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设某生物量 y 与时间 t 的关系可由非线性回归模型 y = α·e^(βt) 描述。已知通过变换后用最小二乘法估计得 β 的估计值为 0.7，且当 t = 0 时模型预测 y = 2.5（单位：kg）。请写出该非线性回归模型的一般形式，并求 t = 4（单位：年）时的模型预测值（结果保留两位小数）。
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设响应变量 y 已中心化，三个自变量 x₁,x₂,x₃ 互不相关（正交设计），且各自标准化。记 zⱼ = xⱼᵀy（j=1,2,3），已知 z₁=4，z₂=−2.5，z₃=1。考虑 Lasso 问题：min_β (1/2)∑ᵢ(yᵢ−∑ⱼxᵢⱼβⱼ)² + 1.5∑ⱼ|βⱼ|。求 Lasso 估计 β̂₁、β̂₂、β̂₃，并指出哪些变量被选入模型。
设线性回归模型 y = β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + ε，数据经标准化后，某次Lasso拟合在给定参数 λ 时，其系数估计为：Lasso惩罚下各系数的收缩量为 |β̂ⱼ| = max(|βⱼ^(OLS)| − λ, 0)。已知三个普通最小二乘估计为 β₁^(OLS) = 6，β₂^(OLS) = −2，β₃^(OLS) = 0.8，取 λ = 1.5。请分别计算 Lasso 估计 β̂₁、β̂₂、β̂₃，并指出哪些变量被 Lasso 从模型中剔除（即压缩为 0）。
在一项含 n=10 个观测的回归问题中，考虑两个候选模型：模型一含 p=2 个参数，残差平方和 RSS/n=7.3891，故 ln(RSS/n)=2.000；模型二含 p=3 个参数，RSS/n=8.1662，故 ln(RSS/n)=2.100。已知选择准则为 AIC = n·ln(RSS/n) + 2p，BIC = n·ln(RSS/n) + p·ln(n)，其中 ln(10)≈2.3026。请分别计算两个模型的 AIC 与 BIC（结果保留两位小数），并指出按 AIC 与按 BIC 各应选择哪个模型。
在某地区居民消费支出的回归研究中，以月消费支出（元）为因变量，纳入收入、家庭人口数、住房面积三个解释变量。为诊断多重共线性，对解释变量 x₁（收入）与其余解释变量作辅助回归，得可决系数 R₁²=0.96；对 x₂（家庭人口数）得 R₂²=0.75；对 x₃（住房面积）得 R₃²=0.5。请计算三个解释变量各自的方差膨胀因子 VIF 和容忍度 Tolerance，并依据经验法则（VIF>10 视为存在严重多重共线性）判断哪些变量存在严重的多重共线性，同时说明严重多重共线性对最小二乘估计的一个主要危害。
在某回归诊断问题中，基于 n=20 个观测拟合含 p=2 个回归参数（含截距）的线性模型。已知第 12 个观测点的普通残差 e₁₂=1.5，误差方差的估计 s²=2，杠杆值 h₁₂₁₂=0.5。请先计算该点的学生化残差 r₁₂ = e₁₂ / (s·√(1−h₁₂₁₂))，再利用公式 D₁₂ = (r₁₂²/p) × [h₁₂₁₂/(1−h₁₂₁₂)²] 计算库克距离，并依据经验准则（D>1 判为强影响点）判断该点是否为强影响点。
在某多元线性回归诊断中，误差自由度对应模型的参数个数为 p=2，第 i 个观测点的学生化残差为 rᵢ=√6，杠杆值 hᵢᵢ=0.4。已知库克距离的计算公式为 Dᵢ=(rᵢ²/p)·hᵢᵢ/(1−hᵢᵢ)，且判定准则为：当 Dᵢ>1 时该点被认定为强影响点。请计算该点的库克距离 Dᵢ，并据此判断第 i 个观测点是否为强影响点。
在研究某种化工产品的产率 y 关于反应温度 x₁ 与催化剂用量 x₂ 的二元线性回归中，基于 n=24 组观测数据拟合回归方程，得到各样本点的标准化残差（部分列出）：第 3 个样本点 e₃*=0.12，第 7 个样本点 e₇*=−0.25，第 15 个样本点 e₁₅*=0.21，第 19 个样本点 e₁₉*=−3.10。若以 |e*|>2 作为判定标准，请回答：（1）上述列出标准化残差的样本点中，哪些可判定为异常点？（2）以反应温度 x₁ 为横轴、标准化残差 e* 为纵轴作残差图，若残差随 x₁ 增大呈现明显的喇叭形（扩散趋势），说明模型的哪项基本假定可能不成立？
在某商场销售额 y（万元）关于广告投入 x（万元）的一元线性回归中，由 9 组观测数据算得：回归系数的估计值 b₁ = 1.5，残差平方和 SSE = 40，自变量离差平方和 Sxx = ∑(xᵢ - x̄)² = 20。假设误差服从正态分布，取显著性水平 α = 0.05，已知 t₀.₀₂₅(7) = 2.365。试求回归系数 β₁ 的置信度为 95% 的置信区间。
