全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
对称矩阵 A = [[4, 2, 4], [2, 10, -1], [4, -1, 9]]。求 A = LU 的分解，其中 L 为对角元全为 1 的下三角矩阵；再求 A = CCᵀ 的 Cholesky 分解，其中 C 为对角元为正的下三角矩阵。
登录后查看答案
求解线性方程组 5x₁−x₂+x₃=5，x₁+5x₂−x₃=9，−x₁+x₂+5x₃=3。采用 Gauss–Seidel 迭代法，按 x₁、x₂、x₃ 的顺序更新，初值为 (0,0,0)。完成两轮迭代后，所得向量为哪一个？ A. (1.224，1.6512，0.51456) B. (1.224，1.6512，0.48) C. (1.224，1.6，0.51456) D. (1.2，1.6512，0.51456)
设满列秩矩阵 A 的 QR 分解为 A=QR，其中 Q 的列正交归一，R=[[2,2],[0,4]]，且 Qᵀb=(7,8)ᵀ。最小二乘问题 minₓ||Ax−b||₂ 的解 x̂ 满足 R x̂=Qᵀb，因此 x̂₁=___。
对某目标分布运行 m=3 条独立的 Metropolis-Hastings 链，每条链长度均为 n=50。取各链后半段样本计算得到：链内方差平均值 W=2，链间方差 B=8。采用 Gelman-Rubin 收敛诊断，定义总方差估计 V̂=((n-1)/n)·W + (1/n)·B，则 R̂=√(V̂/W) 的值为 ____（结果保留两位小数）。
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+2y²+xy，其梯度 ∇f(x,y)=(2x+y, 2y+x)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,2)，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。则第二步迭代点 (x₂,y₂) 为 A. (−3/16, 3/8) B. (−1/4, 1/2) C. (3/16, −3/8) D. (0, 1/2)
用梯度下降法极小化 f(x)=3x²，迭代公式为 x_{k+1}=x_k−αf′(x_k)，取固定步长 α=0.5，初始点 x₀=1。设误差 e_k=x_k−0，则 e_k=q^k·e₀（q 为常数）。仅依据迭代序列的收敛性与停止准则判断，下列结论正确的是： A. 对任意 k≥1 都有 |e_k|<|e_0|，算法必收敛 B. q=−2，|q|>1，误差逐次放大，迭代序列发散，应停止并减小步长 C. q=−1，序列在 ±1 间振荡但不发散 D. q=0.5，序列单调收敛到极小点
设矩阵 A 的奇异值分解为 A = UΣVᵀ，且 Σ 的非零对角元为 6 和 2。矩阵 A 的谱范数 ||A||₂ 为多少？ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
已知矩阵 A = [[4, 12], [12, 37]]，则对 A 作 Cholesky 分解 A = LLᵀ，其中 L 为对角元为正的下三角矩阵。L 中两个对角元 l₁₁、l₂₂ 的乘积 l₁₁×l₂₂ 等于？ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
某协方差矩阵 C=U diag(0.002, 1, 8)Uᵀ，其中 U 为正交矩阵。用二范数条件数评估求解 Cx=y 对右端扰动的敏感性：若 y 的相对扰动不超过 2×10⁻⁶，按条件数给出的解相对误差上界为 ____。
