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某公司研究员工年薪（万元）的影响因素，解释变量包括工作年限 x（定量变量）与学历层次（定性变量，含三个互斥类别：本科、硕士、博士）。请回答：(1) 若以「本科」为基准类别，应设置几个虚拟变量？分别写出其取值规则（记为 D₁、D₂）。(2) 若有研究者对三个学历类别设置了三个虚拟变量 D₁、D₂、D₃（每个类别对应取 1，其余取 0），并同时放入含截距项的回归模型，请指出这种设置存在的具体问题（写出专业术语）。(3) 写出按 (1) 正确设置后对应的总体回归模型的一般形式，并说明 β₂ 的含义。
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为研究某植株的生长规律，测得施肥量 x（克）与株高增量 y（厘米）的 5 组数据。根据散点特征选用对数模型 y = a + b·ln x（a, b 为待估参数）。请写出将模型线性化所用的变换，并说明变换后应分别以什么作为新变量 x′ 和 y′ 对 (xᵢ, yᵢ) 的哪些函数值作一元线性回归。
设线性回归模型 y=Xβ+ε，设计矩阵满足 X′X=[[4,2],[2,4]]，且 X′y=(6,6)′。(1) 求最小二乘估计 β̂_OLS；(2) 取岭参数 k=2，求岭估计 β̂(2)；(3) 分别计算两估计向量的欧氏范数 √(β₁²+β₂²)，并据此说明岭估计相对最小二乘估计在系数压缩上的表现及无偏性变化。
设两总体 G₁、G₂ 的一维密度分别为 f₁(x)=3e^(−3x)（x>0）与 f₂(x)=5e^(−5x)（x>0）。已知先验概率 q₁=0.3，q₂=0.7；误判损失为 c(1|2)=4（将 G₂ 个体误判入 G₁）和 c(2|1)=2（将 G₁ 个体误判入 G₂）。按贝叶斯判别规则，当且仅当 f₁(x)/f₂(x) ≥ (q₂·c(1|2))/(q₁·c(2|1)) 时判入 G₁。今观测得一个样品 x=0.5，试计算判别统计量 W(x)=ln(f₁(x)/f₂(x))−ln[(q₂·c(1|2))/(q₁·c(2|1))] 的值（保留三位小数），并据此判断该样品应判入哪个总体。
设两个二维总体 π₁ 与 π₂ 分别服从正态分布 N(μ₁,Σ) 与 N(μ₂,Σ)，其中 μ₁=(3,2)ᵀ，μ₂=(6,5)ᵀ，共同的协方差矩阵 Σ=[[4,1],[1,2]]。现测得新样品 x=(5,4)ᵀ，按马氏距离判别法进行归类：计算 x 到两总体的马氏平方距离 d²(x,π₁) 与 d²(x,π₂)，并据此判断 x 应判入哪个总体。
设有一维样本点集合 {2, 3, 4, 11, 12, 13}，采用 K-means 聚类（k=2），初始中心取 m₁=4，m₂=11，距离用绝对值距离。请写出每一轮迭代的划分结果与更新后的中心，直至收敛，并给出最终两个类的中心（结果唯一）。
某高校体质研究课题组对两组大学生（第一组 n₁=15 人，第二组 n₂=20 人）测量两项体能指标（p=2）。经计算得：第一组样本协方差阵行列式 |S₁|=9，第二组 |S₂|=16，两组合并样本协方差阵行列式 |S_p|=16。取显著性水平 α=0.05，试用 Box M 检验判断两组总体协方差阵是否相等（附：ln2≈0.6931，χ²₀.₀₅(3)=7.815）。要求写出 M 统计量、修正系数 C 及修正统计量 M* 的计算过程，并给出检验结论。
为比较两种施肥方案对作物两项生长指标 X₁, X₂ 的影响，分别从两方案中各随机抽取 10 株（n₁=n₂=10），算得两样本均值向量之差 d = (2, 1)′，两样本合并协方差阵的逆阵为 S⁻¹ = [[4, -1], [-1, 2]]。试用两样本 Hotelling T² 检验在显著性水平 α=0.05 下检验两总体均值向量是否有显著差异（已知 F₀.₀₅(2, 17)≈3.59）。
对标准化后的三元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+ε 作岭回归。岭迹显示：随岭参数 k 从 0 增大，β̂₁(k) 与 β̂₃(k) 在 k≥0.2 后趋于稳定；β̂₂(k) 随 k 增大迅速衰减并趋近于 0，在 k≥0.3 后稳定于 0 附近。按岭迹法取使各岭迹均达到稳定的最小 k 作为岭参数。已知取该 k 时岭估计为 β̂₁=1.2，β̂₂=0，β̂₃=0.8，且标准化后 β̂₀=0。求：(1) 依据岭迹法应剔除哪个自变量；(2) 对标准化自变量取值 x₁=1，x₂=2，x₃=1 的新样本，代入所选 k 对应的岭回归方程求预测值 ŷ。
某研究以响应变量 Y（每次观测中 Y 服从均值为 μ 的 Poisson 分布）建立广义线性模型，取连接函数 g(μ)=√μ，线性预测子 η=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃。请依据广义线性模型三大组成部分的框架完成：写出该模型的（1）随机部分（Y 的分布及自然参数与 μ 的关系不必展开，只指出分布类型与均值）；（2）系统部分；（3）连接函数，并指出该连接函数是否为 Poisson 分布的典型连接（典型连接为 ln μ）。
