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某企业在研究产品销量 y 与广告投入 x₁、促销费用 x₂ 的关系时，建立二元线性回归模型，样本容量 n=21。由回归分析得回归平方和 SSR=72，残差平方和 SSE=24。取显著性水平 α=0.05，已知 F(2,18) 的 0.95 分位数约为 3.55。请对回归方程整体进行 F 检验，计算检验统计量 F 的值并判断回归方程是否显著。
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某城市月度游客量序列 X_t 具有明显的年度周期（周期长度 s=12）。对 X_t 作一阶差分和一阶12步季节差分后得到序列 W_t=(1−B)(1−B^12)X_t，检验表明 W_t 已平稳且均值近似为零。进一步诊断：W_t 的自相关函数在滞后1阶和滞后12阶处显著不为零且之后迅速截尾，偏自相关函数呈拖尾特征；经模型选择得到非季节 MA 参数估计 θ₁=0.4，季节 MA 参数估计 Θ₁=0.6（模型按 (1−θ₁B)(1−Θ₁B^12)ε_t 形式书写）。请按季节模型的建模流程：(1) 指出适用的 SARIMA 模型阶数 (p,d,q)(P,D,Q)_s；(2) 写出该模型的完整表达式，明确给出差分算子多项式与移动平均多项式，并说明残差序列 ε_t 应满足什么性质。
某银行记录的某项日余额序列经 ADF 检验判定为非平稳，其一阶差分序列 d(y) 通过平稳性检验，且 d(y) 的样本自相关函数在滞后 2 阶后截尾，偏自相关函数呈拖尾。请按 ARIMA 建模步骤完成以下任务：(1) 写出对原序列 y 所需的差分阶数；(2) 根据定阶准则确定模型的 (p, d, q) 取值；(3) 写出所确定 ARIMA 模型的表达式（以差分序列 d(y) 表示），并说明建立该模型后用于预测前还需进行哪一步检验。
设平稳时间序列 {X_t} 满足 X_t = 0.5X_{t-1} − 0.2X_{t-2} + ε_t，其中 {ε_t} 为零均值白噪声。偏自相关系数 φ_kk 按定义刻画：φ_11 为 X_t 与 X_{t-1} 的自相关系数 ρ_1；φ_22 为在给定 X_{t-1} 的条件下，X_t 与 X_{t-2} 之间的偏相关程度，可由 Durbin-Levinson 递推公式 φ_22 = (ρ_2 − ρ_1²)/(1 − ρ_1²) 求得。请依据偏自相关函数的定义与该递推关系，计算 φ_11 与 φ_22 的值，并指出该序列的偏自相关函数在滞后几处截尾。
设 {ε_t} 为白噪声序列，E(ε_t)=0，Var(ε_t)=3，且不同时刻的 ε_t 互不相关。令 X_t = ε_t·ε_(t−1) + 2（t 取一切整数）。请通过计算回答：E(X_t) 是否为与 t 无关的常数？X_t 的自协方差函数 γ(k)=Cov(X_t, X_(t+k)) 是否只依赖于时间间隔 k 而与起点 t 无关？并求出 γ(0)、γ(1)、γ(2) 的值，据此判断 {X_t} 是否为宽平稳序列。
设多元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε，现有 4 组观测数据：x₁ 的取值依次为 1, 1, -1, -1；x₂ 的取值依次为 1, -1, 1, -1；y 的观测值依次为 4, 6, -2, 0。模型含截距项。试用最小二乘法求参数 β₀, β₁, β₂ 的估计值，并据此写出经验回归方程（提示：可利用设计矩阵列向量之间的正交性简化 β̂=(XᵀX)⁻¹Xᵀy 的计算）。
设多元线性回归模型 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε，取得 4 组观测数据如下：(x₁, x₂, y) 依次为 (−1, −1, 3)、(−1, 1, 5)、(1, −1, 7)、(1, 1, 9)。试用最小二乘法求回归系数 β₀、β₁、β₂ 的估计值。
某服装店将120名顾客的性别（男、女）与购买款式（正装、休闲）交叉分类，列联表为：男-正装36，男-休闲24；女-正装24，女-休闲36。对 Simple Correspondence Analysis（简单对应分析），第一因子轴上行主坐标的计算公式为 F_i=(p_i1/p_i·−p_·1)/√(p_·1·p_·2)，列主坐标公式 G_j=(p_1j/p_·j−p_1·)/√(p_1··p_2·)，其中 p_ij 为频率。请计算第一因子轴上行点“男”与列点“正装”的主坐标，并据此判断这两个点的对应关系。
某快递公司为区分当日达件（总体 π₁，n₁=20）与次日达件（总体 π₂，n₂=20），利用历史样本建立 Fisher 判别规则，并用回代法估计误判率。回代检验中，π₁ 有 2 个样品被误判入 π₂，π₂ 有 3 个样品被误判入 π₁。请计算总误判率及各总体的误判率（保留两位小数）。
设 {ε_t} 为独立同分布随机变量序列，E(ε_t)=0，Var(ε_t)=1。定义时间序列 X_t = ε_t + 0.5ε_(t-1)。试计算 X_t 的均值、方差 γ₀ 及自协方差 γ₁、γ₂，并据此判断 {X_t} 是否为白噪声序列，说明理由。
