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考虑三个数据：x₁=10⁷, x₂=10⁷+1, x₃=10⁷+2。在7位有效十进制浮点环境下，三数舍入后无法区分，用离差平方和公式计算所得样本方差为____；而其实际真值（按样本方差、除以n-1计算）为1。此现象说明当数据均值远大于波动幅度时，该算法的数值结果不稳定。
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某统计计算任务需要处理 n=100000 个样本。算法甲采用逐对比较策略，基本操作执行次数约为 n²/2；算法乙采用分块策略，基本操作执行次数约为 3n·log₂n。已知计算机每秒可执行 10⁸ 次基本操作。请估算：两算法所需运行时间各为多少秒（结果保留两位小数，取 log₂100000≈16.6），并指出哪种算法效率更高。
某统计实验室用蒙特卡洛模拟估计圆周率 π：在边长为 2 的正方形内随机撒 20000 个点，正方形内切单位圆的半径为 1，圆心与正方形中心重合。已知模拟结果中落入圆内的点数为 15712。请按例题方法，用落在圆内的点数占总点数的比例乘以正方形与圆的面积之比关系，计算 π 的模拟估计值（保留三位小数），并简要说明该估计值与真实值存在差异的原因。
设矩阵 A = [[1,1],[1,1],[1,-1]]（3×2），观测向量 b = (1,2,1)ᵀ。考虑线性模型 Aβ ≈ b 的最小二乘问题。(1) 求 A 的完全奇异值分解 A = UΣVᵀ（写出全部奇异值及 U、V 的列）；(2) 利用该 SVD 求 β̂ = argmin‖Aβ−b‖₂；(3) 求最小残差向量的 2-范数。
用两种算法在双精度浮点环境下计算同一组数据 x₁=100000000.1，x₂=100000000.2，x₃=100000000.3 的样本方差：算法甲先求均值再求各偏差平方和；算法乙采用平移变换，先减去首个数据得 yᵢ=xᵢ−x₁，再对 yᵢ 计算样本方差。已知双精度浮点数在该量级附近的表示间隔（机器精度对应的最小可分辨差）约为 1.49×10⁻⁸，且减去首个数据后的平移运算不引入舍入误差。关于两算法所得方差结果的稳定性，下列判断正确的是： A. 甲、乙结果完全相同，因为数学上两公式恒等 B. 甲的偏差 xᵢ−x̄ 在浮点减法中发生严重抵消，结果可能明显失真；乙将运算转移到小数量级，结果稳定可靠 C. 乙更不稳定，因为平移改变了数据的统计性质 D. 两者稳定性无法比较，取决于编程语言
已知矩阵 A = [[1,2],[2,1]]（即第一行 (1,2)，第二行 (2,1)）。由于 A 是实对称矩阵，其特征值为 3 和 −1。求 A 的奇异值分解 A = UΣVᵀ，写出 U、Σ、V 的具体形式（奇异值按从大到小排列，Σ 为对角阵且对角元非负），并据此写出 A 的按秩-1 分裂表达式 A = 3u₁v₁ᵀ + 1·u₂v₂ᵀ 中各向量的坐标。
某统计问题需要从复杂高维后验分布 p(θ|x) 中抽样，已知该分布的概率密度函数可以逐点计算但无法解析归一化，且各维度间存在强非线性相关。为完成参数估计，最合适的建模与算法选择是：A. 直接用逆变换法，先解析求出分布函数再抽样 B. 采用自适应 Metropolis-Hastings 的 MCMC 方法，仅依赖密度比值采样 C. 用简单随机抽样从均匀分布独立生成样本 D. 用解析积分求出矩估计后不再抽样
某班同学用蒙特卡洛模拟估计抛掷一枚均匀硬币正面朝上的概率：编程重复模拟 10000 次抛掷，统计正面朝上的次数 m，用 m/10000 作为概率估计值。下列关于该模拟实验的说法正确的是（ ） A. 模拟次数越少，估计值越接近真实概率 0.5 B. 该方法利用频率随试验次数增大而稳定于概率的原理 C. 只要模拟一次抛掷即可精确得到概率 0.5 D. 模拟结果与真实概率一定完全相等
已知设计矩阵 A = [1, v]，其中 1 = (1,1,1)^T，v = (1,2,3)^T，观测向量 b = (2,1,2)^T。对 A 作 Gram-Schmidt 正交化得 Q = [u₁, u₂]，其中 u₁ = (1,1,1)^T/√3，u₂ = (−1,0,1)^T/√2。利用 Q 的列正交性求最小二乘解 β̂ = (β̂₁, β̂₂)^T，则 β̂₁ = ____，β̂₂ = ____，残差平方和 ||b − Aβ̂||² = ____。
设原始样本为 x=(2,4,6,8)，n=4。对统计量 θ̂=x̄²（样本均值的平方）：(1) 若以原始样本为经验分布进行自助重抽样（每次有放回抽取4个观测），利用全部可能重样本精确计算 θ̂ 的自助偏差估计 bias_B = E*(θ̂*) − θ̂，其中 θ̂* 为重样本对应统计量；(2) 同时给出样本均值 x̄ 的自助标准误估计 se_B = √(Var*(x̄*)) 的精确值，并化简为最简根式。
