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平行板电容器极板间充满两层紧贴的均匀电介质，介质1（相对介电常数 εr1=2）与介质2（εr2=4）沿电场方向串联叠放。极板自由电荷面密度为 σ0=4.0×10⁻⁹ C/m²。设界面法向单位矢量 n 由介质1指向介质2，忽略边缘效应。由电位移矢量法向分量连续（无自由电荷于界面）可知 D1=D2=σ0，从而 E1=σ0/(2ε0)，E2=σ0/(4ε0)，P1=ε0(εr1−1)E1，P2=ε0(εr2−1)E2。求界面上极化电荷面密度 σ'=(P1−P2)·n 的值。 A. −1.0×10⁻⁹ C/m² B. +1.0×10⁻⁹ C/m² C. −2.0×10⁻⁹ C/m² D. +2.0×10⁻⁹ C/m²
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一个真空平行板电容器，极板面积 A=0.1 m²，两极板间距 d=1 mm，两极板间电势差 U=3000 V，边缘效应可忽略。（已知真空介电常数 ε₀=8.85×10^(-12) F/m）（1）求两极板间静电场的能量密度 w；（2）由能量密度积分求电容器储存的总静电能量 W。
真空区域中电流密度为 J = k t r r̂（r̂ 为径向单位矢量，k=1 A/(m²·s)，r 为到场点距离）。设 t=0 时该区域内（半径 R=1 m 的球内）电荷体密度处处为零。由连续性方程 ∂ρ/∂t = -∇·J 可得球内电荷体密度 ρ(t)=____（用 k、t 表示），则 t=1 s 时球内总电荷 Q=____ C（结果可用 π 表示）。
一球形区域（半径 R = 2 m）内分布着自由电荷，初始总电荷 Q₀ = 8 C。已知该区域内自由电荷正沿径向均匀向外流出，通过以球心为中心、半径为 r（r ≤ R）的球面的电流密度大小为 J = k/r²，其中 k = 1/(4π) A，J 的方向沿径向向外。试求：(1) 穿出任一半径 r（r ≤ R）球面的总电流 I；(2) 球内总电荷由 8 C 减少到 2 C 所需的时间 t。
一半径 R=2 m 的球形区域内的自由电荷正沿径向均匀向外流出，设电流密度 J = k/r² 的径向分量（k = 3 A，r 为到球心的距离），则球内总电荷随时间的变化率 dQ/dt 为（以 C/s 计） A. 12π C/s B. -12π C/s C. -3π C/s D. -48π C/s
质量为 m 的质点在重力场中运动，取柱坐标 (r, θ, z) 为广义坐标，z 轴竖直向上，重力加速度为 g，则其拉格朗日函数为 L = ½m(ṙ² + r²θ̇² + ż²) − mgz。用拉格朗日方程分析该系统的广义坐标，下列结论正确的是 A. r、θ、z 均为循环坐标 B. θ 为循环坐标，对应广义动量 pθ = mr²θ̇ C. θ 为循环坐标，对应广义动量 pθ = mθ̇ D. 不存在循环坐标
质量 m=1 kg 的质点在重力场中运动，取柱坐标 (ρ, φ, z) 为广义坐标（z 轴竖直向上），其拉格朗日函数为 L = (1/2)(ρ̇² + ρ²φ̇² + ż²) − gz。由于 L 不显含 φ，φ 为循环坐标，广义动量 p_φ = ____（守恒）。已知 t₁ 时刻 ρ=2 m、φ̇=3 rad/s，t₂ 时刻质点运动到 ρ=3 m 处，则此时 φ̇ = ____ rad/s。
在直角坐标系 Oxyz 中，一个质点同时受两个理想约束：被限制在球面 x² + y² + z² = 25 上运动，又被限制在平面 z = 3 上运动。该质点的自由度数为 ____；若选取质点绕 z 轴的方位角 θ 为广义坐标，则约束曲线的半径为 ____（长度单位）。
质点在水平面内运动，取广义坐标 q，质点位矢的分量分别为 x = q + q²，y = q²。已知作用于质点的主动力为恒力 F = (4i + 6j) N（沿 x、y 方向）。当 q = 1 时，对应于广义坐标 q 的广义力 Q = ____ N。
