全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
在一元线性回归诊断中，基于 n=16 组观测拟合含截距的模型，误差均方 MSE=2.25。已知第 5 个观测点的残差 e₅=3，杠杆值 h₅₅=0.36。求该点的标准化残差（内学生化残差）r₅=e₅/(s·√(1−h₅₅))，其中 s=√MSE，并判断其绝对值是否超过 2（即是否提示可能的异常值）。
登录后查看答案
某电子元件厂标称其电池的续航时间为400小时。设电池续航时间 X～N(μ, σ²)，σ 未知。质检部门随机抽取9块电池进行测试，测得样本均值 x̄=405.6 小时，样本标准差 s=4.8 小时。取显著性水平 α=0.05，已知 t₀.₀₂₅(8)=2.306。请在显著性水平0.05下检验电池续航时间是否与标称值400小时存在显著差异，写出假设检验的完整步骤并给出结论。
某工厂研究设备运行时长 x（小时）与故障次数 Y 的关系，设 Y|X=x 服从泊松分布，采用泊松回归模型 log(μ) = β₀ + β₁x，其中 μ = E(Y|X=x)。已知拟合结果 β₀ = 0.5，β₁ = −0.3。请计算：(1) 当 x = 2 时的平均故障次数 μ(2)（保留4位小数）；(2) 当 x = 4 时的平均故障次数 μ(4)（保留4位小数）；(3) 比值 μ(4)/μ(2)（保留4位小数）。
设非线性回归模型为 y = x^θ（仅 θ 为待估参数，θ>0），现有三组观测数据：(x₁,y₁)=(1,1)，(x₂,y₂)=(2,1.5)，(x₃,y₃)=(4,2)。采用 Gauss-Newton 迭代法求 θ 的非线性最小二乘估计，取初值 θ⁽⁰⁾=1。请完成：(1) 写出残差向量 r 和 Jacobi 矩阵 J 在 θ⁽⁰⁾=1 处的各元素；(2) 计算一步迭代增量 Δθ = (JᵀJ)⁻¹Jᵀr；(3) 给出迭代一次后的估计值 θ⁽¹⁾（结果用含 ln2 的式子表示，并给出保留三位小数的近似值）。
某研究团队考察住房类型（定性变量，含三个互斥类别：普通住宅、公寓、别墅）对居民满意度评分的影响，同时纳入居住年限（定量变量）作为解释变量。研究者欲以「别墅」为基准类别设置虚拟变量。请回答：(1) 需要引入几个虚拟变量？(2) 写出各虚拟变量 D₁、D₂ 的定义式（即每个虚拟变量在何种类别下取 1、何种类别下取 0），并据此写出含有定性变量与居住年限 x 的总体回归模型的完整表达式（含截距与随机误差项 ε）。
某市统计局研究居民月消费支出的影响因素，拟建立回归模型，解释变量包括家庭年收入（定量，单位：万元）与住房类型（定性：自购商品房、自购房改房、租赁住房三个类别）。若以「自购商品房」为基准类别，设置虚拟变量 D₁、D₂ 表示住房类型：当住房为自购房改房时 D₁=1，否则 D₁=0；当住房为租赁住房时 D₂=1，否则 D₂=0。请写出含年收入 x 与虚拟变量 D₁、D₂ 的线性回归模型的一般形式，并说明：若估计得 β₂>0 且显著，应如何解释该结果？
某实验测得变量 x 与 y 的 6 组数据。对 y = a·e^(bx)（a>0）两端取自然对数，得 ln y = ln a + bx。经计算：x̄ = 4，ln y 的样本均值为 3，且由最小二乘法求得斜率 b = 0.5。试求 a 的值，并写出拟合的指数回归方程 y 关于 x 的表达式（a 保留两位小数）。
设响应变量 y 已中心化，p 个自变量已标准化，设计矩阵 X 满足正交规范设计（X′X=I）。考虑 Lasso 问题：min_β (1/2)·||y−Xβ||² + λ·∑|β_j|，其中 λ=2。已知最小二乘估计为 β^(OLS)=(6, −3, 2)′。请写出该 Lasso 问题的解 β̂，并说明哪个自变量的系数被压缩为零（即被变量选择剔除）。
在某企业产品销量的多元线性回归模型中，解释变量为广告投入 x₁、价格水平 x₂、渠道数量 x₃。由样本数据算得变量间的相关系数：r₁₂=0.8，r₁₃=0.2，r₂₃=0。请以 x₁ 为响应、x₂ 与 x₃ 为解释变量作辅助回归，计算其可决系数 R₁²，进而求 x₁ 的方差膨胀因子 VIF₁ 与容忍度 Tolerance₁，并判断 x₁ 与其余解释变量之间是否存在严重的多重共线性（通常以 VIF>10 为严重标准）。
某农业试验站研究某作物亩产量 y（公斤/亩）与施肥量 x₁（公斤/亩）、灌溉量 x₂（立方米/亩）的关系，建立含截距项的二元线性回归模型 y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+ε。基于 n=20 个样本的中心化数据：Σ(x₁−x̄₁)²=10，Σ(x₂−x̄₂)²=8，Σ(x₁−x̄₁)(x₂−x̄₂)=4，Σ(x₁−x̄₁)(y−ȳ)=12，Σ(x₂−x̄₂)(y−ȳ)=10，且 x̄₁=5，x̄₂=20，ȳ=30。（1）求偏回归系数 b₁、b₂ 及截距 b₀，写出回归方程；（2）解释 b₁ 的实际含义。
