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设随机过程 X(t)=3+e^(-t)·Z，t≥0，其中随机变量 Z 满足 E[Z]=1，E[Z²]=4。则该过程的均值函数 m_X(t)=____，自相关函数 R_X(t,s)=____（用 t、s 表示）。
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某散点数据按自然顺序记为 y₁, y₂, y₃, y₄, y₅。采用窗口宽度为3的移动平均平滑（即对内部点 i=2,3,4 取 mᵢ=(yᵢ₋₁+yᵢ+yᵢ₊₁)/3）。已知 y₁=3，且平滑后得到 m₂=4，m₃=6。试用非参数回归“局部平均”的思想，求原数据中 y₄ 的值。
在局部加权回归中，采用核权函数 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，在拟合点 x₀=0 处用带宽 h=2 进行 Nadaraya–Watson 估计。现有设计点 x₁=0, x₂=0.5, x₃=1, x₄=1.5，对应观测值 y₁=1, y₂=3, y₃=5, y₄=7。则拟合值 f̂(0) 为： A. 3.0 B. 3.4 C. 4.0 D. 4.5
设 T = {1, 2, 3}，S = {0, 1}。若对每个 t∈T，X(t) 是定义在同一概率空间上的随机变量，则称随机变量族 {X(t), t∈T} 为一个随机过程，其中 T 称为____，S 称为该过程的状态空间。特别地，当 T 为可列集时，该随机过程称为____过程。若固定样本点 ω₀，则 X(t, ω₀) 关于 t 的函数称为该过程的一条____（轨道）。
在 Nadaraya-Watson 核平滑中，采用 Epanechnikov 核权函数 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，在拟合点 x₀=0 处使用带宽 h=1。现有设计点及观测值：x₁=−0.8, y₁=1；x₂=−0.4, y₂=3；x₃=0.2, y₃=5；x₄=1.5, y₄=7。请先写出各设计点在 x₀ 处的权重，再计算核平滑估计值 f̂(0)（结果用分数表示）。
设随机过程 X(t) = Y·sin(2t)，t≥0，其中随机变量 Y 服从正态分布 N(1, 2)（均值为1，方差为2）。则该过程的自相关函数 R(t, s) = E[X(t)X(s)] 在 t = s = π/8 处的值为多少？ A. 3/2 B. 3 C. √2 D. 1/2
设样本观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (0,1)、(1,4)、(2,2)、(3,5)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，其中带宽 h=1，核函数取二次核 K(t)=1−t²（|t|≤1），K(t)=0（|t|>1）。则 m̂(1.8) 的估计值为 ____（用最简分数表示）。
设 {X(t), t≥0} 为随机过程，已知 X(0)=0，且对任意 0<t₁<t₂<…<tₙ，增量 X(t₂)−X(t₁), X(t₃)−X(t₂), …, X(tₙ)−X(tₙ₋₁) 相互独立。若进一步要求对任意 s<t，增量 X(t)−X(s) 的分布只依赖于 t−s，则该过程具备的性质是（ ）A. 仅独立增量性 B. 仅平稳增量性 C. 同时具备独立增量性与平稳增量性 D. 既无独立增量性也无平稳增量性
设回归模型 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i=1,…,n），采用核权局部平均光滑器 m̂(x) = ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)Yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h) 进行估计，其中 h 为带宽。该光滑器体现了非参数回归的基本思想：不预设 m 的函数形式，仅用 x 邻近点的局部信息加权估计。若固定数据，当带宽 h→0 时，每个 x 邻域内仅剩自身观测点，m̂(xᵢ)→____；而当带宽 h→∞ 时，所有点权重趋于相同，m̂(x) 对任意 x 都收敛于同一个值，即该值等于____。