某研究建立居民人均月食品支出 y（元）与月收入 x₁（百元）、家庭人数 x₂（人）之间的线性回归模型：y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε，其中 E(ε | x₁, x₂) = 0。经估计得 β₀ = 180，β₁ = 55，β₂ = 120。某家庭月收入为 60 百元，家庭人数为 4 人。请写出该模型的一般形式中 y 的条件期望表达式 E(y | x₁, x₂)，并计算该家庭的月食品支出期望值。
设一元线性回归模型 y = β₀ + β₁x + ε，其中 ε 服从均值为 0 的随机误差项。现有三个判断：甲：给定 x 的值后，y 仍有多个可能的取值，说明 y 与 x 之间是统计相关关系而非函数关系；乙：回归方程 ŷ = b₀ + b₁x 所刻画的是自变量 x 与因变量的条件期望 E(y|x) 之间的数量关系，b₁ 称为回归系数；丙：随机误差项 ε 反映了除 x 以外的随机因素及观测误差对 y 的影响。请指出：以上三个判断中正确的有几个？并写出正确的判断编号。
在下列涉及回归分析研究内容的表述中，指出其正误并简述理由：（1）回归分析所研究的是自变量与因变量之间的确定性函数关系；（2）回归分析通过回归方程刻画因变量 y 关于自变量 x 的平均变化关系；（3）在回归模型中，随机误差项 ε 表示自变量 x 对 y 的影响；（4）回归分析的研究内容主要包含模型设定、参数估计与假设检验等环节。
设总体 X 的一组样本观测值为 1.5, 2.2, 5.6, 2.2, 7.1, 9.0（n=6），其经验分布函数记为 F₆(x)，则 F₆(7.1)−F₆(2.2) 等于多少？
在含 20 个观测的回归问题中，对两个候选模型分别计算 AIC 与 BIC（准则形式：AIC = n·ln(RSS/n) + 2p，BIC = n·ln(RSS/n) + p·ln n，其中 p 为模型参数个数）。已知模型 A 的残差平方和 RSS_A = 60，参数个数 p_A = 2；模型 B 的 RSS_B = 58，参数个数 p_B = 3。取 ln 3 ≈ 1.10，ln 2.9 ≈ 1.06，ln 20 ≈ 3.00，结果保留一位小数。（1）计算两模型的 AIC 与 BIC；（2）分别依据 AIC 与 BIC 判断应选择哪个模型。
在回归诊断中，通常以学生化残差 r_i = e_i / s(e_i) 作为异常值的判定统计量，常用准则为：当 |r_i| > 3 时判定该观测为异常值。已知某回归模型中第 7 个观测的残差 e₇ = 1.26，其标准差 s(e₇) = 0.42。请计算第 7 个观测的学生化残差 r₇，并依据上述准则判断该观测是否为异常值。
设随机变量序列 X₁, X₂, … 相互独立且服从同一分布，已知 E(Xᵢ)=7，D(Xᵢ)=5（i=1,2,…），记前 n 项的算术平均为 X̄ₙ=(1/n)∑Xᵢ。试用切比雪夫不等式估计 P(|X̄ₙ−7|≥0.5) 的上界，并说明当 n→∞ 时该概率的极限，从而指出 X̄ₙ 依概率收敛于哪个值。
设从某总体中抽取两组独立样本。第一组容量 n₁=5，观测值为 4, 6, 8, 10, 12；第二组容量 n₂=4，观测值为 3, 6, 9, 10。求：(1) 两组样本各自的样本均值 X̄₁、X̄₂ 与样本方差 S₁²、S₂²（按 S² = (1/(n−1))∑(xᵢ−X̄)² 计算）；(2) 将两组偏差平方和合并，以 n₁+n₂−2 为自由度求合并样本方差 S_p² = (∑(xᵢ−X̄₁)² + ∑(yⱼ−X̄₂)²)/(n₁+n₂−2)。
设 X₁, X₂, …, X₁₀ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的简单随机样本（σ 未知），X̄ 为样本均值，S² 为样本方差（S² = (1/9)∑(Xᵢ−X̄)²）。记统计量 T = √9·(X̄−μ)/S = 3(X̄−μ)/S。求 T 服从的分布（写出自由度）。
设连续型随机变量 X 在区间 (0,2) 上服从均匀分布，记 μₖ=E(Xᵏ)（k=1,2,4）为 X 的 k 阶原点矩，并令 Y=X³。(1) 求 μ₁、μ₂、μ₄；(2) 求二维随机变量 (X,Y) 的协方差矩阵。
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)=c·x·e^(-2x)（x≥0），f(x)=0（x<0），其中 c 为常数。求：(1) 常数 c 的值；(2) E(X)。