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某工厂研究设备运行时长 x（小时）与故障次数 Y 的关系，设 Y|X=x 服从泊松分布，采用泊松回归模型 log(μ) = β₀ + β₁x，其中 μ = E(Y|X=x)。已知拟合结果 β₀ = 0.5，β₁ = −0.3。请计算：(1) 当 x = 2 时的平均故障次数 μ(2)（保留4位小数）；(2) 当 x = 4 时的平均故障次数 μ(4)（保留4位小数）；(3) 比值 μ(4)/μ(2)（保留4位小数）。
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设非线性回归模型为 y = x^θ（仅 θ 为待估参数，θ>0），现有三组观测数据：(x₁,y₁)=(1,1)，(x₂,y₂)=(2,1.5)，(x₃,y₃)=(4,2)。采用 Gauss-Newton 迭代法求 θ 的非线性最小二乘估计，取初值 θ⁽⁰⁾=1。请完成：(1) 写出残差向量 r 和 Jacobi 矩阵 J 在 θ⁽⁰⁾=1 处的各元素；(2) 计算一步迭代增量 Δθ = (JᵀJ)⁻¹Jᵀr；(3) 给出迭代一次后的估计值 θ⁽¹⁾（结果用含 ln2 的式子表示，并给出保留三位小数的近似值）。
在泊松回归模型中，设响应变量 Y 服从泊松分布，其均值 μ 与协变量 x 满足 log(μ) = β₀ + β₁x。若 β₁ = 0.2，则当 x 每增加 1 个单位时，均值 μ 的变化情况是（ ） A. μ 增加约 22.1% B. μ 增加 0.2 个单位 C. μ 增加约 20% D. μ 缩小约 18.1%
某研究团队考察住房类型（定性变量，含三个互斥类别：普通住宅、公寓、别墅）对居民满意度评分的影响，同时纳入居住年限（定量变量）作为解释变量。研究者欲以「别墅」为基准类别设置虚拟变量。请回答：(1) 需要引入几个虚拟变量？(2) 写出各虚拟变量 D₁、D₂ 的定义式（即每个虚拟变量在何种类别下取 1、何种类别下取 0），并据此写出含有定性变量与居住年限 x 的总体回归模型的完整表达式（含截距与随机误差项 ε）。
某市统计局研究居民月消费支出的影响因素，拟建立回归模型，解释变量包括家庭年收入（定量，单位：万元）与住房类型（定性：自购商品房、自购房改房、租赁住房三个类别）。若以「自购商品房」为基准类别，设置虚拟变量 D₁、D₂ 表示住房类型：当住房为自购房改房时 D₁=1，否则 D₁=0；当住房为租赁住房时 D₂=1，否则 D₂=0。请写出含年收入 x 与虚拟变量 D₁、D₂ 的线性回归模型的一般形式，并说明：若估计得 β₂>0 且显著，应如何解释该结果？
某市调查通勤时间的影响因素，回归模型含住房类型（定性：自购、租住、单位宿舍、父母同住四个类别）。研究者以「父母同住」为基准设置虚拟变量 D₁、D₂、D₃：D₁=1 表示租住，D₂=1 表示单位宿舍，D₃=1 表示自购。若模型中某个观测是「单位宿舍」类，则该观测对应的虚拟变量取值组合为 D₁=____，D₂=____，D₃=____；若误设时对四个类别引入了四个虚拟变量且模型含截距项，将导致的经典问题称为____。
某企业研究员工年薪的影响因素，拟建立回归模型，解释变量包括工作年限（定量）与学历层次（定性：本科、硕士、博士三个类别）。若以「本科」为基准类别设置虚拟变量，则需要引入的虚拟变量个数及「博士」员工的虚拟变量取值组合分别为（ ） A. 3个；(0,0,1) B. 2个；(0,1) C. 2个；(1,0) D. 2个；(0,0)
某实验测得变量 x 与 y 的 6 组数据。对 y = a·e^(bx)（a>0）两端取自然对数，得 ln y = ln a + bx。经计算：x̄ = 4，ln y 的样本均值为 3，且由最小二乘法求得斜率 b = 0.5。试求 a 的值，并写出拟合的指数回归方程 y 关于 x 的表达式（a 保留两位小数）。
设响应变量 y 已中心化，p 个自变量已标准化，设计矩阵 X 满足正交规范设计（X′X=I）。考虑 Lasso 问题：min_β (1/2)·||y−Xβ||² + λ·∑|β_j|，其中 λ=2。已知最小二乘估计为 β^(OLS)=(6, −3, 2)′。请写出该 Lasso 问题的解 β̂，并说明哪个自变量的系数被压缩为零（即被变量选择剔除）。
为拟合某催化反应中产物浓度 y 随时间 x 的变化规律，某实验组对模型 y=a·b^x（a>0, b>0）取对数线性化，即 ln y = ln a + x·ln b，再用最小二乘法估计参数。现有观测数据：(x, y) 依次为 (0, 4)、(2, 12)、(4, 36)、(6, 108)。若对变换后的数据 ln y 作关于 x 的一元线性回归，则所得回归直线的斜率约为（参考：ln 3 ≈ 1.099） A. 1.099 B. 0.550 C. 0.366 D. 1.386