一质点被约束在固定的光滑球面 x²+y²+z²=R²（z≥0）上处于静止。关于该质点在某一时刻的虚位移，下列说法正确的是：A. 虚位移是质点在微小时间间隔 dt 内实际发生的位移 B. 任何方向的微小位移都可以作为虚位移 C. 虚位移是约束允许的、位置函数在固定时刻下的无限小变更，位于球面在该点的切平面内 D. 虚位移必须沿重力方向才满足虚功原理
质点被约束在固定水平面 z=0 上运动，其所受主动力为 F=(3i+4j) N，方向恒定。关于该质点的虚位移与虚功，下列说法正确的是（ ） A. 虚位移 δz 可取任意非零值，虚功 δW=3δx+4δy B. 虚位移只能在水平面内取，即 δz=0，虚功 δW=3δx+4δy C. 虚位移就是质点实际发生的位移，虚功即真实力做的功 D. 虚位移可在空间任意方向取，虚功 δW=3δx+4δy+5δz
质量 m=2 kg 的滑块置于倾角为 30° 的光滑斜面上（g 取 10 m/s²，重力竖直向下）。设某时刻约束允许滑块产生沿斜面向上的虚位移 δs = 0.4 m。已知沿斜面向上作用于滑块的主动力 F = 30 N，重力 P = mg 为主动力，约束为理想约束、约束反力不做虚功。求：（1）各主动力在该虚位移上做的虚功；（2）主动力系的总虚功。
动点M在平面内运动，其直角坐标形式的运动方程为 x=t³−3t²+6t（m），y=3t²−2t（m），t 以 s 计。则 t=1 s 时，动点M的速度大小 v=____ m/s，加速度大小 a=____ m/s²。
质量 m=2 kg 的小球在竖直平面内运动，受重力 P=mg 作用（g 取 10 m/s²，方向沿 z 轴负向）。设某时刻约束允许小球产生竖直向上的虚位移 δz=0.5 m，且此时约束是理想双面约束。求重力在此虚位移上所做的虚功 δW。
某游乐场的滑道装置：一小车从左侧斜面高h₁=5m的A点由静止滑下，经过水平段后冲上右侧倾角为30°的斜面。若不计摩擦和空气阻力，g取10N/kg，小车质量为200kg。求：(1)小车在A点具有的重力势能；(2)小车到达右侧斜面最高点时，小车在斜面上移动的距离。
质量为 m 的小珠套在竖直放置的光滑圆环上，环半径 R=0.2 m，取最低点为重力势能零点。以小珠偏离最低点的角度 θ 为广义坐标，则系统的拉格朗日函数为 L = (1/2)mR²θ̇² − mgR(1−cosθ)。由于 L 不显含时间，存在能量积分 E = (1/2)mR²θ̇² + mgR(1−cosθ) = 常量。若小珠从与环心等高处（θ=90°）由静止释放，取 g=10 m/s²，则小珠到达最低点时的速率为 ____ m/s。
生活中改变内能有两种方式。冬天，小阳取质量为0.5kg的水装入水壶，用炉火将其从20℃加热到100℃。已知水的比热容为4.2×10³J/(kg·℃)。求：（1）这些水吸收的热量；（2）加热过程中水内能的改变是通过什么方式实现的；（3）若小阳双手搓动取暖，这是通过什么方式改变内能。
物体的动能 Ek = 1/2 mv²（m 为质量，单位 kg；v 为速度，单位 m/s；Ek 单位为 J）。一辆质量为 1000 kg 的汽车在水平公路上以 10 m/s 的速度匀速行驶，求此时汽车的动能；若另一辆质量为 2000 kg 的卡车以相同速度匀速行驶，则卡车的动能是多少？
蹦床运动员从最高点下落到接触蹦床，再继续向下运动到最低点的过程中，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）A．整个下落过程中运动员的机械能守恒 B．从最高点到接触蹦床前，重力势能全部转化为动能 C．接触蹦床后下落过程中，动能一直增大 D．在最低点时运动员的动能最大
质量为 m 的小球套在绕竖直轴以匀角速度 ω 转动的光滑水平细杆上，并用劲度系数为 k 的轻弹簧（另一端固定于转轴处）连接，取小球到轴的距离 r 为广义坐标。该系统的拉格朗日函数 L(r, ṙ) 为（ ） A. ½mṙ² − ½kr² B. ½mṙ² + ½mω²r² − ½kr² C. ½mṙ² + ½mω²r² + ½kr² D. ½mṙ² − ½mω²r² − ½kr²