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设因子模型 X = AF + ε 中，两个公因子 F₁、F₂ 的因子载荷阵为 A = [[0.8, 0.6], [0.8, 0.4], [0.5, 0.5]]（第 i 行对应变量 Xᵢ 的载荷 a_{i1}, a_{i2}）。变量 X₂ 的共同度 h₂² 为多少？ A. 1.04 B. 0.80 C. 0.64 D. 1.20
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设正交因子模型 X = AF + ε 中，每个变量的方差均为 1，且三个变量在这两个公共因子上的载荷分别为：变量 x₁ 的载荷 (0.8, 0.3)，变量 x₂ 的载荷 (0.6, −0.5)，变量 x₃ 的载荷 (0.4, 0.2)。按因子分析基本模型，公共因子对总方差的贡献等于各变量共同度之和，则该模型中共同度之和为（ ）。 A. 1.54 B. 1.46 C. 1.25 D. 1.84
在正交因子模型 X = AF + ε 中（A 为 p×m 因子载荷矩阵，F 为公因子向量，ε 为特殊因子向量），下列关于模型基本结构的叙述正确的是（ ）。 A. 特殊因子 ε 的各分量之间允许相关，以解释变量的特殊信息 B. 公因子 F 的各分量之间必须两两相关，才能反映公共信息 C. 协方差矩阵 Σ = AA′ + D_ε，其中 D_ε 为特殊因子的对角方差矩阵 D. 因子载荷 a_ij 表示第 i 个变量对第 j 个公因子得分的取值大小
某研究团队对一项包含 5 个标准化变量的数据进行主成分分析，得到样本相关矩阵的 5 个特征值依次为：λ₁=4.2，λ₂=2.5，λ₃=1.8，λ₄=1.0，λ₅=0.5。若按照“累计贡献率达到 85% 即可选取主成分”的原则，且主成分必须按特征值从大到小依次选取，则应选取的主成分个数为多少？ A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
设二维随机变量 X=(x₁,x₂) 的协方差矩阵为 Σ = [3, 1; 1, 3]。对 Σ 作特征值分解以求第一主成分，则第一主成分的单位载荷向量为（ ） A. (1,1)/√2 B. (1,-1)/√2 C. (1,0) D. (0,1)
对12个样品进行系统聚类，记录不同聚类数k下的类内平方和SSE(k)：SSE(1)=100，SSE(2)=60，SSE(3)=48，SSE(4)=40。采用Calinski-Harabasz伪F统计量确定最佳聚类数，其定义为 F(k)=[B(k)/(k−1)]/[SSE(k)/(n−k)]，其中B(k)=SSE(1)−SSE(k)，n=12。计算k=2,3,4的伪F值，使伪F值达到最大的聚类数为多少？ A. k=2 B. k=3 C. k=4 D. 伪F值随k单调递增，无法确定
设三维随机向量 X=(x₁,x₂,x₃)ᵀ 的协方差矩阵为 Σ = [[4,0,0],[0,9,0],[0,0,1]]，则 X 的第一主成分是（ ） A. x₁ B. x₂ C. x₃ D. (x₁+x₂+x₃)/3
设两总体 G₁、G₂ 的训练样本分别为：G₁：(3,3),(2,1),(4,2)；G₂：(1,4),(0,2),(2,3)。假定两总体协方差矩阵相等，试用 Fisher 判别法：(1) 求判别函数的方向向量 w（取最简整数比例形式，以 x 前系数为正）；(2) 写出按 w·x 与两投影均值中点比较的判别规则；(3) 将新样品 x₀=(2,2) 判入哪一类？
在两总体Fisher判别中，设投影方向为 a=(1, -1)ᵀ，两总体的样本均值投影后分别为 x̄₁ᵀa = 4 与 x̄₂ᵀa = 0，则 Fisher 判别的阈值（两投影均值的中点）m = ____。现有一新样本 x 的投影值为 xᵀa = 3，按最近邻原则应判别其属于总体 ____。
设两个总体的均值向量分别为 μ₁=(2,0)′ 与 μ₂=(0,2)′，合并协方差矩阵 Σ=[[1,0],[0,1]]。用 Fisher 判别法对样本点 x=(1,3)′ 进行判别，判别规则为：若 x 在判别方向上的投影大于两总体投影均值的中点则判入总体1，否则判入总体2。则 x 应判入哪个总体？ A. 总体1 B. 总体2 C. 投影值恰为中点，无法判别 D. 需要先求逆矩阵 Σ⁻¹，无法由题给条件确定