设线性方程组 5x₁ + x₂ = 6，x₁ + 5x₂ = 6。采用 Jacobi 迭代法，迭代格式为 x₁^(k+1) = (6 − x₂^(k))/5，x₂^(k+1) = (6 − x₁^(k))/5，取初值 x₁⁽⁰⁾ = 0，x₂⁽⁰⁾ = 0。则第一次迭代结果 x₁⁽¹⁾ = ____，x₂⁽¹⁾ = ____。
离散目标分布的未归一化权重为：X=0 时，Y=0、1 的权重分别为1、3；X=1 时分别为2、1；X=2 时分别为1、2。每轮按先更新X、再用新X更新Y的顺序进行Gibbs采样；各条件分布均按状态从小到大用逆累积分布法抽样。当前状态为(X,Y)=(2,0)，本轮更新X和Y分别使用均匀数u=0.60、v=0.80。完成一轮后的状态为(X,Y)=____。
设平稳遍历过程 {Xₙ} 满足 E(Xₙ)=2，且 E|Xₙ|<∞。根据遍历定理，几乎必然有 lim(n→∞)(1/n)∑ₖ₌₁ⁿ Xₖ = ____。
对某统计量 θ 进行自助法评估，已知原样本上的估计值为 8.0。现独立进行 5 次自助重抽样，得到的统计量估计值依次为 7.0、8.5、9.0、7.5、8.0。以这 5 个自助估计值的均值减去原样本估计值作为偏差估计，以这 5 个自助估计值的样本标准差作为标准误估计，用样本标准差公式（分母为 n-1）计算。求偏差估计与标准误估计（结果保留两位小数）。
设随机变量 X ~ 均匀分布 U(0,1)，用蒙特卡洛方法估计 E[e^X]。具体方案：生成 n = 10000 个独立同分布的均匀随机数 x₁, x₂, ..., x₁₀₀₀₀，计算样本均值 θ̂ = (1/10000)∑ᵢ₌₁¹⁰⁰⁰⁰ e^(xᵢ)，以此作为 E[e^X] 的估计值。已知模拟结果得到 ∑ᵢ₌₁¹⁰⁰⁰⁰ e^(xᵢ) = 17183。试求 θ̂ 的数值，并说明该估计量是否为无偏估计。
某统计计算课程实验中，学生需要对 n=8192 个观测值执行同一统计任务。算法甲采用朴素双重循环策略，基本操作总次数为 2n²；算法乙采用分块优化策略，基本操作总次数为 100n·log₂n（log₂8192=13）。请分别计算两种算法在 n=8192 时的基本操作总次数，并求算法乙相对于算法甲的加速比（即甲、乙操作次数之比），结果保留一位小数。
某实验室研究传感器校准值x与测量偏差y的关系，记录数据为(x,y)：(0,1)、(1,6)、(2,8)、(3,12)、(4,13)。假设误差独立且服从均值为0、方差未知的正态分布，拟合含截距的一元线性回归模型。请计算斜率的最小二乘估计及检验H₀：斜率为0的t统计量，并在双侧显著性水平0.05下给出检验结论。
某监测系统有12台传感器，每台在一个监测日内独立地以0.08的概率报警。程序按此机制模拟10000个监测日，记录到9298天至少有一台报警。用模拟频率估计一个监测日内所有传感器均不报警的概率，估计值为____。
对线性方程组 4x₁−x₂=3，−x₁+4x₂−x₃=3，−x₂+4x₃=3，采用 Gauss–Seidel 迭代法，按 x₁、x₂、x₃ 的顺序更新，初值为 x⁽⁰⁾=(0,0,0)ᵀ。完成两轮迭代后，求 x⁽²⁾。
设原始样本为 x₁=3, x₂=6（n=2）。对该样本进行有放回重抽样，得到三个自助样本（各容量为2）：{3,3}、{3,6}、{6,6}，对应的样本均值依次记为 θ̄₁*、θ̄₂*、θ̄₃*。请依据自助法基本原理：（1）写出三个自助样本均值；（2）以这三个自助均值的算术平均值作为统计量的自助点估计；（3）以重抽样次数 B=3 为分母，计算这三个自助均值的标准差，作为原样本均值的标准误的自助估计（结果保留三位小数）。
设 A=Q diag(1/5, 2, 10)Qᵀ，其中 Q 为正交矩阵。在线性方程组 Ax=b 中，b 保持不变，系数矩阵受到扰动 ΔA，且 ||ΔA||₂/||A||₂=0.004。利用二范数条件数给出的扰动上界，求相对解误差 ||x̃−x||₂/||x||₂ 的保证上界；假设 κ₂(A)||ΔA||₂/||A||₂<1。