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设 {ε_t} 为独立同分布随机变量序列，E(ε_t)=0，Var(ε_t)=1。定义 X_t = ε_t − 0.4ε_(t−3)。(1) 求 X_t 的均值与方差；(2) 求自协方差 γ(1)、γ(2)、γ(3)；(3) 判断 {X_t} 是否为白噪声序列，并简述理由。
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某高校对200名学生进行简单随机抽样（不放回）估计月均消费额。已知总体标准差 σ=8，置信水平对应的 z=2，允许的极限误差 e=4。调查总费用 C=c₀+c₁n，其中固定费用 c₀=2000 元，每调查一名学生可变费用 c₁=100 元，可用经费总额为 4000 元。分别由精度要求和费用约束确定样本量，求最终可行的最小样本量 n 及其对应的调查总费用。
某大学拟对全校 20000 名学生进行一项抽样调查，调查总费用与样本量满足关系 C = c₀ + c₁·n，其中固定费用 c₀ = 1200 元，单位调查费 c₁ = 24 元，可用总预算为 15600 元。已知总体方差 S² = 576。（1）按预算求可抽取的最大样本量 n；（2）在简单随机抽样（不放回）下，判断该样本量对应的样本均值估计量方差 V = (S²/n)×(1−n/N) 是否满足不超过 1.2 的精度要求。
某调查项目总经费为 50000 元，其中固定费用（如问卷设计、人员培训）为 6000 元，每调查一名受访者的平均可变费用为 88 元。在不超支的前提下，按简单随机抽样最多可抽取多少名受访者？请写出计算过程。
某县对下辖商场进行销售额调查，采用有放回的PPS抽样，抽样单元为商场，入样概率与商场营业面积成比例。已知两家商场的营业面积分别为4000平方米和6000平方米，该县商场营业总面积为10000平方米。进行n=2次有放回抽取，第1次抽到商场甲，其季度销售额为150万元；第2次抽到商场乙，其季度销售额为180万元。请用汉森-赫维茨估计量估计该县商场季度销售总额，并写出计算过程。
某乡对辖区内4个生猪养殖场的年出栏总收入进行调查。以养殖场年出栏头数为辅助变量做有放回PPS抽样：4个场的出栏头数分别为200、300、500、1000头（合计2000头）。以n=3进行有放回抽样，依次抽中的场为第2、4、3号场，其年出栏总收入分别为15万元、60万元、40万元。请用汉森-赫维茨估计量估计该乡4个养殖场年出栏总收入，并给出估计值。
某县有40个村，每村20户。调查方案一：先简单随机抽取4个村，再从每个被抽村中简单随机抽取5户调查。已知村际间样本方差 s1²=400，村内户间样本方差 s2²=100。方案二：先简单随机抽取4个村，再对被抽村中全部20户进行调查（整群抽样）。请回答：(1) 指出整群抽样与两阶段抽样的关系，并说明此时第二阶段抽样比 f2 的取值；(2) 分别计算方案一与方案二均值估计量的方差（忽略有限总体校正之外的偏差，按标准公式 v=(1-f1)s1²/m + f1(1-f2)s2²/(mn) 计算）。
某市开展居民消费调查，采用两阶段抽样：先从全市 200 个街道中随机抽取 20 个街道（第一阶段抽样比 f₁=20/200），再从每个被抽中街道的 500 户居民中随机抽取 50 户（第二阶段抽样比 f₂=50/500）。请计算该调查的总抽样比 f，并简述多阶段抽样适用于什么场合。
设总体含 N=100 个单元，按编号 j=1,…,100 排列，第 j 个单元的观测值为 y_j = 2j（即观测值随编号严格线性递增）。采用等距抽样：抽样间隔 k=10，样本量 n=10，随机起点 i 从 1 到 10 等可能选取，抽中单元为 i, i+10, …, i+90，用样本均值 ȳ_i 估计总体均值 Ȳ。(1) 求 E(ȳ_i) 与 Ȳ；(2) 求估计量 ȳ_i 在随机起点意义下的方差 V_sys = Var(ȳ_i)；(3) 若改用相同样本量的简单随机抽样，已知其均值的抽样方差 V_srs = (1−f)S²/n，其中 f=n/N=0.1，S²=N(N²−1)/(12(N−1))·4=10100/3，计算 V_srs，并比较 V_sys 与 V_srs 的大小，说明观测值按线性趋势排列对系统抽样精度的影响。
某市为估计居民月均通信支出，从全市 5000 名居民中简单随机抽取 200 人进行调查。调查结束后，调查员利用户籍资料将样本按居住区域事后分为三层：老城区、中心城区、新城区。已知总体中三个区域的人数比例分别为 0.2、0.5、0.3，事后划分后各层样本的平均月通信支出分别为老城区 120 元、中心城区 200 元、新城区 160 元。请用事后分层的估计方法计算该市居民月均通信支出的估计值。