设两总体G₁与G₂的分布分别为一维正态N(4,1)与N(10,1)，先验概率q₁=1/4，q₂=3/4，误判损失C(1|2)=C(2|1)。按Bayes判别法，样本点x判入G₁当且仅当 x ≤ ？ A. 7 B. 7 − (ln3)/6 C. 7 + (ln3)/6 D. 7 − (ln3)/3
设五个样品 X₁, X₂, X₃, X₄, X₅ 在一维数轴上的坐标分别为 0, 2, 5, 9, 14。采用欧氏距离与最小距离法（单 linkage）进行系统聚类：每一步将当前类间距离最近的两类合并，直至所有样品并为一类。请依次写出四次合并的过程（每步指出被合并的类），并求出第四次合并时的类间距离。
在两总体贝叶斯判别中，设总体 G₁ 的先验概率为 q₁=0.2，G₂ 的先验概率为 q₂=0.8，误判损失 L(2|1)=4（将 G₁ 误判为 G₂ 的损失），L(1|2)=1。若某样本的后验概率密度值满足 f₁(x)=f₂(x)，仅从先验概率与误判损失的角度比较，下列判断正确的是： A. 因为 q₁ 小，必判入 G₁ B. 因为 q₂·L(1|2)=0.8 大于 q₁·L(2|1)=0.8，两者相等，判入任一总体均可 C. 因为 q₁·L(2|1)=q₂·L(1|2)=0.8，先验概率与损失的综合权重相同，此时应依据似然函数值大小判别 D. 误判损失与先验概率在判别中不起作用
设有一维样本点 x₁=1，x₂=3，x₃=6，x₄=10，采用绝对值距离 d(x,y)=|x-y|，用最短距离法（单联结）进行系统聚类。每次合并当前距离最小的两类，直到所有样本归为一类。则第三次合并发生在距离等于多少时？A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
设两个样品点 x₁=(2,0,3) 与 x₂=(5,2,7)。分别按下列定义计算两点间的距离：(1) 绝对值（曼哈顿）距离 d₁=∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ|；(2) 欧氏距离 d₂=√(∑(x₁ⱼ−x₂ⱼ)²)；(3) 切比雪夫距离 d₃=max|x₁ⱼ−x₂ⱼ|；(4) 明氏距离取 p=3，即 d₄=(∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ|³)^(1/3)，结果保留两位小数。最后将 d₁、d₂、d₃、d₄ 按从小到大排序（用 < 连接）。
设两总体 G₁ 与 G₂ 均为一维正态总体，分布分别为 N(2,1) 与 N(6,1)，先验概率 q₁ = q₂ = 1/2，误判损失 C(1|2) = C(2|1)。按 Bayes 判别法，对样本点 x 给出判别规则：x 判入 G₁ 当且仅当 x 满足什么条件？并据此判定 x = 5.5 应判入哪个总体。
某实验室对7个样品作系统聚类，记录每次合并时的类间距离：由7类并为6类的距离为0.6，6类并为5类为0.9，5类并为4类为1.3，4类并为3类为1.7，3类并为2类为4.8，2类并为1类为7.2。请用合并距离的跳跃幅度确定合适的聚类数目，并说明理由。
对一维样本 {1, 3, 5, 10, 12, 14} 执行 K-means 聚类（K=2），距离采用绝对距离 |x−y|，初始中心取 m₁=2、m₂=13。规定每完成一次「全体样本重新分配＋中心更新」记为一轮迭代，若某轮分配结果与上一轮相同则算法终止。则算法共迭代 ____ 轮，终止时两个聚类中心分别为 ____ 和 ____。
对一维样本 {1, 3, 8, 10, 20} 执行 K-means 聚类（K=2），采用绝对距离 |x−y|，初始中心取 m₁=3、m₂=10。按最近中心原则完成第一轮分配后，两个类的新中心 m₁′ 与 m₂′ 分别为多少？ A. m₁′=2，m₂′=12.67 B. m₁′=3，m₂′=10 C. m₁′=2，m₂′=15 D. m₁′=4.5，m₂′=15
设二维正态总体 N(μ,Σ)，Σ 未知。为检验 H0: μ=μ0 对 H1: μ≠μ0，从总体抽取容量 n=25 的样本，算得 Hotelling T² 统计量的值为 T²=18。请完成：(1) 将 T² 转化为相应的 F 统计量并给出其自由度；(2) 取显著性水平 α=0.05，已知临界值 F₀.₀₅(2,23)=3.44，判断是否拒绝 H0。