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一价原子中外层电子受自旋轨道耦合作用，相互作用项为 H′ = a(L·S)，其中 a 为正常数。设电子的轨道角动量量子数 l=1，自旋量子数 s=1/2。利用 L·S = (J² − L² − S²)/2，其中 J 为总角动量，计算：(1) j=3/2 与 j=1/2 两种总角动量态下 L·S 的本征值；(2) 由该自旋轨道耦合导致的两条精细结构能级的间隔（用 a 表示）。
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依据乌伦贝克与古兹密特的电子自旋假设，电子自旋量子数 s=1/2，自旋角动量大小为 S=√(s(s+1))ħ，自旋在任意选定方向（取为 z 轴）上的投影 S_z=m_sħ，其中 m_s 只能取 ±1/2。设自旋矢量与 z 轴夹角为 θ（对应 m_s=+1/2 的取向）。求：cos θ 的值，以及 θ 的度数（精确到 0.1°）。
某类氢离子（核电荷数 Z=2，即 He⁺）处于 1s 束缚态（n=1, l=0），其径向波函数可写为 R(r)=A·e^(−r/r₀)，其中 A 为归一化常数，r₀ 为待定特征长度。请将 R(r)=A·e^(−r/r₀) 代入 l=0 的径向方程 d²u/dr² + [2μ/ħ²·(E + Ze²/(4πε₀r)) − l(l+1)/r²]·u = 0（其中 u(r)=r·R(r)），完成：(1) 比较方程中 1/r 与常数项系数，求出特征长度 r₀ 与玻尔半径 a₀=4πε₀ħ²/(μe²) 的关系；(2) 求出该态能量 E（用里德伯能量 E₁=−13.6 eV 表示，并换算为 eV 数值）；(3) 求电子径向概率密度 |R(r)|²r² 取极大值的位置 r_m（用 a₀ 表示）。
某粒子处于轨道角动量量子数 l=3 的态，实验测得 L_z 取该量子数允许的最小值，即 m=-3。已知角动量平方本征值为 l(l+1)ħ²。(1) 求该态中角动量大小 |L|；(2) 求 |L| 与 L_z 之比 |L|/L_z；(3) 说明该比值为何为负，并指出其物理意义。
某微观粒子处于轨道角动量量子数 l=3 的本征态。根据角动量量子化规则，求：(1) 该态中轨道角动量的大小 |L|；(2) 该态中 L_z 的最大取值；(3) 该量子数允许的 L_z 取值个数。
设二维希尔伯特空间中 {|1⟩, |2⟩} 为正交归一基，即 ⟨i|j⟩ = δᵢⱼ。给定态矢 |α⟩ = (1/√2)(|1⟩ + i|2⟩)，|β⟩ = (1/√2)(|1⟩ − |2⟩)。(1) 利用狄拉克符号写出 ⟨α| 和 ⟨β| 的表达式；(2) 计算内积 ⟨α|β⟩ 与 ⟨β|α⟩；(3) 求模方 |⟨α|β⟩|²。
在三维希尔伯特空间中取正交归一基 {|1⟩, |2⟩, |3⟩}。已知态矢量 |ψ⟩ = (1/3)|1⟩ + (2/3)|2⟩ + c|3⟩，其中 c 为实数。利用基的正交归一性求 c 的值，使 |ψ⟩ 满足归一化条件 ⟨ψ|ψ⟩ = 1，并求出态矢量 |φ⟩ = (1/√2)|1⟩ + (1/√2)|3⟩ 与该归一化后的 |ψ⟩ 的内积 ⟨φ|ψ⟩。
设某二能级量子体系的哈密顿量 H 的本征态为 |E₁⟩、|E₂⟩，对应能量本征值 E₁=0、E₂=2ħω（ω>0）。t=0 时体系处于归一化态 |ψ(0)⟩=(|E₁⟩+|E₂⟩)/√2。(1) 根据薛定谔方程公设 iħ∂|ψ(t)⟩/∂t=H|ψ(t)⟩，写出 |ψ(t)⟩ 的表达式；(2) 求 t>0 时体系首次回到初态 |ψ(0)⟩ 的时刻。
某二能级微观体系的哈密顿量 H 的本征态为 |E₁⟩、|E₂⟩，对应能量本征值分别为 E₁=0、E₂=5ħω（ω>0）。t=0 时体系处于归一化态 |ψ(0)⟩=(|E₁⟩+3|E₂⟩)/√10。请根据薛定谔方程公设：(1) 写出 |ψ(t)⟩ 的表达式；(2) 求使 |ψ(t)⟩ 与初态 |ψ(0)⟩ 相差一个整体相位因子的最小正时刻 t₀（用 ω 表示）。
