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设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，其协方差函数为 Cov(B(s),B(t))=min(s,t)。对于 0<s<t，下列关于增量 B(t)−B(s) 的结论正确的是：A. 期望为 t−s，方差为 t−s B. 期望为 0，方差为 t−s C. 期望为 0，方差为 t D. 期望为 0，方差为 s
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设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。对区间 [0,1] 作 n 等分，分点为 tᵢ=i/n（i=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ [B(tᵢ)−B(tᵢ₋₁)]²。则 Vₙ 依概率收敛于 ____，且 E[Vₙ]=____。
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。将区间 [0,2] 进行 n 等分，分点为 t_k=2k/n（k=0,1,…,n），记二次变差近似和 S_n=∑ₖ₌₁ⁿ [B(t_k)−B(t_(k−1))]²。依概率取极限，lim(n→∞) S_n = ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
设 {B(t), t≥0} 是标准布朗运动，下列关于其性质的陈述中正确的是（ ） A. B(0)=1，且 B(t)～N(0,t) B. 对任意 0≤s<t，增量 B(t)−B(s)～N(0,t−s)，且不重叠区间的增量相互独立 C. 样本路径处处可导 D. 对任意 t>0，B(t)～N(1,t)
设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=-1)=1/2），令 Mₙ = Sₙ² − n，停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}。(1) 验证 {Mₙ} 关于自然 σ-域 filtration {Fₙ} 是鞅；(2) 判断可选停时定理的条件是否满足，并说明理由；(3) 利用 E[M_T] = M₀ 计算 E[T]。
设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1}，转移速率矩阵 Q = [-4 4; 2 -2]（即 q00=-4，q01=4，q10=2，q11=-2），初始分布 P{X(0)=0}=1。记 p00(t)=P{X(t)=0 | X(0)=0}。由柯尔莫哥洛夫向前方程，p00(t) 满足微分方程 p00′(t) = p00(t)q00 + p01(t)q10，其中 p01(t)=1-p00(t)，初始条件 p00(0)=1。解得 p00(t) = ____（用 t 的表达式表示）。
设 ξ₁, ξ₂, … 为独立同分布随机变量，P(ξᵢ=1)=P(ξᵢ=−1)=1/2，记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。设常数 a 使得 Mₙ=Sₙ²−an 构成关于 {Fₙ} 的鞅（即 E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ 对一切 n 成立）。(1) 求 a 的值；(2) 求 E[Mₙ]。
设 {ξₙ, n≥1} 为独立同分布随机变量序列，E|ξ₁|<∞，Eξ₁=μ。令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。定义 Mₙ=Sₙ−nμ（约定 M₀=0）。(1) 写出鞅的定义；(2) 验证 E|Mₙ|<∞；(3) 验证对一切 n≥0，E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ，从而 {Mₙ} 关于 {Fₙ} 是鞅。
设 ξ₁,ξ₂,… 独立同分布，P(ξᵢ=1)=P(ξᵢ=−1)=1/2，令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。已知 Xₙ=Sₙ²+3Sₙ+n 关于滤流 {Fₙ} 是下鞅。按杜布分解定理将 Xₙ 写成 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中 Mₙ 是鞅、Aₙ 是零初值可料递增序列，则 A₃ 等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，Q 矩阵为 Q = [ -4, 3, 1; 2, -5, 3; 0, 4, -4 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。（1）写出转移概率 p₀₂(t) 所满足的柯尔莫哥洛夫向后方程；（2）求 p₀₂'(0) 的值。
设 {Mₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的鞅，T 是关于 {Fₙ} 的停时。下列关于停时与可选停时定理的叙述正确的是：A. 对任意停时 T，必有 E[M_T]=E[M₀] B. 若 T 是有界停时（T≤N 某常数 N），则 E[M_{T∧N}]=E[M₀] C. 停时 T 的取值必须是确定性的常数 D. 鞅在任何停时处停止后期望一定增大
某生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，其出生率与死亡率如下：λ₀=λ₁=λ₂=1（λₙ=0, n≥3），μ₁=1, μ₂=2, μ₃=3。设 π₀, π₁, π₂, π₃ 为该过程的平稳分布，求 π₀ 及 π₃ 的值。
设某生灭过程 {N(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率恒为 λₙ=2（n≥0），死亡率恒为 μₙ=3（n≥1）。试写出其平稳分布 πₙ（n=0,1,2,…）。
设连续时间马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₁=-2, q₁₂=2；q₂₁=1, q₂₂=-1；q₃₂=3, q₃₃=-3；q₄₁=2, q₄₄=-2，其余非对角元为0。写出其嵌入链（跳跃链）：由状态1必跳到2，由状态2必跳到1，由状态3必跳到2，由状态4必跳到1。则该嵌入链的唯一闭类为 {1,2}，其平稳分布为 π₁=____，π₂=____（状态3、4的平稳概率为0）。
设生灭过程的状态空间为 {0,1}，出生率 λ₀=2，死亡率 μ₁=3。若该过程的平稳分布存在，则平稳分布中处于状态 1 的概率 π₁=____。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/2, 0, 1/2]]。求该链的平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃)，其中 πᵢ ≥ 0 且 π₁ + π₂ + π₃ = 1。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [1/3, 2/3, 0, 0], [1/4, 1/4, 1/4, 1/4], [0, 0, 0, 1]]。请完成：(1) 判断各状态的常返性与瞬过性，并说明各状态的类别（是否吸收态、是否互通）；(2) 求该链的平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃, π₄)，使得 πP = π 且 ∑πᵢ = 1。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，其 Q 矩阵为 Q = [ -3, 2, 1; 4, -6, 2; 5, 0, -5 ]，转移率 q_ij = q(i,j)。记 p_ij(t) 为转移概率函数，则由转移概率与 Q 矩阵的关系，p_01'(0) 及 q_12 的值分别为（ ） A. p_01'(0) = 2，q_12 = 2 B. p_01'(0) = -3，q_12 = 6 C. p_01'(0) = 1，q_12 = -2 D. p_01'(0) = 5，q_12 = 0
设有限马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移矩阵为：第1行 (1/2, 1/2, 0, 0)；第2行 (1/3, 2/3, 0, 0)；第3行 (0, 0, 1/2, 1/2)；第4行 (0, 1/2, 0, 1/2)。则该链中常返状态共有____个，瞬过状态为____（按从小到大填写状态编号）。
设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1}，转移速率矩阵 Q = [ -3 3 ; 1 -1 ]（其中 q₀₀=-3，q₀₁=3，q₁₀=1，q₁₁=-1），且初始状态 X(0)=1。由柯尔莫哥洛夫向前方程组解得转移概率 p₁₁(t) 等于（ ）。 A. 1/4 + 3/4·e^(-4t) B. 3/4 + 1/4·e^(-4t) C. 1/4 + 3/4·e^(4t) D. 3/4 - 1/4·e^(-4t)