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设 A、B 为同一试验中的两个事件，已知 P(A)=0.45，P(B)=0.35，且 A 与 B 互不相容（即 AB=∅）。由概率的公理化定义与性质，计算 P(A∪B) 与 P(A−B) 的值。
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设总体 X 服从区间 (0, θ) 上的均匀分布，X₁, X₂, …, Xₙ 为来自该总体的简单随机样本。下列统计量中，哪一个不是 θ 的相合估计量？A. 2X̄ B. max(X₁,…,Xₙ) C. max(X₁,…,Xₙ) − 1/n D. X₁
设总体 X 服从均匀分布 U(0, θ)，X₁, X₂, …, Xₙ 为来自总体的简单随机样本，Tₙ = X₍ₙ₎（最大次序统计量）作为 θ 的估计量。已知当 n→∞ 时，Tₙ 依概率收敛于 θ。若另取估计量 Sₙ = (n+1)/n × Tₙ，则当 n→∞ 时 Sₙ 依概率收敛于 ____，且 Sₙ 作为 θ 的估计量____（填“是”或“不是”）θ 的相合估计。
设 X₁, X₂, …, Xₙ 是来自总体 X 的样本，且 E(X)=μ 存在。记样本均值 X̄ₙ = (1/n)∑Xᵢ。由大数定律知，对任意 ε>0，有 lim(n→∞) P(|X̄ₙ−μ|<ε) = ____，因此 X̄ₙ 是 μ 的相合估计量。
设总体 X 服从正态分布 N(μ, σ²)，μ 与 σ² 均未知。从该总体中抽取容量为 n 的样本，样本均值为 x̄，样本标准差为 s。构造 μ 的置信水平为 1−α 的置信区间时，应采用的枢轴量服从的分布是（ ） A. 标准正态分布 N(0,1) B. 自由度为 n 的 t 分布 C. 自由度为 n−1 的 t 分布 D. 自由度为 n−1 的 χ² 分布
设总体 X 的一个容量为 5 的样本观测值为 1.2, 3.5, 4.7, 5.0, 6.8，其经验分布函数记为 F₅(x)，则 F₅(5)−F₅(3)=____。
设 X₁, X₂, ..., X₆ 是来自总体 N(0, 4) 的简单随机样本，X̄ 为样本均值，S² 为样本方差（S² = (1/5)∑(Xᵢ−X̄)²）。则统计量 Y = 5S²/4 服从自由度为 ____ 的 χ² 分布；统计量 T = X̄/(S/√6) 服从自由度为 ____ 的 t 分布。
设 X₁, X₂, X₃, X₄, X₅ 是来自总体 N(μ, σ²) 的简单随机样本，X̄ 为样本均值，S² = (1/4)∑(Xᵢ − X̄)² 为样本方差。设 Y = 5(X̄ − μ)²/S²，则下列结论正确的是（ ） A. 5S²/σ² ~ χ²(5) B. Y ~ F(1, 4) C. √5(X̄ − μ)/σ ~ t(4) D. 4S²/σ² ~ χ²(5)
设总体 X ~ N(0, 4)，X₁, X₂, X₃, X₄ 为来自该总体的简单随机样本，S² 为样本方差。求统计量 T = 3S²/4 所服从的分布，并写出该分布的自由度。
设总体 X 的一组样本观测值为 3, 1, 4, 1, 5，则其经验分布函数在 x=2 处的值 F₅(2)=____
设某工厂生产的同类零件共 400 件，每件是否为次品相互独立，且每件是次品的概率均为 0.5。以 X 表示这批零件中次品的件数。试用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似计算次品件数与平均次品数之差的绝对值小于 20 件的概率 P(|X−200|<20)。已知 Φ(2)=0.9772。
设总体 X 服从正态分布 N(μ, σ²)，X₁, X₂, X₃, X₄ 为来自该总体的简单随机样本，X̄ 为样本均值。下列哪一项是样本均值的分布？ A. N(μ, σ²) B. N(μ, σ²/4) C. N(4μ, 4σ²) D. N(μ/4, σ²)
设总体 X 的期望 μ=8，方差 σ²=4，从总体中抽取样本 X₁, X₂, …, X₁₆，样本均值为 X̄，样本方差为 S²，则 E(X̄) 与 E(S²) 分别为（ ）。A. 8 和 4 B. 8 和 16/15 C. 4 和 8 D. 8 和 15/16
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)=2x，x∈(0,1)；其他处 f(x)=0。令 Y=X²。求二维随机变量 (X,Y) 的协方差矩阵（矩阵中元素以分数表示）。
设连续型随机变量 X 在区间 (0,1) 上服从均匀分布，令 Y=X²。求 X 与 Y 的协方差 Cov(X,Y) 与相关系数 ρ_XY，并据此判断 X 与 Y 是否相互独立。
设 X₁, X₂, … 为独立同分布的随机变量序列，其数学期望 E(Xₙ)=μ 存在且方差 D(Xₙ)=σ²<∞。由辛钦大数定律可知，对任意 ε>0，有 lim(n→∞) P(|(1/n)∑Xᵢ − μ| ≥ ε) = ____，这说明算术平均值 (1/n)∑Xᵢ 依概率收敛于____。
某工厂用机器自动检测零件是否合格，每件零件合格的概率为 p（0<p<1），各件是否合格相互独立。检验员随机抽取 n 件检测，用合格频率估计 p。下列关于该估计的论述中，正确的是哪一项？A. 当 n 充分大时，合格频率依概率收敛于 p，即对任意 ε>0，lim(n→∞) P(|频率−p|<ε)=1，这是伯努利大数定律的直接应用 B. 当 n 充分大时，合格频率必然精确等于 p，不存在任何偏差 C. 合格频率依概率收敛于 1−p，故应改用不合格频率估计 p D. 无论 n 多大，合格频率与 p 的偏差都不会超过 0.1，因此样本量大小无关紧要
设随机变量 X 满足 E(X)=2，D(X)=1，则用切比雪夫不等式估计概率 P(|X−2|≥3) 的上界为（ ） A. 1/9 B. 8/9 C. 1/3 D. 2/9
下列关于大数定律的说法中，正确的是（ ） A. 大数定律表明，大量独立重复试验中事件发生的频率依概率收敛于其概率 B. 大数定律表明，样本均值随 n 增大必然趋于无穷大 C. 大数定律表明，任意随机变量的数学期望一定存在 D. 大数定律表明，随机变量之和的分布趋于二项分布
设随机变量 X 满足 E(X)=1，D(X)=2，则由方差的性质可得 D(2X−3)=____