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某物流公司研究运输距离 x（百公里）与燃油消耗 y（升）的关系，随机抽取 5 条线路观测，经计算得：∑xᵢ=20，∑yᵢ=50，∑xᵢ²=90，∑xᵢyᵢ=215。则由最小二乘法求得回归系数 b̂₁=____，回归截距 b̂₀=____。
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某家电企业为研究月平均气温 x（℃）与空调月耗电量 y（千瓦时）的关系，收集了 24 个月的数据并建立一元线性回归方程 ŷ = b₀ + b₁x。经计算，总离差平方和 SST = 800，残差平方和 SSE = 200。（1）求决定系数 R² 与回归平方和 SSR 的值；（2）解释 R² 的含义，并说明该回归直线对 y 的解释能力如何。
某市房产中介研究住宅建筑面积 x（百平方米）与成交价 y（十万元）之间的关系，随机抽取 14 套住宅数据，建立一元线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε。为检验回归方程的显著性，将总平方和分解后算得回归平方和 SSR=60，残差平方和 SSE=16。取显著性水平 α=0.05，已知临界值 F₀.₀₅(1,12)=4.75。（1）写出检验的原假设 H₀ 与备择假设 H₁；（2）计算 F 统计量的值并判断回归方程是否显著。
设总体 X 服从正态分布 N(μ,1)，x₁,…,x₂₅ 为来自该总体的样本。对假设检验问题 H₀: μ=μ₀ 对 H₁: μ>μ₀，采用拒绝域 C = {x̄ > μ₀ + 0.392}，其中 x̄ 为样本均值。(1) 求该检验犯第一类错误的概率；(2) 若实际 μ = μ₀ + 0.5，求该检验犯第二类错误的概率。（参考数据：Φ(1.96)=0.975，Φ(0.54)=0.7054）
某快递分拣系统单件包裹的处理时间 X（单位：秒）服从正态分布 N(μ, σ²)，由系统日志长期记录知标准差 σ=0.6 秒保持稳定。运维标准规定平均处理时间 μ=25.0 秒。系统升级后，工程师随机抽取 40 件包裹，测得样本均值 x̄=25.22 秒。取显著性水平 α=0.05，在 H₀: μ=25.0 对 H₁: μ≠25.0 的检验中，计算检验统计量 Z 的值，判断能否拒绝原假设，并说明系统升级后平均处理时间是否发生了显著变化。
某电池厂测评新旧两种工艺生产的电池寿命，设两工艺电池寿命分别服从正态总体 N(μ₁,σ₁²) 与 N(μ₂,σ₂²)，两总体相互独立且方差相等但未知。从新工艺抽取容量 n₁=9 的样本，得样本均值 x̄₁=120 小时，样本方差 s₁²=4；从旧工艺抽取容量 n₂=16 的样本，得样本均值 x̄₂=112 小时，样本方差 s₂²=9。检验 H₀: μ₁=μ₂（双侧），所构造的合并方差 t 统计量的值为（结果保留两位小数）：A. 7.12 B. 5.33 C. 8.94 D. 3.56
某品牌电池的续航时间服从正态分布 N(μ, σ²)。按产品标准，续航时间的标准差应不超过 0.3 小时。现从一批产品中随机抽取 15 块电池，测得样本标准差 s = 0.45 小时。取显著性水平 α = 0.05，试检验该批电池续航时间的标准差是否显著超过 0.3 小时。（已知 χ²₀.₀₅(14) = 23.685）
某厂生产的一种螺栓长度 X（单位：毫米）服从正态分布 N(μ, σ²)，长期生产记录表明标准差 σ=0.6 毫米保持稳定。工艺标准规定平均长度为 μ=12 毫米。质检员从一批产品中随机抽取 36 件，测得样本均值 x̄=12.15 毫米。在显著性水平 α=0.05 下（取 z₀.₀₂₅=1.96），检验 H₀: μ=12 对 H₁: μ≠12，应计算统计量 Z=(x̄-12)/(σ/√36)，其值为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 0.25 D. 15
某饮料灌装机标称每瓶容量为500 mL。设每瓶容量 X～N(μ, σ²)，σ 未知。随机抽取25瓶，测得样本均值 x̄=503.2 mL，样本标准差 s=4.0 mL。在显著性水平 α=0.05 下检验 H₀: μ=500 对 H₁: μ≠500。已知 t₀.₀₂₅(24)=2.064，则检验统计量 T=____（保留两位小数），应____（填「拒绝」或「不拒绝」）H₀。
某茶叶分装机每袋茶叶重量 X 服从正态分布 N(μ, σ²)，已知标准差 σ=2 克保持稳定。包装标准规定平均重量 μ=50 克。质检员随机抽取 25 袋，测得样本均值 x̄=50.85 克。在显著性水平 α=0.05 下检验 H₀: μ=50 对 H₁: μ≠50，已知检验统计量 Z 的观测值为 z=2.125。则应作出的结论是____（填「拒绝H₀」或「接受H₀」），此检验中拒绝域的临界值为____（用 z_{α/2} 的数值表示）。
