径向方程的求解 — 物理计算题
题目
某类氢离子（核电荷数 Z=2，即 He⁺）处于 1s 束缚态（n=1, l=0），其径向波函数可写为 R(r)=A·e^(−r/r₀)，其中 A 为归一化常数，r₀ 为待定特征长度。请将 R(r)=A·e^(−r/r₀) 代入 l=0 的径向方程 d²u/dr² + [2μ/ħ²·(E + Ze²/(4πε₀r)) − l(l+1)/r²]·u = 0（其中 u(r)=r·R(r)），完成：(1) 比较方程中 1/r 与常数项系数，求出特征长度 r₀ 与玻尔半径 a₀=4πε₀ħ²/(μe²) 的关系；(2) 求出该态能量 E（用里德伯能量 E₁=−13.6 eV 表示，并换算为 eV 数值）；(3) 求电子径向概率密度 |R(r)|²r² 取极大值的位置 r_m（用 a₀ 表示）。