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某热机在温度 T₁=500 K 的高温热源与 T₂=250 K 的低温热源之间做循环，每循环从高温热源吸热 Q₁=800 J，向低温热源放热 Q₂=100 J。(1) 求该热机的实际效率 η 与同温区可逆卡诺热机的效率 η_C；(2) 若将此热机与一台工作在相同两热源间的可逆卡诺制冷机联合运行，使制冷机每循环从低温热源恰好取走 100 J 热量并把这 100 J 连同从高温热源吸收的相应热量一并送回高温热源，分析联合装置每循环净的效果，说明该热机违反了热力学第二定律的哪种表述，并简述理由。
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1 mol 某气体经历一准静态膨胀过程，压强 p 与体积 V 满足 p = a√V，其中 a = 1.5×10⁶ Pa·m^(3/2)。气体体积由 V₁ = 0.01 m³ 缓慢膨胀至 V₂ = 0.04 m³。求该过程中气体对外界所做的功 W（结果用焦耳表示）。
金属中电子服从费米-狄拉克分布，能量为 E 的单粒子态平均占据数为 f(E)=1/(e^((E−μ)/kT)+1)，其中 μ 为化学势，kT 为热运动能量尺度。设某单粒子态能量 E₀ 满足 f(E₀)=1/5。(1) 求 E₀−μ 用 kT 表示的值（精确形式）；(2) 另有一单粒子态能量 E₁ 满足 E₁−μ=−(E₀−μ)，求该态的平均占据数 f(E₁)。
某容器体积 V = 2 m³ 内装有 N = 6×10²⁴ 个单原子理想气体分子，处于平衡态。在压强的统计推导中，可由分子对器壁碰撞的动量输运得到关系 pV = (2/3)N·ε̄，其中 ε̄ 为单个分子平均平动动能。已知测得 ε̄ = 6.21×10⁻²¹ J，求容器内气体的压强 p（单位 Pa），并说明该结果与理想气体状态方程 pV = NkT 相一致时所对应的温度 T（取 k = 1.38×10⁻²³ J/K）。
某热机在温度 T₁=600 K 的高温热源和 T₂=300 K 的低温热源之间工作。已知该热机每个循环从高温热源吸热 Q₁=600 J，向低温热源放热 Q₂=400 J，对外做功 W=200 J。（1）求该热机的效率 η，并与相同热源间卡诺热机的效率 η_c 比较；（2）根据热力学第二定律的开尔文表述判断该热机是否可能实现；（3）以工质和两热源构成的整个系统为对象，计算每个循环的总熵变 ΔS，并用熵增加原理验证（1）（2）的结论。
对于简单可压缩均匀系统，热力学基本微分方程为 dU = TdS − pdV。设某系统的温度与压强分别为 T = 4S/V，p = 2S²/V²（S 为熵，V 为体积）。（1）以 S、V 为独立变量，验证该 T、p 满足麦克斯韦关系 (∂T/∂V)_S = −(∂p/∂S)_V；（2）利用 dU = TdS − pdV，通过积分求内能 U(S,V)（设 S=0 时 U=U₀ 为常数）；（3）求系统从状态一（S=1，V=1）经可逆过程变到状态二（S=2，V=2）时内能的增量 ΔU。
2 mol 理想气体（视为单原子分子，R=8.31 J/(mol·K)）由初态（T=300 K，V₁=2.00 L）经一可逆等温过程膨胀至 V₂=4.00 L。（1）由熵的定义计算该过程的熵变 ΔS；（2）若气体在相同的初、末态之间改经一个不可逆的自由膨胀过程完成同样的体积变化，说明其熵变是否改变，并说明理由。
设粒子被某中心势散射，Born 近似给出的散射振幅为 f(θ)=a(2+cosθ)，其中 a 为常数，θ 为散射角（0≤θ≤π）。求微分散射截面 dσ/dΩ，并计算总散射截面 σ。
某二能级体系未受微扰时能级为 E₁⁰=1 eV、E₂⁰=3 eV。所加微扰 H′ 在该两能级张成的子空间内的矩阵为 H′ = [[0, ε],[ε, 0]]（对角元为零），ε>0。(1) 写出非简并定态微扰论适用的定量判据（用能级间距 ΔE=E₂⁰−E₁⁰ 与微扰矩阵元表示，工程上常取 |H′₁₂| ≤ ΔE/10）。(2) 据此求本题中 ε 允许的最大值。(3) 取 ε=0.15 eV，判断微扰论是否适用，并用微扰论计算基态能量的二级修正（单位 eV）。
某原子中有两个电子，单粒子态（含自旋）分别为 φ_a = u₁(x)α（α 表示自旋向上）与 φ_b = u₂(x)β（β 表示自旋向下）。请依据泡利不相容原理完成：(1) 判断这两个电子占据 φ_a 与 φ_b 是否违反泡利不相容原理，并说明理由；(2) 写出描述该两电子体系总波函数的 Slater 行列式形式。
