误判入 G₁）和 c(2|1)=2（将 G₁ 个体误判入 G₂）。按贝叶斯判别规则，当且仅当 f₁(x)/f₂(x) ≥ (q₂·c(1|2))/(q₁·c(2|1)) 时判入 G₁。今观测得一个样品 x=0.5，试计算判别统计量 W(x)=ln(f₁(x)/f₂(x))−ln[(q₂·c(1|2))/(q₁·c(2|1))] 的值（保留三位小数），并据此判断该样品应判入哪个总体。
设两个二维总体 π₁ 与 π₂ 分别服从正态分布 N(μ₁,Σ) 与 N(μ₂,Σ)，其中 μ₁=(3,2)ᵀ，μ₂=(6,5)ᵀ，共同的协方差矩阵 Σ=[[4,1],[1,2]]。现测得新样品 x=(5,4)ᵀ，按马氏距离判别法进行归类：计算 x 到两总体的马氏平方距离 d²(x,π₁) 与 d²(x,π₂)，并据此判断 x 应判入哪个总体。
设两总体 G₁、G₂ 的先验概率分别为 p₁=0.6、p₂=0.4，误判损失为 L(2|1)=3（将 G₁ 误判为 G₂ 的损失）、L(1|2)=2。已知某样本点 x 处两总体的密度函数值 f₁(x)=0.2、f₂(x)=0.5。按使平均误判损失最小的贝叶斯判别规则，比较 π₁L(1|2)f₁(x)=____ 与 π₂L(2|1)f₂(x)=____ 的大小，应将该样本点判入总体 ____（填 G₁ 或 G₂）。
设两个总体 G₁、G₂ 均值向量分别为 μ₁=(2,4)ᵀ、μ₂=(6,2)ᵀ，协方差矩阵相同且已知。现有样品 x₀=(3,3)ᵀ，按马氏距离判别法，x₀ 到 G₁ 的马氏距离平方为 d²(x₀,G₁)=2，到 G₂ 的马氏距离平方为 d²(x₀,G₂)=5，且两总体先验概率相等。则 x₀ 应判入的总体及理由是（ ） A. 判入 G₁，因为 d²(x₀,G₁)<d²(x₀,G₂) B. 判入 G₂，因为 d²(x₀,G₂)>d²(x₀,G₁) C. 判入 G₁，因为 μ₁ 与 x₀ 的欧氏距离更小 D. 无法判断，因为两总体的协方差矩阵未知
设两总体G₁、G₂的概率密度分别为 f₁(x) 与 f₂(x)，先验概率之比 q₁:q₂ = 2:1，误判损失 c(1|2) = c(2|1)。按 Bayes 判别法，当样本 x 满足 q₁f₁(x) ____ q₂f₂(x) 时应判入 G₂（在空中填 >、< 或 =）。若某样本处 f₁(x)/f₂(x) = 1/3，则依据判别规则应判入总体 ____。
某研究用训练样本对两总体 π₁（n₁=10）与 π₂（n₂=10）建立线性判别规则。回代检验中，π₁ 有 1 个样品被误判，π₂ 有 2 个样品被误判；留一法（交叉验证）检验中，π₁ 有 3 个样品被误判，π₂ 有 3 个样品被误判。若要以误判率的无偏性较好为目标评价该判别规则的实际判别效果，应采用的误判率估计值为多少？A. 0.10 B. 0.15 C. 0.30 D. 0.60
设两总体 G₁、G₂ 的密度分别为 f₁(x)、f₂(x)，先验概率 q₁=1/3，q₂=2/3，误判损失 C(1|2)=2，C(2|1)=6。按 Bayes 判别法，当观测 x 使得后验概率 P(G₂|x) 超过某一阈值时判入 G₂，该阈值为（ ） A. 1/4 B. 3/4 C. 2/3 D. 1/3
设有一维样本点集合 {2, 3, 4, 11, 12, 13}，采用 K-means 聚类（k=2），初始中心取 m₁=4，m₂=11，距离用绝对值距离。请写出每一轮迭代的划分结果与更新后的中心，直至收敛，并给出最终两个类的中心（结果唯一）。
对五个样品 A、B、C、D、E 作系统聚类（最短距离法），样品间距离为：d(A,B)=1.2，d(C,D)=1.5，d(A,C)=2.8，d(A,D)=2.9，d(B,C)=3.2，d(B,D)=3.0，d(A,E)=4.0，d(B,E)=4.2，d(C,E)=3.8，d(D,E)=3.5。若在谱系图上以距离阈值 t=2.5 画水平线截断聚类过程，则此时样品被划分成的类数为多少？ A. 2类 B. 4类 C. 3类 D. 5类
已知两个样品点 x₁=(1,2) 与 x₂=(4,6)，若采用欧氏（Euclidean）距离作为聚类中样品间的距离度量，则 d(x₁,x₂)=____。
设有三个样品 X₁=(1,2)，X₂=(3,6)，X₃=(2,4)。已知 X₃ 在直线 y=2x 上，且 X₁、X₂ 也位于同一条过原点的直线上。若采用夹角余弦作为相似系数度量，则 r₁₃ 与 r₁₂ 的大小关系为（ ）。A. r₁₃>r₁₂ B. r₁₃<r₁₂ C. r₁₃=r₁₂=1 D. r₁₃=r₁₂<1
在协方差阵相等性的Box M检验中，设有两个p=2维正态总体，各抽取n₁=n₂=16的独立样本，样本协方差阵行列式分别为|S₁|=4，|S₂|=9，合并样本协方差阵行列式|S_p|=8。取检验统计量 M=(N−k)ln|S_p|−∑(nᵢ−1)ln|Sᵢ|，其中N为总样本量，k为组数。则M=____（保留两位小数）；已知该统计量近似服从自由度为p(p+1)(k−1)/2的卡方分布，给定显著性水平α=0.10的临界值为6.25，故结论为原假设（两总体协方差阵相等）。
设二维随机向量 (X₁, X₂) 服从二元正态分布 N(μ₁, μ₂, σ₁², σ₂², ρ)，其中 μ₁=3，μ₂=7，σ₁²=2，σ₂²=5，ρ=1/2，则条件分布 X₂|X₁=5 的方差是 ____。