某研究所为考察产品的销售量 y 与广告费用 x₁、促销人员数 x₂ 的关系，建立了多元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε。基于 n=20 组观测数据，经计算得：SSR=180，SSE=120。请完成：(1) 写出检验回归方程整体显著性的 F 统计量计算式，并求其值；(2) 给定显著性水平 α=0.05，已知 F₀.₀₅(2,17)=3.59，判断回归方程整体是否显著。
某家电企业为研究月平均气温 x（℃）与空调月耗电量 y（千瓦时）的关系，收集了 24 个月的数据并建立一元线性回归方程 ŷ = b₀ + b₁x。经计算，总离差平方和 SST = 800，残差平方和 SSE = 200。（1）求决定系数 R² 与回归平方和 SSR 的值；（2）解释 R² 的含义，并说明该回归直线对 y 的解释能力如何。
某市房产中介研究住宅建筑面积 x（百平方米）与成交价 y（十万元）之间的关系，随机抽取 14 套住宅数据，建立一元线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε。为检验回归方程的显著性，将总平方和分解后算得回归平方和 SSR=60，残差平方和 SSE=16。取显著性水平 α=0.05，已知临界值 F₀.₀₅(1,12)=4.75。（1）写出检验的原假设 H₀ 与备择假设 H₁；（2）计算 F 统计量的值并判断回归方程是否显著。
设总体 X 服从正态分布 N(μ,1)，x₁,…,x₂₅ 为来自该总体的样本。对假设检验问题 H₀: μ=μ₀ 对 H₁: μ>μ₀，采用拒绝域 C = {x̄ > μ₀ + 0.392}，其中 x̄ 为样本均值。(1) 求该检验犯第一类错误的概率；(2) 若实际 μ = μ₀ + 0.5，求该检验犯第二类错误的概率。（参考数据：Φ(1.96)=0.975，Φ(0.54)=0.7054）
某快递分拣系统单件包裹的处理时间 X（单位：秒）服从正态分布 N(μ, σ²)，由系统日志长期记录知标准差 σ=0.6 秒保持稳定。运维标准规定平均处理时间 μ=25.0 秒。系统升级后，工程师随机抽取 40 件包裹，测得样本均值 x̄=25.22 秒。取显著性水平 α=0.05，在 H₀: μ=25.0 对 H₁: μ≠25.0 的检验中，计算检验统计量 Z 的值，判断能否拒绝原假设，并说明系统升级后平均处理时间是否发生了显著变化。
某品牌电池的续航时间服从正态分布 N(μ, σ²)。按产品标准，续航时间的标准差应不超过 0.3 小时。现从一批产品中随机抽取 15 块电池，测得样本标准差 s = 0.45 小时。取显著性水平 α = 0.05，试检验该批电池续航时间的标准差是否显著超过 0.3 小时。（已知 χ²₀.₀₅(14) = 23.685）
设线性回归模型 y=Xβ+ε 中，设计矩阵 X 的 Gram 矩阵为 X′X=[[5,2],[2,5]]，且已知 X′y=(7,7)′。取岭参数 k=3。(1) 写出岭估计 β̂(k) 的定义式，并计算其值；(2) 计算最小二乘估计 β̂_OLS，比较两者并说明岭回归为何能改善最小二乘在多重共线性下的不稳定问题。
在研究某地区商品房价格的回归模型中，以房价（万元）为因变量，纳入建筑面积、房龄、距地铁距离、周边学校数量四个解释变量。为诊断多重共线性，将解释变量 x₃（距地铁距离）对其余三个解释变量作辅助回归，得可决系数 R₃²=0.96。（1）计算 x₃ 对应的方差膨胀因子 VIF₃ 与容忍度 Tolerance₃；（2）说明 VIF₃ 表明模型存在何种问题，并解释该问题对回归系数估计的具体危害；（3）在此共线性程度下，x₃ 回归系数估计的标准误相对于无共线性情形放大了多少倍？
在研究某城市住宅价格的回归模型 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + ε 中，为诊断解释变量 x₃ 的多重共线性程度，将其关于其余解释变量 x₁、x₂ 作辅助回归，记该辅助回归的判定系数为 R²。已知由此算得 x₃ 的方差膨胀因子 VIF(x₃) = 16，方差膨胀因子的计算公式为 VIF = 1/(1−R²)。（1）求辅助回归的判定系数 R²；（2）若另一个变量 x₂ 的辅助回归判定系数 R₂² = 15/16，比较 x₂ 与 x₃ 哪个共线性更严重，并求出 x₂ 的方差膨胀因子。
在某回归诊断中，基于 n=12 组观测拟合含一个自变量的一元线性回归模型。已知第 7 个观测点的残差 e₇=6.5，误差均方和 MSE=6.25，该点杠杆值 h₇₇=0.10。试计算第 7 个观测点的学生化残差 r₇ = e₇/√(MSE×(1−h₇₇))，并依据 |r₇|>2 的常用判别准则判断该点是否为异常值。