设回归模型 y=Xβ+ε 中，设计矩阵 X 存在严重多重共线性，导致最小二乘估计的方差很大。现采用岭回归方法，取惩罚参数 λ=2。已知岭估计公式为 β̂(λ)=(XᵀX+λI)⁻¹Xᵀy，其中 XᵀX 的对角元素均为 4，Xᵀy=(8, 12)ᵀ，且 XᵀX 在此情形下可视为对角矩阵（各列已中心标准化）。请计算岭估计 β̂(2) 的两个分量。
在一项含 n=40 个观测的回归变量选择问题中，考虑两个候选模型：模型甲含 p=8 个参数，残差平方和 RSS=120；模型乙含 p=3 个参数，RSS=198。采用准则 AIC = n·ln(RSS/n) + 2p，BIC = n·ln(RSS/n) + p·ln(n)，其中 ln40≈3.6889，ln3≈1.0986，ln(120/40)=ln3，ln(198/40)=ln4.95≈1.5994。试分别计算两个模型的 AIC 与 BIC（保留两位小数），并指出 AIC 与 BIC 各自会选择哪个模型，说明二者结论是否一致。
在研究某高校学生月均消费支出问题时，基于同一批样本（n=20）建立两个多元线性回归模型：模型A含3个自变量（即参数个数p=4，含截距项），决定系数R²=0.65；模型B含2个自变量（即参数个数p=3，含截距项），决定系数R²=0.60。采用调整决定系数 R̄² = 1 - (n-1)/(n-p) × (1-R²)（其中p为模型中待估参数个数）比较两模型拟合优度，计算两模型的调整决定系数并判断哪个模型更优。
某研究采用双向逐步回归建立 y 关于 x₁、x₂、x₃、x₄ 的线性回归模型，引入变量的门槛为偏 F 统计量大于 4.00，剔除门槛为偏 F 统计量小于 3.00。第一步，四个候选变量的偏 F 值分别为：F(x₁)=5.2，F(x₂)=8.6，F(x₃)=1.8，F(x₄)=6.3，选取偏 F 值最大的变量引入模型；第二步，在已入选变量保留于模型的条件下，计算剩余候选变量的偏 F 值得：F(x₁)=3.6，F(x₄)=2.7，同时算得已入选变量的偏 F 值为 6.5。请按双向逐步回归规则写出每一步的选入或剔除决策，并说明最终模型包含哪些自变量。
某农业试验站研究某作物产量 y（kg）与施肥量 x₁、灌水量 x₂ 的关系，建立二元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε，基于 n=15 组观测数据得到回归平方和 SSR=240，残差平方和 SSE=120，且偏回归系数估计值 b₁=3.6，其标准误 se(b₁)=1.2。取显著性水平 α=0.05，已知 F(2,12) 分布的上侧 0.05 分位数为 3.89，t(12) 分布的双侧 0.05 分位数为 2.179。请完成：(1) 对回归方程整体显著性作 F 检验，计算 F 统计量的值并给出检验结论；(2) 对偏回归系数 β₁ 作 t 检验，计算 t 统计量的值并给出检验结论。
某课题组研究植物生长高度 y（cm）与施肥量 x（kg/亩）的关系，设定一元线性回归模型为 y = β₀ + β₁x + ε，其中随机误差项满足 E(ε | x) = 0。经估计得到 β₀ = 12，β₁ = 4.5。请写出该回归方程的平均响应函数 E(y | x)，并计算当施肥量 x = 6 kg/亩时 y 的平均值。
设从总体 X 中抽取容量为 6 的样本 X₁, X₂, …, X₆，已知样本观测值满足：∑xᵢ = 48，∑xᵢ² = 452。求样本均值 X̄ 与样本方差 S²。
某研究建立Logistic回归模型：ln(p/(1-p)) = β₀ + β₁x，其中 p 为事件发生的概率，x 为自变量。已知模型参数 β₀ = -2，β₁ = 0.5。当某样本的自变量取值 x = 4 时，请计算该样本事件发生的概率 p = P(Y=1 | x=4)。
设某产品的购买概率 p 与广告投放次数 x 满足 Logistic 回归模型 logit(p) = ln(p/(1−p)) = β₀ + β₁x。已知回归系数 β₁ = 0.8，且当 x = 2 时购买概率恰好为 0.5。(1) 求 β₀；(2) 求 x = 0 时的购买概率 p₀（精确到小数点后四位）。
某工厂考察车间类型（甲、乙、丙三种）对日产量（件）的影响，各随机抽取10天数据，得各组样本均值分别为：甲车间42，乙车间50，丙车间46。现用只含虚拟自变量的回归模型刻画该单因素方差分析问题：以甲车间为基准组，设置虚拟变量 x₁（乙车间取1，否则取0）、x₂（丙车间取1，否则取0），模型为 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε。（1）写出 β₀、β₁、β₂ 与各组总体均值（用各组样本均值估计）的对应关系，并给出三者的估计值；（2）说明该模型在结构上与何种统计模型等价，并指出基准组的选取如何影响回归系数的解释。