某统计量 θ̂ 的 B=400 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((400))。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取下、上分位位置分别为 0.025×B 与 0.975×B（非整数时四舍五入）。已知排序后 θ̂*_((10)) = 3.2，θ̂*_((11)) = 3.4，θ̂*_((390)) = 9.6，θ̂*_((391)) = 9.8，则该自助置信区间为（ ） A. [3.2, 9.6] B. [3.4, 9.8] C. [3.2, 9.8] D. [3.4, 9.6]
设样本 x₁,x₂,x₃,x₄ = 3,6,9,12，样本均值为 θ̂。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的标准误：依次每次删去一个观测，计算四个删除一后样本的均值 θ̄₍ᵢ₎，再求其平均 θ̄₍·₎ = (1/4)∑θ̄₍ᵢ₎，最后代入公式 se_Jack = √((3/4)∑(θ̄₍ᵢ₎ − θ̄₍·₎)²)。则四个删除一后均值之和 ∑θ̄₍ᵢ₎ = ____，Jackknife 标准误 se_Jack = √15/____。
设样本 x₁,…,x₆ = 3,5,7,9,11,13。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的 Jackknife 标准误：依次每次删去一个观测值，计算伪值 pseudoᵢ = n·x̄ − (n−1)·x̄₍ᵢ₎（其中 x̄ 为全样本均值，x̄₍ᵢ₎ 为删去第 i 个观测后的样本均值），再以伪值样本的标准误（伪值标准差除以 √n，标准差用 n−1 作分母）作为估计值。则该 Jackknife 标准误为 ____（结果化简为最简根式并给出保留三位小数的近似值）。
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+4y²，学习率（步长）取 α=1/5，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,1)。（1）求前两步迭代点 (x₁,y₁) 与 (x₂,y₂)；（2）已知该函数 Hessian 矩阵为对角阵 diag(2,8)，请给出梯度下降法对该函数收敛时学习率 α 应满足的取值范围，并判断本题所取的 α=1/5 是否保证收敛。
设目标密度为 p(x) ∝ x·e^(−x)（x>0），采用独立提议分布 q(x′|x) = e^(−x′)（x′>0）的 Metropolis-Hastings 算法。链的当前状态为 x=3。(1) 写出该算法的接受概率 α(x, x′) 的一般表达式；(2) 若本步提议产生的候选点为 x′=1，计算接受概率的具体数值；(3) 若候选点为 x′=4，计算接受概率的具体数值，并说明该候选点是否被接受。
设 f(x)=x⁴+x²，从点 x=1 出发沿下降方向 d=−1 作回溯线搜索。取初始步长 α₀=2，每次回退令 α←α/2，接受准则为 Armijo 条件 f(x+αd)≤f(x)+0.25·α·f′(x)d。则第一个被接受的步长 α 为（ ） A. 1/2 B. 1 C. 3/4 D. 1/4
设 f(x)=x²，用梯度下降法求其极小点。取步长 α=1/4，初始点 x₀=4，迭代公式为 x_{k+1}=x_k − α·f′(x_k)。(1) 写出 x_k 关于 k 的表达式；(2) 以梯度范数 ‖f′(x_k)‖<0.01 作为停止准则，求所需的最小迭代次数 k。
设用 Gelman-Rubin 方法诊断两条独立 MCMC 链的收敛性，每条链长度 n=5。已知两条链的样本均值分别为 x̄₁=10，x̄₂=12，样本方差分别为 s₁²=4，s₂²=4。请计算链间方差 B、链内平均方差 W、合并方差估计 Var⁺ = ((n−1)/n)W + B/n，并求潜在尺度缩减因子 R̂ = √(Var⁺/W)，据此判断链是否已收敛（通常以 R̂<1.1 为收敛标准）。
设 U₁, U₂ 为相互独立的 U(0,1) 均匀随机数，取 U₁ = 1/4，U₂ = 3/8。按 Box-Muller 变换生成标准正态随机数：Z₁ = √(-2 ln U₁)·cos(2π U₂)，Z₂ = √(-2 ln U₁)·sin(2π U₂)。则 Z₁ = ____（用精确表达式 -√(2 ln 2) 或保留两位小数填写）。
在EM算法的迭代过程中，记 θ^(t) 为第 t 次迭代后的参数估计值。关于EM算法的基本收敛性质，下列说法正确的是：A. 观测数据的对数似然 ℓ(θ^(t)) 随迭代单调不减，即 ℓ(θ^(t+1)) ≥ ℓ(θ^(t)) B. 观测数据的对数似然每次迭代严格递增 C. 对数似然在迭代中可能下降，需人为调节步长 D. 对数似然的收敛性与初值 θ^(0) 的选取完全无关