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设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/4, 3/4]]。试利用 C-K 方程计算两步转移概率 p₁₁⁽²⁾ 与 p₁₂⁽²⁾。
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设连续时间马尔可夫链的转移率矩阵（Q矩阵）为 q₁₁=-2, q₁₂=2, q₁₃=0；q₂₁=1, q₂₂=-3, q₂₃=2；q₃₁=q₃₂=0, q₃₃=0。 其嵌入链（跳跃链）由 pᵢⱼ=qᵢⱼ/(-qᵢᵢ)（i≠j）确定。下列关于嵌入链状态分类的结论正确的是： A. 状态1与状态2均为常返态，状态3为非常返态 B. 状态3为吸收态，状态1与状态2均为非常返态 C. 三个状态均为常返态 D. 状态1为吸收态，状态2与状态3为非常返态
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，一步转移概率为：p₀₁=1；p₁₀=1/2，p₁₂=1/2；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₃=1。则状态 2 属于____状态（填“常返”或“瞬过”），该链的常返状态个数为____个。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间 I={0,1}，转移矩阵 P=[[0,1],[1,0]]。由任意状态出发，链经过偶数步后必定返回原状态，故状态 0 与状态 1 的周期均为 ____。因此对任意 i,j∈I，lim(n→∞) P⁽ⁿ⁾ᵢⱼ = ____（填：存在或不存在）。
设 {N(t), t≥0} 为一更新过程，其间隔时间序列 X₁, X₂, … 独立同分布，第 n 个更新时刻记为 Sₙ = X₁+…+Xₙ。下列关于计数过程 N(t) 与更新时刻关系的表述中，正确的是哪一项？ A. N(t) = n 当且仅当 Sₙ ≤ t < Sₙ₊₁（n = 1, 2, …） B. N(t) = n 当且仅当 Sₙ₋₁ < t ≤ Sₙ（n = 1, 2, …） C. 对任意 t，N(t) 关于 t 严格递增 D. N(t) < n 当且仅当 Sₙ ≤ t
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 的分布为混合分布：以概率 1/2 服从参数为 1 的指数分布，以概率 1/2 服从区间 [1,3] 上的均匀分布。（1）求 E[X]；（2）求 lim(t→∞) m(t)/t，其中 m(t)=E[N(t)] 为更新函数；（3）求 lim(t→∞) N(t)/t（几乎处处意义下）。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[0.4, 0.6], [0.3, 0.7]]，则该链的平稳分布 π = (π₁, π₂) 为（ ） A. (1/3, 2/3) B. (2/3, 1/3) C. (0.4, 0.6) D. (1/2, 1/2)
设 {N(t), t≥0} 是更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且服从参数 λ=1/2 的指数分布（均值为 2）。记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。求极限 lim(t→∞) P(γ(t) > x)，其中 x ≥ 0。
设更新过程中到达间隔时间 X 服从区间 (1,3) 上的均匀分布，m(t) 为更新函数。由更新定理，lim(t→∞) [m(t) − t/2] = ____。
设更新过程 {N(t), t≥0} 的间距 X₁, X₂, … 独立同分布，X₁ 的分布为 P(X=1)=1/4，P(X=2)=3/4。记 m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新方程可得 m(t) 满足 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−x)dF(x)。已知 t 时刻 N(t) 仅可能取值 0,1,2,…。求 lim(t→∞) m(t)/t，即更新率。 A. 2/5 B. 4/7 C. 1/2 D. 3/7
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，其更新间隔服从均值为 1/λ 的指数分布。记 γ(t) 为 t 时刻的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。由更新定理，对任意 x≥0，极限 lim(t→∞) P(γ(t) ≤ x) = ____（用 λ 和 x 表示）。
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=6 的泊松过程，每个到达事件独立地以概率 1/3 被归类为 A 型，以概率 2/3 归类为 B 型。记 N_A(t)、N_B(t) 分别为 (0,t] 内 A 型、B 型事件的个数。则 P(N_A(1)=2 且 N_B(1)=1) 等于多少？ A. 8e^(-6) B. 4e^(-6) C. 8e^(-2) D. 16e^(-6)
设 {N(t), t≥0} 是更新过程，其计数函数满足：对任意时刻 t，N(t) 表示区间 (0, t] 内发生的更新次数。已知某设备依次更换电池，第 n 块电池的寿命 Xₙ 相互独立且同分布，每次更换电池视为一次更新。若到时刻 t 为止恰好更换了 3 次电池，则关于 N(t) 下列说法正确的是（ ）。A. N(t)=3 B. N(t)≥3 C. N(t)≤2 D. N(t) 的值无法确定
设 {N(t), t≥0} 是参数为 λ 的泊松过程。已知 P(N(0.5)=0)=e^(-1)。则概率 P(N(2)-N(1)=0) 等于（ ） A. e^(-2) B. e^(-4) C. e^(-1) D. e^(-1/2)
设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立、参数分别为 λ₁=3 和 λ₂=2 的泊松过程。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t)（t≥0）。求 N(2) 的期望与方差。
设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=3 的泊松过程，第 i 次事件发生时产生一笔大小为 Xᵢ 的收益，X₁,X₂,… 独立同分布且与 {N(t)} 独立，P(Xᵢ=1)=1/3，P(Xᵢ=2)=2/3。记到时刻 t 为止的累计收益为 S(t)=∑ᵢ₌₁^N(t) Xᵢ，则 S(t) 是复合泊松过程，E[S(2)]=____，Var(S(2))=____。
设保险公司的理赔总金额 S(t) 是复合泊松过程，其中理赔次数 {N(t), t≥0} 是强度 λ=3（件/小时）的泊松过程，各次理赔额 Y₁, Y₂, … 相互独立且与 N(·) 独立，均服从均值为 2（万元）的指数分布。则 Var(S(2)) = ____（万元²）。
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=2 的泊松过程，则 N(1) 服从参数为 ____ 的泊松分布，P{N(1)=0}=____（保留四位小数）。
设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y·t，其中 Y 服从标准正态分布 N(0,1)。对任意 0<t₁<t₂<t₃<t₄，记 A=X(t₂)−X(t₁)，B=X(t₄)−X(t₃)，则 Cov(A,B)=____；由此可知该过程的增量族相互独立（填“是”或“否”），且其增量分布仅依赖于时间区间的长度，故该过程____（填：“具有独立增量但不具有平稳增量”或“具有平稳增量但不具有独立增量”）。
设随机过程 {X(t), t≥0} 的有限维分布族候选形式如下：一维分布为 F(t; x)=Φ(x−t)，其中 Φ 为标准正态分布函数；二维分布规定为对任意 0≤s<t，F(s,t; x,y)=Φ(x−s)·Φ(y−t)。（1）写出相容性定理中二维分布关于第二个变元的边缘相容性条件：lim(y→+∞) F(s,t; x,y) 应等于什么？（2）取 x=0，s=1，验证该条件是否成立，并求出 lim(y→+∞) F(1,3; 0,y) 的具体数值（用 Φ 的值表示并给出近似值，精确到 10⁻⁴）。