某研究组研究某种合金的抗拉强度 y（单位：MPa）与碳含量 x₁、锰含量 x₂ 的关系，建立二元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε，样本容量 n=18。由样本算得回归系数的估计值 b₁=2.4，b₂=−1.2，其对应的标准误分别为 SE(b₁)=0.8，SE(b₂)=0.6。取显著性水平 α=0.05，已知自由度为 15 的 t 分布双侧临界值为 t₀.₀₂₅(15)=2.131。（1）写出检验回归系数 β₁ 的统计量 t₁ 的值并判断 x₁ 是否显著；（2）写出检验回归系数 β₂ 的统计量 t₂ 的值并判断 x₂ 是否显著。
设有一个 3×2 列联表，行变量为支付方式（现金、刷卡、扫码），列变量为消费金额档次（低档、高档），各单元格频数依次为：现金(40, 10)、刷卡(25, 25)、扫码(15, 35)，总频数 N=150。请计算行轮廓（行百分比）矩阵，并据此判断哪种支付方式最集中于高档消费，说明对应分析中行轮廓所刻画的对象是哪个定性变量各类别的分布特征。
某银行风控部门为区分正常客户（总体 π₁）与违约客户（总体 π₂），利用已标注的历史样本建立 Bayes 判别规则，并用两种方法评价判别效果。已知训练样本中 π₁ 含 14 个样品，π₂ 含 16 个样品。回代检验（将全部训练样品代入判别规则重新判别）结果显示：π₁ 中有 2 个样品被误判入 π₂，π₂ 中有 3 个样品被误判入 π₁；改用留一法（每次剔除一个样品后重新建立判别规则再判别该样品）检验结果显示：π₁ 中有 4 个样品被误判，π₂ 中有 5 个样品被误判。（1）计算回代检验得到的表观误判率；（2）计算留一法估计的误判率；（3）说明哪种估计更接近真实误判率并简述理由。
对9个样品进行系统聚类，合并过程依次记录的类间距离如下：由9类并为8类时距离为0.4，8类并为7类为0.6，7类并为6类为0.8，6类并为5类为1.0，5类并为4类为2.4，4类并为3类为2.8，3类并为2类为3.0，2类并为1类为5.5。采用“跳跃法”确定聚类数目：规定当某次合并的类间距离超过前一次合并距离的2倍时，停止继续合并，以合并前的类数作为最佳聚类数。请按此规则计算确定最佳聚类数k，并写出判断依据的数值比较。
为比较两种包装方式对产品两项性能指标 X₁、X₂ 的均值是否有差异，从两种包装方式中分别独立随机抽取 n₁=7 和 n₂=9 件产品，算得两样本均值向量之差 d = (2, 1)′，两总体协方差阵的合并估计为 S = [[4, 1], [1, 3]]，其逆矩阵 S⁻¹ = (1/11)[[3, -1], [-1, 4]]。取显著性水平 α=0.05，已知 F₀.₀₅(2, 12) = 3.89。请计算两样本 Hotelling T² 统计量的值，并判断能否拒绝两总体均值向量相等的原假设。
设非线性回归模型 y=θ·ln(x)+ε（θ>0 为待估参数，模型对参数非线性，不作变换，直接采用非线性最小二乘法估计 θ）。现有三组观测数据：(x,y)=(e,2)，(e²,5)，(e³,7)。请写出残差平方和 S(θ)=∑[yᵢ-θ·ln(xᵢ)]²，并求使 S(θ) 达到最小的 θ 的非线性最小二乘估计 θ̂。
某饮料厂研究四种储存温度（20℃、4℃、-18℃、40℃）对果汁维生素C保留率（%）的影响，各条件下大量样本的均值分别为92、88、96、80。现仅以三个虚拟变量作自变量建立回归模型：y = β₀ + β₁D₁ + β₂D₂ + β₃D₃，其中以20℃组为基准组，D₁=1表示4℃组，D₂=1表示-18℃组，D₃=1表示40℃组。用最小二乘法估计该模型：(1) 写出 β₀、β₁、β₂、β₃ 的估计值；(2) 说明该只含虚拟自变量的回归模型与单因素方差分析模型的结构关系，并据此预测40℃条件下维生素C保留率的总体均值。
某培训机构比较三位教师（刘、陈、赵）所授班级的同一次测验平均成绩。以教师刘为基准组，引入虚拟变量 D₁（陈班=1，否则为0）与 D₂（赵班=1，否则为0），建立只含虚拟自变量的回归模型：y = β₀ + β₁D₁ + β₂D₂ + ε。由样本数据估计得 β̂₀ = 72，β̂₁ = 6，β̂₂ = -4。要求：（1）写出三位教师各自所授班级的期望成绩；（2）说明该回归模型与单因素方差分析模型之间的结构关系，并指出回归系数 β̂₁、β̂₂ 的方差分析含义。
某物流公司研究日配送成本 y（百元）与订单量 x₁、运输里程 x₂、仓储耗时 x₃ 的关系，建立三元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+ε，基于 n=17 组观测数据，经计算得总平方和 SST=180，残差平方和 SSE=45。又已知偏回归系数估计值 β̂₂=2，其标准误 se(β̂₂)=0.5。取显著性水平 α=0.05，已知 F(3,13) 的临界值为 3.41，t(13) 的双侧临界值为 2.160。要求：(1) 计算回归方程整体显著性检验的 F 统计量，并判断回归方程整体是否显著；(2) 计算检验 H₀: β₂=0 的 t 统计量，并判断变量 x₂ 是否显著。
某调查中，品牌偏好（行变量 A、B、C）与年龄段（列变量 甲、乙、丙）作对应分析，得到行点与列点在二维对应图坐标系中的坐标如下：A=(0.6, 0.2)，B=(-0.3, 0.4)，C=(-0.2, -0.5)；甲=(0.5, 0.3)，乙=(-0.4, 0.2)，丙=(-0.1, -0.6)。按对应分析的判读原则，行点与其距离最近的列点视为存在对应关联。请计算每个行点到各列点的欧氏距离（结果保留两位小数），并据此写出三组相互配对的关联类别。