某大学调查学生每天课外学习时间，将学生分为三个年级层。已知 N₁=200，N₂=300，N₃=500，各层标准差分别为 S₁=6，S₂=8，S₃=12（小时）。现采用分层随机抽样，总样本量 n=96，按内曼分配确定各层样本量，要求计算 n₁、n₂、n₃。
某大学调查学生日均自习时长，将全校 N=15000 名学生按年级分为三层：一年级 4500 人，二年级 6000 人，三年级 4500 人。经预调查估计各层自习时长的标准差分别为 S₁=10 分钟、S₂=15 分钟、S₃=20 分钟。现按内曼分配从总体中抽取 n=150 人的样本，求各层应抽取的样本量 n₁、n₂、n₃（结果取整数，按计算值四舍五入，并保证总和恰为 150）。
某物流园区共有 N=500 家入驻企业，欲估计企业日均发货量的总体均值 μ。已知总体方差 σ²=144（件²）。现采用简单随机抽样抽取容量 n=50 的样本，以样本均值 x̄ 估计 μ。（1）分别写出放回与不放回两种抽样方式下样本均值 x̄ 的方差 V(x̄)；（2）分别计算两种方式下 x̄ 的标准差（保留三位小数）；（3）计算不放回相对放回抽样的设计效应 deff = V不放回 / V放回，并说明抽样比 f=n/N 的取值。
设平稳 AR(1) 模型 X_t = 0.6·X_{t-1} + ε_t，其中 {ε_t} 为白噪声，方差 σ² = 1。已知 X_30 = 4。用最小均方误差准则求 X_32 的点预测值，并给出其 95% 预测区间（正态近似，取 1.96 为临界值），区间端点保留三位小数。
设序列 y 与 x 均为一阶单整，且存在长期均衡关系 y = 2x + 4，协整残差记为 eₜ = yₜ − 2xₜ − 4。已知对应的误差修正模型为：Δyₜ = 0.5Δxₜ − 0.25·eₜ₋₁ + uₜ。(1) 写出该模型中误差修正项的完整表达式，并指出调整系数 λ 的值及符号含义；(2) 若第 t−1 期协整残差 eₜ₋₁ = 8，计算误差修正项对 Δyₜ 的贡献；(3) 假定此后残差仅由误差修正机制逐期衰减（每期残差变为前一期的 0.75 倍），计算残差衰减到初始值一半所需的期数（保留两位小数，取 ln2≈0.693，ln0.75≈−0.288）。
设二维时间序列 yₜ=(y₁ₜ, y₂ₜ)′ 服从不含常数项与趋势项的 VAR(2) 模型，其两个分量方程为：y₁ₜ = 0.4y₁,ₜ₋₁ + 0.2y₂,ₜ₋₁ − 0.1y₁,ₜ₋₂ + ε₁ₜ；y₂ₜ = 0.3y₁,ₜ₋₁ + 0.5y₂,ₜ₋₁ + 0.2y₁,ₜ₋₂ − 0.2y₂,ₜ₋₂ + ε₂ₜ，其中 εₜ=(ε₁ₜ, ε₂ₜ)′ 为白噪声向量。注意 y₁ 的方程中不含 y₂,ₜ₋₂ 项。(1) 将该模型写成矩阵形式 yₜ = A₁yₜ₋₁ + A₂yₜ₋₂ + εₜ，写出系数矩阵 A₁ 与 A₂（必须保留零元素）。(2) 指出该 VAR(2) 模型系数矩阵中待估系数的总个数。
某林场为估计木材蓄积量，将 N=200 块样地按地理位置顺序排列，欲抽取 n=20 块。已知该顺序排列下总体方差 S²=100（单位：立方米²），样地内同类相邻单元之间呈正自相关，组内相关系数 ρ=0.02。设采用随机起点的系统抽样，其估计量方差为 Var(ȳ_sys)=(S²/n)[1+(n-1)ρ]；若改用相同样本量的简单随机抽样（不考虑有限总体校正），方差为 Var(ȳ_srs)=S²/n。请计算：两者方差之比 Var(ȳ_sys)/Var(ȳ_srs)（保留两位小数），并据此判断哪种抽样方法的估计精度更高。
某社区共有居民 400 户，其中老旧小区 160 户、普通小区 160 户、新建小区 80 户。调查员事先未按小区类型分层，直接简单随机抽取了 50 户调查月均用水量（单位：吨）。调查结束后进行事后分层：50 户样本中，老旧小区 15 户、普通小区 20 户、新建小区 15 户，各层样本平均用水量依次为 5 吨、9 吨、13 吨。请利用事后分层技术，按各层总体户数所占比重作为权重，估计该社区居民户月均用水量。
某大学调查学生每周课外阅读时间，将学生按年级分为两层：低年级组 N₁=3000 人，高年级组 N₂=6000 人。已知低年级组内标准差 S₁=3 小时，高年级组内标准差 S₂=6 小时，两组每调查一名学生的费用相同。现计划抽取总样本量 n=90 人。（1）按比例分配，求两层各应抽取的样本量 n₁、n₂；（2）按奈曼最优分配，求两层各应抽取的样本量 n₁、n₂；（3）简要说明两种分配结果为何不同。
某市为估计居民月均交通支出，从 10000 名成年居民中简单随机抽取 200 人调查。抽样时未分层，调查结束后利用户籍资料得知总体中男性 6000 人、女性 4000 人。样本中男性 90 人，其月均交通支出为 4800 元；女性 110 人，月均交通支出为 3600 元。（1）说明应采用何种技术利用已知的总体性别构成进行估计；（2）计算事后分层估计的全市居民月均交通支出；（3）若直接用全部 200 人的样本均值估计，结果为多少？二者相差多少？