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设马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移概率为：P(1,2)=1，P(2,1)=1，P(3,4)=1/2，P(3,1)=1/2，P(4,4)=1。关于各状态的分类，下列结论正确的是：A. 状态3与状态4均常返 B. 状态1是瞬过的，状态4是常返的 C. 状态1、2、4常返且状态3瞬过 D. 全部状态均为常返
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设 {X(t), t≥0} 为均方连续的宽平稳过程，均值为 m，自协方差函数 R(τ)=e^(−2τ)cos(3τ)（τ≥0）。已知宽平稳过程具有均值遍历性的一个充分条件是自协方差函数在 [0,∞) 上____（填写：绝对可积 或 不绝对可积），此时时间平均 (1/T)∫₀ᵀ X(t)dt 均方收敛于____。
设 {X(t), t∈R} 是严平稳过程，且 E[X(t)²]=c²>0（常数）。另设过程 {Y(t), t∈R} 满足 Y(t)=X(t)+Z(t)，其中 {Z(t)} 是与 {X(t)} 独立的宽平稳过程，均值为 0，自相关函数 R_Z(τ)=σ²·e^(−|τ|)。（1）说明 {X(t)} 的自相关函数 R_X(τ)=E[X(t)X(t+τ)] 必与 t 无关，从而 {X(t)} 是宽平稳的，并写出 R_X(τ) 应满足的性质；（2）判断 {Y(t)} 是否为宽平稳过程，若是，写出其均值函数与自相关函数。
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ e^x dx。方法一直接抽样：估计量为 X=e^U，其中 U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二采用对偶变量法：生成 U 后同时计算 Y₁=e^U 与 Y₂=e^(1−U)，取估计量 T=(Y₁+Y₂)/2。已知 Var(e^U)=(e²−1)/2−(e−1)²，Cov(Y₁,Y₂)=e−(e−1)²，且 Var(T)=[Var(e^U)+Cov(Y₁,Y₂)]/2。则对偶估计量 T 的方差 Var(T)=____（保留 4 位小数），方法二相对于方法一的方差缩减倍数 Var(e^U)/Var(T) 约为____（保留整数）。
用蒙特卡洛方法近似积分 I=∫₀¹ √x dx。设 U~Uniform(0,1)，取单样本估计量 X̂=√U。则 E(X̂)=____，Var(X̂)=____（保留4位小数）。若用 n 个独立样本的平均值作为估计量，由大数定律，估计量依概率收敛于 I，其标准误按数量级随 n 增大以 O(____) 的速度减小。
用重要性采样估计 I=∫₀¹ x² dx，其中样本来自均匀分布 U(0,1)。根据最优重要性采样分布理论，应选取的概率密度 g(x) 是（ ）。A. g(x)=1，即仍用均匀分布 B. g(x)=2x C. g(x)=3x² D. g(x)=3x
设 Z 服从标准正态分布 N(0,1)，密度 φ(z)=（1/√(2π)）·e^(−z²/2)。为估计稀有概率 P(Z>2)，改从 N(1,1) 抽样（密度 q(z)=（1/√(2π)）·e^(−(z−1)²/2)），重要性采样估计量为 Î=(1/n)∑ φ(Zᵢ)/q(Zᵢ)·1{Zᵢ>2}。现从 q 中抽得一个样本 z=3，则该样本对估计量的单个贡献值为多少？ A. e^(−2.5)≈0.0821 B. e^(−0.5)≈0.6065 C. e^(−2)≈0.1353 D. 1（因为 z=3>2 指示函数取 1）
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ eˣ dx。方法一为朴素蒙特卡洛：取 U∼U[0,1]，估计量为 X=e^U；方法二采用对偶变量法：取样本对 (e^U, e^(1−U))，估计量为 T=(e^U+e^(1−U))/2。已知 e≈2.71828，e²≈7.38906。(1) 计算 Var(X)；(2) 计算 Cov(e^U, e^(1−U))；(3) 计算 Var(T)；(4) 求对偶变量法相比朴素蒙特卡洛的方差缩减百分比（保留三位小数）。
用对偶变量法估计积分 I=∫₀¹ e^x dx。方法一为朴素蒙特卡洛，估计量为 f(U)=e^U，U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二取对偶样本对，估计量为 T=(e^U+e^(1-U))/2。下列说法正确的是（ ） A. Var(T) > Var(f(U))，对偶变量法增大了方差 B. Var(T) ≤ Var(f(U))，因为 f(U) 与 f(1-U) 正相关，取平均可缩减方差 C. Var(T) ≤ Var(f(U))，因为 f(U) 与 f(1-U) 负相关，取平均可缩减方差 D. 两种估计量的方差必定相等