设 x₁,…,x₆₀ 为来自某连续总体的 60 个观测值，取值范围为 [0,12)。将 [0,12) 等分为 6 个宽度 h=2 的组格，各组格内观测个数依次为：[0,2) 有 9 个，[2,4) 有 15 个，[4,6) 有 12 个，[6,8) 有 18 个，[8,10) 有 4 个，[10,12) 有 2 个。用等宽直方图作密度估计，则密度估计的最大值及所在组格为（ ） A. 0.15，位于 [6,8) B. 0.125，位于 [2,4) C. 0.15，位于 [2,4) D. 0.18，位于 [6,8)
在局部加权回归中，核权函数取 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，带宽 h=2。为在拟合点 x₀=5 处进行加权拟合，若某设计点 x=8，则该点对应的权 w((x−x₀)/h)=____。
设回归模型为 Y = m(x) + ε，其中 m(x) = sin(x) 是未知的光滑回归函数，ε 为零均值随机误差。现有观测数据 (xᵢ, Yᵢ)，i = 1, …, 20，xᵢ 均匀分布于 [0, π]。采用 Nadaraya–Watson 核估计，核函数取均匀核 K(u) = 1/2 当 |u| ≤ 1，否则为 0，带宽 h = π/6。请计算在点 x₀ = π/2 处的核估计值 m̂(x₀)，已知满足 |xᵢ − π/2| ≤ π/6 的观测点为 x = π/3、π/2、2π/3 共 3 个，对应响应值分别为 Y = 0.85、1.02、0.88。
设样本数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (0, 1)、(1, 3)、(2, 6)，用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，取带宽 h=1、高斯核 K(t)=(1/√(2π))e^(−t²/2)。则 m̂(1) 最接近（ ）。 A. 3.33 B. 2.60 C. 4.20 D. 3.00
设用高斯核对样本量 n=2000 的数据作核密度估计，其渐近均方积分误差为 AMISE(h)=4h⁴+5/(2000h)。完成以下计算：(1) 求 h=0.5 时的 AMISE 值；(2) 若带宽增大一倍（h=1），求此时方差主项 5/(2000h) 与原值之比，并说明方差项随带宽增大如何变化；(3) 求 h=1 时的 AMISE 值，并判断带宽从 0.5 增到 1 后估计误差是增大还是减小。
设样本观测值为 x₁=0，x₂=3，用均匀核 K(u)=1/2（当 |u|≤1，否则 K(u)=0）作核密度估计，带宽 h=1。则核密度估计在 x=2.5 处的值 f̂(2.5)=____。
设样本观测值为 x₁=2，x₂=4，x₃=7，x₄=9，采用均匀核 K(u)=1/2（当 |u|≤1，否则为 0），带宽 h=2，作核密度估计 f̂(x)=(1/(nh))∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)。则在点 x=3 处的核密度估计值 f̂(3)=____。
核密度估计通过在每个样本点处放置一个核函数并叠加来估计总体密度：对样本 x₁,…,xₙ，核密度估计定义为 f̂(x) = (1/(nh)) ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，其中 K 为核函数，h 称为____，当 h→0 且 n→∞ 时，在适当条件下 f̂(x) 收敛于真实的密度函数 f(x)。
在核密度估计中，常用核函数需满足 K(u)≥0 且 ∫K(u)du=1。现有两个核函数：均匀核 K₁(u)=1/2（|u|≤1 时，否则为 0）；Epanechnikov 核 K₂(u)=3/4·(1−u²)（|u|≤1 时，否则为 0）。请分别计算两个核的 ∫K²(u)du（该量与估计方差成正比）与 ∫u²K(u)du（该量反映核的平滑程度），并根据结果判断：哪个核的 ∫K²(u)du 更小？哪个核的 ∫u²K(u)du 更小？
关于核密度估计 f̂(x)=(1/nh)∑K((x−xᵢ)/h) 的基本原理，下列说法正确的是： A. 带宽 h→0 时，f̂ 逐渐光滑并趋于一条水平直线 B. 核函数 K 必须满足非负且积分为 1，以保证 f̂ 是密度函数 C. 带宽 h 越大，f̂ 对样本的局部细节刻画越精细 D. 核函数 K 必须是均匀核，否则 f̂ 不收敛于真实密度
为比较三种包装方案下某产品日销量的中位数是否相同，从三个总体分别独立抽取样本，样本量依次为 n₁=5，n₂=5，n₃=4。将14个观测值合并后求出合并中位数 m。统计落在 m 之上与 m 之下（不含恰好等于 m 的数据）的频数：甲方案在 m 之上有2个、之下有3个；乙方案在 m 之上有4个、之下有1个；丙方案在 m 之上有3个、之下有1个。试用中位数检验计算卡方统计量 χ² 的值（期望频数按各行合计的一半计算）。