设线性回归模型 y=Xβ+ε 中，设计矩阵 X 的 Gram 矩阵为 X′X=[[5,2],[2,5]]，且已知 X′y=(7,7)′。取岭参数 k=3。(1) 写出岭估计 β̂(k) 的定义式，并计算其值；(2) 计算最小二乘估计 β̂_OLS，比较两者并说明岭回归为何能改善最小二乘在多重共线性下的不稳定问题。
在研究某地区商品房价格的回归模型中，以房价（万元）为因变量，纳入建筑面积、房龄、距地铁距离、周边学校数量四个解释变量。为诊断多重共线性，将解释变量 x₃（距地铁距离）对其余三个解释变量作辅助回归，得可决系数 R₃²=0.96。（1）计算 x₃ 对应的方差膨胀因子 VIF₃ 与容忍度 Tolerance₃；（2）说明 VIF₃ 表明模型存在何种问题，并解释该问题对回归系数估计的具体危害；（3）在此共线性程度下，x₃ 回归系数估计的标准误相对于无共线性情形放大了多少倍？
在研究某城市住宅价格的回归模型 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + ε 中，为诊断解释变量 x₃ 的多重共线性程度，将其关于其余解释变量 x₁、x₂ 作辅助回归，记该辅助回归的判定系数为 R²。已知由此算得 x₃ 的方差膨胀因子 VIF(x₃) = 16，方差膨胀因子的计算公式为 VIF = 1/(1−R²)。（1）求辅助回归的判定系数 R²；（2）若另一个变量 x₂ 的辅助回归判定系数 R₂² = 15/16，比较 x₂ 与 x₃ 哪个共线性更严重，并求出 x₂ 的方差膨胀因子。
在某回归诊断中，基于 n=12 组观测拟合含一个自变量的一元线性回归模型。已知第 7 个观测点的残差 e₇=6.5，误差均方和 MSE=6.25，该点杠杆值 h₇₇=0.10。试计算第 7 个观测点的学生化残差 r₇ = e₇/√(MSE×(1−h₇₇))，并依据 |r₇|>2 的常用判别准则判断该点是否为异常值。
在回归模型 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + ε 中，为诊断多重共线性，将 x₁ 作为响应变量对其余解释变量 x₂、x₃ 作辅助回归，得判定系数 R² = 0.6。据此计算 x₁ 的方差膨胀因子 VIF = ____；依经验准则 VIF > 10 才视为严重共线性，则该变量的共线性程度____（填“严重”或“不严重”）。
在多元线性回归中，若某解释变量与其余解释变量回归的可决系数 R²=0.9，则该变量对应的方差膨胀因子 VIF=____，容忍度 Tolerance=____；多重共线性的主要危害是使回归系数估计的____增大，导致系数检验的 t 统计量偏____（填“大”或“小”）。
在某回归模型（含截距，n=20，p=2）的诊断中，对第 i 个观测点已知：普通残差 eᵢ=3，杠杆值 hᵢᵢ=0.25，残差平方和 SSE=40.5（即均方误差 s²=40.5/18=2.25）。（1）计算标准化残差（内部学生化残差）rᵢ = eᵢ/(s·√(1−hᵢᵢ))；（2）利用删除第 i 个点后的估计公式 s₍ᵢ₎² = [(n−p)s² − eᵢ²/(1−hᵢᵢ)]/(n−p−1)，计算学生化残差（外部学生化残差）tᵢ = eᵢ/(s₍ᵢ₎·√(1−hᵢᵢ))，结果保留两位小数；（3）判断该点是否为异常值候选点（|tᵢ|>2 视为候选）。
某回归模型得到残差 e₁,…,eₙ（n=30）。为检验误差方差齐性，将自变量按取值排序后分为两组，前15个残差与后15个残差的残差平方和分别为 SSE₁=60 和 SSE₂=240。在显著性水平 α=0.05 下采用 Goldfeld-Quandt 检验，统计量 F=SSE₂/15 ÷ (SSE₁/15)=4，已知临界值 F₀.₀₅(14,14)=2.48。下列结论正确的是： A. F=4>2.48，拒绝方差齐性假设 B. F=4>2.48，不拒绝方差齐性假设 C. F=4<2.48，拒绝方差齐性假设 D. 两组残差平方和之比无法用于判断方差齐性
设多元线性回归模型为 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε，现有 4 组中心化后的观测数据如下：x₁：-1, 1, -1, 1；x₂：1, 1, -1, -1；y：1, 5, 3, 7。已知设计矩阵的三列（常数项列、x₁、x₂）两两正交，请用最小二乘法求参数 β₀、β₁、β₂ 的估计值 β̂₀、β̂₁、β̂₂。
某研究建立商场日销售额 y（万元）关于日客流量 x₁（千人）与平均气温 x₂（℃）的多元线性回归模型，并已通过显著性检验。记 x₁ 的偏回归系数为 b₁，x₂ 的偏回归系数为 b₂。下列关于 b₁、b₂ 的解释正确的是： ① b₁ 表示在平均气温固定的条件下，日客流量每增加1千人，日销售额平均变化 b₁ 万元； ② b₂ 表示日客流量固定时，气温每升高1℃，日销售额平均减少 |b₂| 万元（设 b₂<0）； ③ b₁ 表示在其他自变量不变的条件下，x₁ 每变动一个单位引起 y 的平均变动量； ④ 即使 b₁>0 而简单回归中 x₁ 对 y 的系数为负，二者也可能同时成立，因偏回归系数已剔除 x₂ 的影响。 A. 仅①② B. 仅②④ C. ①②③ D. ①②③④