设某二能级量子体系的两个归一化且相互正交的态矢为 |φ₁⟩ 与 |φ₂⟩。体系处于叠加态 |Ψ⟩ = (1/√5)|φ₁⟩ + (2i/√5)|φ₂⟩。请求出 |Ψ⟩ 的归一化验证，并计算体系处于 |φ₁⟩ 态和处于 |φ₂⟩ 态的概率各是多少。
一维线性谐振子（势能为 1/2·μω²x²）处于状态 ψ(x)=C(4αx²−2)e^(−αx²/2)，其中 α=μω/ħ。已知线性谐振子第 n 个定态波函数为 ψₙ(x)=NₙHₙ(√α·x)e^(−αx²/2)，其中 H₀(ξ)=1，H₁(ξ)=2ξ，H₂(ξ)=4ξ²−2。求：(1) 该状态对应的量子数 n；(2) 该状态的能量（用 ħω 表示）；(3) 该波函数在 x>0 区域内节点的位置坐标（用 μ、ω、ħ 表示）。
设一维粒子状态由分段波函数描述：Ψ(x)=A，当 0≤x≤1；Ψ(x)=2A，当 1<x≤3；其余区域 Ψ(x)=0，其中 A>0 为实常数。若将 Ψ(x) 归一化，求常数 A 的值（结果用分数表示）。
设某粒子被中心势散射，在小角度极限下 Born 近似给出的散射振幅为 f(θ)=f₀(1+cosθ)，其中 f₀ 为正常数，θ 为散射角。求总散射截面 σ。
某低能粒子被一个球对称短程势散射，s 波（l=0）分波占主导。实验测得入射波数 k=0.20 fm^(-1) 时，s 波相移为 δ₀=π/6。（1）说明相移 δ₀ 的物理意义；（2）由 s 波相移计算总散射截面。分波法总截面公式：σ = (4π/k²)∑(2l+1)sin²δ_l。
实验室电路中，灯泡L₁与L₂并联后再与灯L₃串联接入电路。闭合开关后，接在L₁支路中的电流表示数为0.3A，接在L₂支路中的电流表示数为0.2A。问：(1) 通过灯L₃的电流是多少？(2) 若将电流表改接在干路中，示数应为多少安？合多少毫安？
某二能级体系 H=H₀+H′，H₀ 的两个最低能级 E₁⁽⁰⁾=4 eV、E₂⁽⁰⁾=10 eV 均非简并，更高能级可忽略。在 H₀ 表象中微扰矩阵元为 W₁₁=W₂₂=0，W₁₂=W₂₁=2 eV。用非简并定态微扰论分别求两个能级的一级修正 E₁⁽¹⁾、E₂⁽¹⁾ 和二级修正 E₁⁽²⁾、E₂⁽²⁾。
设某体系的哈密顿量为 H=H₀+H′，H₀ 的本征值与本征态为 E₁⁰=1、E₂⁰=3、E₃⁰=8（能量单位任意），对应本征态记为 |1⟩、|2⟩、|3⟩，均为非简并且正交归一。微扰在 H₀ 表象下的矩阵元为：H′₁₂=0.1，H′₁₃=0.2，H′₂₃=0.3，对角元及其余矩阵元均为零（H′ 为厄米实矩阵，即 H′₂₁=0.1、H′₃₁=0.2、H′₃₂=0.3）。试求体系基态波函数的一级修正 |1^(1)⟩（用 H₀ 的本征态展开表示）。
三个自旋1/2的费米子处于三个彼此正交归一的单粒子态 φa、φb、φc 上。（1）写出描述该体系总波函数的 Slater 行列式形式，并求出行列式前的归一化系数。（2）该行列式展开后共有多少项？（3）若交换其中两个粒子的坐标（例如 x₁ 与 x₂ 互换），说明波函数如何变化，并据此判断体系波函数所满足的交换对称性类型。
设矩阵 A = [[2, i], [-i, 2]]。（1）证明 A 是厄米算符（厄米矩阵）；（2）求 A 的全部本征值；（3）求每个本征值对应的归一化本征矢。
已知泡利矩阵 σx、σy、σz 满足 σiσj = δij·I + i·εijk·σk（I 为二阶单位矩阵，εijk 为 Levi-Civita 符号），且任一泡利矩阵的迹为零，即 Tr(σx)=Tr(σy)=Tr(σz)=0。设 C = σx + 2σy，D = 3σy + σz，试计算乘积矩阵 CD 的迹 Tr(CD)，要求写出每一步运算依据。