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设轨道角动量本征态 |l,m⟩ 满足 L²|l,m⟩=l(l+1)ħ²|l,m⟩，Lz|l,m⟩=mħ|l,m⟩。某粒子的归一化波函数为 ψ=(1/3)|1,1⟩+(2/3)|1,0⟩+(2/3)|1,-1⟩。求：(1) 对该态测量 Lz 得到 ħ 的概率；(2) Lz 的期望值 ⟨Lz⟩；(3) L² 的期望值 ⟨L²⟩（用 ħ 表示）。
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质量为 m、能量 E=2V₀（V₀>0）的粒子从 x<0 区域入射到方势垒：0<x<a 处势能为 V₀，其余区域势能为 0。已知 √(2mV₀)a/ħ = π/4。求粒子的透射系数 T 与反射系数 R。
一维势阱中某粒子处于定态比例衰减的态，其概率密度为 ρ(x,t) = e^(−2t)·sin²x（0 ≤ x ≤ π，t 以 s 计，ρ 的单位为 m^(−1)），且已知边界处概率流 j(0,t) = j(π,t) = 0。粒子满足连续性方程 ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0。（1）由连续性方程求出概率流密度 j(x,t) 的表达式；（2）计算 t = (ln 2)/2 s 时刻、x = π/2 处的概率流密度值。
设一维自由粒子的波函数为 ψ(x,t) = A·exp[i(kx − ωt)]，其中 A、k、ω 为常数。一维自由粒子的薛定谔方程为 iℏ·∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m)·∂²ψ/∂x²，它可由非相对论能量关系 E = p²/2m 结合算符对应 E 对应 iℏ·∂/∂t、p 对应 −iℏ·∂/∂x 建立。取自然单位制 ℏ = 1、m = 1，并已知 k = 3。(1) 将 ψ(x,t) 代入薛定谔方程，求出 ω 必须满足的值；(2) 说明若把能量关系错误地用相对论无质量情形 E = pc 对应建立方程 iℏ·∂ψ/∂t = c·(−iℏ·∂/∂x)ψ，则在同样的 k = 3 下 ω 又为多少（取 c = 1），并指出两结果之差。
某体系的未微扰哈密顿量 H₀ 的本征态为 φ₁、φ₂（能量 E₁⁽⁰⁾=3 eV、E₂⁽⁰⁾=7 eV，非简并），更高能级可忽略。加入微扰后，H′ 在 {φ₁, φ₂} 张成的子空间中的矩阵为 H′ = [[0.3, 0.4], [0.4, 0.1]]（单位 eV）。用非简并定态微扰论求：(1) E₁ 的一级修正 E₁⁽¹⁾ 与二级修正 E₁⁽²⁾；(2) E₂ 的一级修正 E₂⁽¹⁾ 与二级修正 E₂⁽²⁾。
一维无限深势阱中粒子，阱宽 a=3，势阱位于 0<x<a 区域，未扰动能级 E_n^(0)=n²π²ħ²/(2ma²)。现施加微扰 H′=V₀（V₀=2，单位与哈密顿量一致），其作用范围仅为右半阱 a/2<x<a，左半阱内微势为零。试用一阶定态微扰论求基态（n=1）能量的一级修正 E₁^(1)。
两个全同玻色子组成体系，归一化的单粒子态为 φ₁ 和 φ₂，且 ⟨φ₁|φ₂⟩ = 1/2。由全同粒子的不可区分性，体系波函数必须构造为对称形式 ψ(x₁,x₂) = A[φ₁(x₁)φ₂(x₂) + φ₂(x₁)φ₁(x₂)]，其中 A 为归一化常数。求 A 的平方（即归一化系数 A²），结果用分数表示。
冬天脱毛衣时，毛衣与皮肤摩擦后带上了电荷。实验测得毛衣带负电的电荷量为3.2×10⁻⁸C，这是摩擦过程中毛衣从皮肤得到电子的结果，没有其他电荷转移。已知每个电子所带电荷量为1.6×10⁻¹⁹C。求：（1）毛衣得到的电子个数；（2）摩擦后皮肤带的电荷种类（带正电还是带负电），并简述理由。
用毛皮摩擦一根塑料棒时，共有4×10¹¹个电子从毛皮转移到塑料棒上，摩擦过程中没有其他电荷转移。已知每个电子所带电荷量为1.6×10⁻¹⁹C。求：（1）塑料棒得到的总电荷量Q是多少库仑？（2）若另一次摩擦中塑料棒得到2×10⁻⁸C的负电荷，相当于转移了多少个电子？