设电子自旋态为 |ψ⟩ = (1/2)|↑⟩ + (√3/2)|↓⟩，其中 |↑⟩、|↓⟩ 为 σz 的本征态，本征值分别为 +1、−1。已知泡利矩阵 σx = ((0,1),(1,0))，σy = ((0,−i),(i,0))，σz = ((1,0),(0,−1))。(1) 写出 |ψ⟩ 在 σz 表象中的列向量表示并归一化验证；(2) 计算 ⟨σx⟩、⟨σy⟩、⟨σz⟩；(3) 求自旋矢量 ⟨S⟩ = (ħ/2)⟨σ⟩ 的大小 |⟨S⟩|。
在三维希尔伯特空间中取正交归一基 {|1⟩, |2⟩, |3⟩}。已知 |ψ⟩ = (1/3)|1⟩ + (2/3)|2⟩ + (2/3)|3⟩，|φ⟩ = (2/3)|1⟩ + (1/3)|2⟩ − (2/3)|3⟩。 (1) 验证 |ψ⟩ 与 |φ⟩ 均已归一化，并计算 ⟨ψ|φ⟩，说明二者是否正交； (2) 求 |χ⟩ = a|1⟩ + b|2⟩ + c|3⟩：要求其为与 |ψ⟩、|φ⟩ 都正交的单位矢量，且展开系数满足 a < 0（提示：可取与 (1,2,2) 和 (2,1,−2) 都垂直的方向）； (3) 检验 {|ψ⟩, |φ⟩, |χ⟩} 的完备性，即验证 ∑ |α⟩⟨α| = |1⟩⟨1| + |2⟩⟨2| + |3⟩⟨3|（α 取 ψ、φ、χ）。
缪子氢原子由一个缪子（质量为 204m，m 为电子质量）与一个质子（质量为 M=1836m）通过库仑相互作用组成的两体束缚体系。将该体系严格按两体问题处理：(1) 求体系的约化质量 μ（以 m 为单位表示）；(2) 已知氢原子（电子-质子体系）基态能量为 -13.6 eV，求缪子氢的基态电离能（单位 eV）。
μ子氢原子由一个 μ 子（质量 m_μ = 207m_e，m_e 为电子质量）与一个质子（质量 M = 1836m_e）通过库仑相互作用组成。已知氢原子（电子-质子体系）基态能量为 -13.6 eV。将该体系按两体问题处理，求体系的约化质量 μ 与基态能量 E₁（用 m_e 表示 μ，用 eV 表示 E₁，结果保留三位有效数字）。
能量为 E=1 eV 的电子自左侧入射到一维方形势垒：x∈[0,a] 区域势能为 V₀=2 eV，其余区域势能为 0，且 E<V₀。已知 a=0.30 nm，电子质量 m 对应 mc²=5.11×10⁵ eV，ħc=197.3 eV·nm。当 κa 较小时透射系数可近似为 T=[16E(V₀−E)/V₀²]·e^(−2κa)，其中 κ=√(2m(V₀−E))/ħ。求该电子的透射系数 T（保留两位有效数字）。
粒子质量为 m 的入射束被球对称势场 V(r)=βe^(−r/a)/r 散射（β>0）。取自然单位使 A≡2mβ/ħ²=1，κ≡1/a=1。在 Born 近似下散射振幅为 f(θ)=−A/(κ²+q²)，其中 q=2k·sin(θ/2)。(1) 分别计算入射波数 k₁=0（极低能）与 k₂=√3（高能）时的总散射截面 σ；(2) 计算两种情形下向后散射（θ=π）与向前散射（θ=0）的微分截面之比；(3) 据此说明低能散射与高能散射各有什么角度分布特点。
已知二阶泡利矩阵 σx、σy、σz 满足 σxσy = iσz，且 σz² = I（I 为二阶单位矩阵）。求 (σxσy)² 的值。
两个全同粒子组成的体系，其单粒子归一化波函数分别为 ψ_a(x) 和 ψ_b(x)，且 ψ_a 与 ψ_b 相互正交。若两粒子均为自旋为零的玻色子，试写出体系归一化的对称化两粒子波函数 Ψ_S(x₁,x₂)，并说明当 x₁=x₂=x 时该波函数是否为零；若两粒子改为电子（费米子，忽略自旋自由度），写出对应的反对称化波函数 Ψ_A(x₁,x₂) 及其在 x₁=x₂ 处的值，并由此指出体现了什么原理。
氢原子（Z=1）某束缚态的径向波函数可写为 R(r)=C·(r/a₀)·e^(−r/(2a₀))，其中 a₀ 为玻尔半径，C 为归一化常数。请完成：(1) 由径向方程在 r→0 与 r→∞ 处的渐近行为，确定该态的角量子数 l 与主量子数 n；(2) 写出该态的能量（用里德伯能量 E₁=−13.6 eV 表示，并给出以 eV 为单位的数值）；(3) 求径向概率密度 w(r)=|R(r)|²r² 取极大值的位置 r_max（用 a₀ 表示）。
类氢离子的势能为 V(r) = −Ze²/r（Z 为核电荷数，取无限核质量近似）。已知氢原子（Z=1）基态能量为 −13.6 eV，玻尔半径为 a₀。试求 Z=3 的类氢离子（Li²⁺）的基态能量 E₁，并写出其基态最概然半径（径向概率密度极大处）与玻尔半径 a₀ 的比值。