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。对区间 [0,1] 取非均匀分割，分点为 tᵢ=(i/n)²（i=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ [B(tᵢ)−B(tᵢ₋₁)]²。当 n→∞ 时，Vₙ 依概率收敛于（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. ∞
设 U₁, U₂ 为相互独立的 U(0,1) 均匀随机数，取 U₁ = e^(-1)，U₂ = 1/12。用 Box-Muller 变换生成标准正态随机数：Z = √(-2·ln U₁)·cos(2π·U₂)。则由此得到的 Z 的值为 ____。
设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=2)=1/3，P(Xᵢ=1/2)=2/3，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1），{Mₙ} 关于自然 σ-域流是鞅且 E[Mₙ]=1。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到某个极限 M∞。提示：对 ln Mₙ = ∑ln Xᵢ 用强大数定律，可得 lim(n→∞) (1/n)ln Mₙ = E[ln X₁] < 0。据此，M∞ = ____。
设离散随机变量 X 的分布律为：P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5。用逆变换法生成 X 的随机数，判定规则为：若 F(k−1)＜U≤F(k)，则取 X=k（约定 F(0)=0），其中 F 为 X 的分布函数。现有三个独立均匀随机数 U₁=0.35，U₂=0.85，U₃=0.19。请依次写出对应的 X₁、X₂、X₃，并求这三个随机数的样本均值。
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(7)，Y = B(9) − B(3)，则 Cov(X,Y) 等于多少？ A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
设赌徒每局以概率 p=2/3 赢 1 元，概率 q=1/3 输 1 元，各局独立。设 Sₙ 为 n 局后的累计盈亏（S₀=0），令 Mₙ=(q/p)^{Sₙ}=(1/2)^{Sₙ}。验证 {Mₙ} 是关于自然 filtration 的鞅。赌徒设定停时 T=min{n≥0: Sₙ=3 或 Sₙ=−3}。试用可选停时定理求 T<∞ 时赌徒先到达 +3 的概率 π。
某研究组想估计总体中位数 θ，从容量为 80 的样本计算出样本中位数 θ̂ = 12.6。为构造 θ 的自助置信区间，进行 B = 1000 次自助重抽样，每次重抽样后计算中位数，得到 1000 个自助估计值 θ̂*₁, θ̂*₂, …, θ̂*₁₀₀₀。将这 1000 个值从小到大排序，记为 θ̂*((1)) ≤ θ̂*((2)) ≤ … ≤ θ̂*((1000))。已知排序后第 25 个值为 10.4，第 26 个值为 10.7，第 974 个值为 15.1，第 975 个值为 15.5，其余值均不等于这些端点。请用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，要求写出所取的分位数位置及对应数值。
设原样本为 x=(3,5,7)，样本均值为5。现进行4次自助重抽样，得到重样本 (3,5,7)、(5,5,7)、(3,3,5)、(7,7,3)。记各重样本均值为 θ̂*₁,…,θ̂*₄。用这4个自助均值估计样本均值的标准误与偏差：自助标准误 sê_boot = √91/12 ≈ ____（保留3位小数），自助偏差 biaŝ_boot = ____（用分数表示）。
设某统计量 θ̂ 的自助法重抽样次数 B=100，得到 100 个自助估计值并从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((100))。已知排序后 θ̂*_((3)) = 4.2，θ̂*_((98)) = 9.8。请用百分位法构造置信水平为 95% 的自助置信区间，写出区间端点所用的分位数位置（即对应排序序号的选取规则）及最终区间。
设 f(x)=x²，初始点 x₀=2，极小点为 x*=0。用固定步长 t=1/4 的梯度下降法迭代，得 x₁=____；用牛顿法迭代一步得 x₁=____。梯度下降法迭代中满足 |x_k−x*|≤0.1 所需的最少迭代次数 k=____，而牛顿法仅需 ____ 次迭代即达同样精度，故本题中收敛更快的是____法。
设观测数据的对数似然为 ℓ(θ)，完全数据对数似然的期望为 Q(θ, θ^(t))。某同学用EM算法迭代估计含隐变量的混合模型，记 ℓ(θ^(t)) 为第 t 次迭代后的对数似然值。关于EM算法的收敛性质，下列说法正确的是：A. 每次迭代后 ℓ(θ^(t)) 严格递增，因此必收敛到全局最大值点 B. 每次迭代后 ℓ(θ^(t)) 单调不减，算法必收敛到似然函数的驻点，但不保证是全局最大值点 C. ℓ(θ^(t)) 可能下降，只要 Q(θ, θ^(t)) 增加即可 D. 算法收敛速度与初始值的选取完全无关