两个全同费米子组成体系，单粒子归一化波函数 φ_a 与 φ_b 不正交，重叠积分 ⟨φ_a|φ_b⟩=S=1/2（为实数）。体系的反对称波函数取 Ψ(q₁,q₂)=C[φ_a(q₁)φ_b(q₂)−φ_a(q₂)φ_b(q₁)]，其中 C 为归一化常数。（1）利用全同粒子波函数必须满足的归一化条件 ⟨Ψ|Ψ⟩=1，求 C；（2）利用该波函数验证：交换两个粒子的全部坐标 q₁↔q₂ 时 Ψ 变为 −Ψ，并说明全同粒子波函数交换对称性质与归一化是否依赖于对粒子的编号约定。
某小发明作品的电路中，三个小电动机M₁、M₂、M₃并联后接入电路。闭合开关后，用电流表测得干路中的电流为1.5A，通过M₁的电流为400mA，通过M₂的电流为0.6A。求：(1) 通过M₃的电流是多少安？(2) 通过M₃的电流合多少毫安？
三个全同电子组成的三粒子体系，其波函数为 Ψ(r₁,r₂,r₃)。将粒子坐标作交换 (r₁,r₂,r₃)→(r₂,r₁,r₃)。按照全同粒子不可区分性原理，写出交换后体系波函数 Ψ(r₂,r₁,r₃) 与 Ψ(r₁,r₂,r₃) 之间应满足的关系，并说明该关系所反映的物理含义。
类氢离子 He⁺（Z=2）处于 2p 态（n=2，l=1），其径向波函数可写为 R₂₁(r) = (1/(2√6))·(Z/a)^(3/2)·(Zr/a)·e^(−Zr/(2a))，其中 a 为玻尔半径，氢原子基态能量 E₁ = −13.6 eV。试求：(1) 该 He⁺ 2p 态的能量；(2) 径向概率密度 w(r) = r²|R₂₁(r)|² 取极大值的位置 r_max（用 a 表示）。
氢原子处于基态，其径向波函数为 ψ(r) = (1/√(π a₀³)) e^(−r/a₀)，其中 a₀ 为玻尔半径。已知基态能量为 E₁ = −13.6 eV。某类氢离子的原子核电荷数为 Z = 3，核外仅有一个电子，势场为库仑势 V(r) = −Ze²/(4πε₀r)。（1）写出该类氢离子基态的径向波函数与基态能量；（2）计算该类氢离子基态能量与氢原子基态能量之比。
设粒子处于动量表象中的波函数 φ(p)=(α/πħ)^(1/4) exp(−αp²/(2ħ))，其中 α 为正常数。取 ħ 为约化普朗克常量。请利用傅里叶变换 ψ(x)=1/√(2πħ) ∫_{−∞}^{+∞} φ(p) e^(ipx/ħ) dp，将波函数变换到坐标表象，求出坐标表象波函数 ψ(x)（写成 exp(−x²/(2αħ)) 的形式），并计算坐标 x=0 处的概率密度 |ψ(0)|²。
某二能级量子体系的哈密顿量为 H，其本征态 |E₁⟩、|E₂⟩ 对应能量本征值 E₁=ħω、E₂=4ħω（ω>0）。设 t=0 时体系处于态 |ψ(0)⟩=(|E₁⟩+|E₂⟩)/√2。按薛定谔方程公设，态矢随时间按 |ψ(t)⟩=e^(−iHt/ħ)|ψ(0)⟩ 演化。求：(1) 写出 |ψ(t)⟩ 的表达式；(2) 体系在 t>0 时首次演化到与初始态 |ψ(0)⟩ 仅相差一个整体相位因子的最小时间 t_min；(3) 此刻体系处于本征态 |E₂⟩ 的概率。
设一维粒子所处状态由波函数 Ψ(x)=A·x·e^(−2x) 描述（x≥0；x<0 时 Ψ(x)=0），A>0 为实常数。(1) 求归一化常数 A；(2) 求归一化后粒子坐标出现在区间 0≤x≤1/2 内的概率。
一列火车沿 x 轴以速率 v=0.8c（c 为真空光速）相对地面匀速行驶。在火车参考系 S' 中，车厢内相距 Δx'=900 m 的前后两点各放一只同步的钟。（1）地面参考系 S 测得这两只钟的读数差为多少？哪只钟读数较大？（2）车上某时钟走过 15 s（固有时），地面观察者测得该过程经历多长时间？
真空中有一内半径 a=0.1 m、外半径 b=0.3 m 的无限长中空圆柱形带电体，电荷体密度 ρ=2×10⁻⁶ C/m³ 均匀分布，系统关于轴线对称。利用高斯定理：（1）求圆柱空腔内距轴线 r=0.05 m 处的电场强度；（2）求壳层内部距轴线 r=0.2 m 处电场强度的大小（用 ε₀ 表示）。
设波函数 ψ(x,t) = A·exp[i(kx − ωt)]，其中 A、k、ω 为常数。已知能量算符 E 对应 iℏ·∂/∂t，动量算符 p 对应 −iℏ·∂/∂x。将 ψ(x,t) 分别代入两算符的作用，求出 E 与 p 的表达式，并利用 E = p²/(2m)（m 为粒子质量）写出该波函数满足的薛定谔方程，验证其形式为 iℏ·∂ψ/∂t = −(ℏ²/2m)·∂²ψ/∂x²。