在做岭回归时，以岭参数 k 为横轴绘制各自变量标准化回归系数 β̂ⱼ(k) 随 k 变化的曲线，即岭迹图。某数据集含三个自变量，随着 k 从 0 增大，发现：变量 x₂ 的岭迹曲线迅速趋近 0 且符号由负变正，曲线全程不稳定；x₁ 与 x₃ 的岭迹曲线平缓且始终远离 0，很快趋于稳定。若依据岭迹法选择剔除不稳定的变量，并在岭迹趋于平稳的最小 k 处取岭参数，则正确的处理是：剔除哪个变量？岭参数 k 应选较大值还是较小的值？A. 剔除 x₂，k 取较小值 B. 剔除 x₂，k 取较大值 C. 剔除 x₁ 或 x₃，k 取较大值 D. 剔除 x₁ 或 x₃，k 取较小值
在研究居民年度消费支出的回归模型中，因变量为消费支出（元），解释变量包括家庭月收入 x₁、月收入平方项 x₂=x₁²、家庭人口数 x₃。由于样本中家庭月收入集中在 8000–9000 元的狭窄区间，导致 x₁ 与 x₂ 的样本相关系数高达 0.99。关于这一情形，下列说法正确的是： A. 解释变量间高度相关使回归系数估计的方差显著增大，系数估计值不稳定，但模型整体仍可能通过 F 检验 B. 高度相关必然导致 F 检验不显著，说明所有解释变量对因变量都没有解释能力 C. 多重共线性会使回归系数估计的方差减小，从而提高系数估计的精度 D. 多重共线性违反了经典线性回归模型关于随机误差项同方差的假定，因此模型无效
在某企业产品销量的多元线性回归模型中，解释变量为广告投入 x₁、价格水平 x₂、渠道数量 x₃。由样本数据算得变量间的相关系数：r₁₂=0.8，r₁₃=0.2，r₂₃=0。请以 x₁ 为响应、x₂ 与 x₃ 为解释变量作辅助回归，计算其可决系数 R₁²，进而求 x₁ 的方差膨胀因子 VIF₁ 与容忍度 Tolerance₁，并判断 x₁ 与其余解释变量之间是否存在严重的多重共线性（通常以 VIF>10 为严重标准）。
某研究采用向前逐步回归建立 y 关于 x₁、x₂、x₃ 的线性回归模型，引入门槛为候选变量偏 F 统计量大于 4.00。第一步，x₁、x₂、x₃ 的偏 F 值分别为 5.20、3.10、6.80，则首个引入模型的变量是____；第二步，在已含该变量的模型中重新计算，x₁ 的偏 F 值为 4.60，x₂ 的偏 F 值为 2.50，则最终保留在模型中的自变量集合为____。
在一元线性回归诊断中，基于 n=15 组观测拟合含截距的模型，MSE=4。对第 i 个观测点，已知残差 eᵢ=-4.8，杠杆值 hᵢᵢ=0.20。则该点的学生化残差 rᵢ = eᵢ/√(MSE(1-hᵢᵢ)) 最接近于多少？ A. -2.40 B. -2.68 C. -3.00 D. -5.37
在含两个自变量的多元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε 中，对 n=13 组观测数据作回归，得回归平方和 SSR=210，残差平方和 SSE=70。取显著性水平 α=0.05，已知 F 临界值 F₀.₀₅(2,10)=4.10，t 临界值 t₀.₀₂₅(10)=2.228。则检验方程整体显著性的 F 统计量值为____（保留两位小数）；又已知 β₁ 的估计标准误 SE(β₁) 满足 SE(β₁)²=0.4×MSE，且 β̂₁=6，则检验 H₀:β₁=0 的 t 统计量值为____（保留两位小数）。结论：方程整体____（填“显著”或“不显著”），β₁ 显著（填“显著”或“不显著”）。
某农业试验站研究某作物亩产量 y（公斤/亩）与施肥量 x₁（公斤/亩）、灌溉量 x₂（立方米/亩）的关系，建立含截距项的二元线性回归模型 y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+ε。基于 n=20 个样本的中心化数据：Σ(x₁−x̄₁)²=10，Σ(x₂−x̄₂)²=8，Σ(x₁−x̄₁)(x₂−x̄₂)=4，Σ(x₁−x̄₁)(y−ȳ)=12，Σ(x₂−x̄₂)(y−ȳ)=10，且 x̄₁=5，x̄₂=20，ȳ=30。（1）求偏回归系数 b₁、b₂ 及截距 b₀，写出回归方程；（2）解释 b₁ 的实际含义。
某研究所为考察产品的销售量 y 与广告费用 x₁、促销人员数 x₂ 的关系，建立了多元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε。基于 n=20 组观测数据，经计算得：SSR=180，SSE=120。请完成：(1) 写出检验回归方程整体显著性的 F 统计量计算式，并求其值；(2) 给定显著性水平 α=0.05，已知 F₀.₀₅(2,17)=3.59，判断回归方程整体是否显著。
在研究某城市用电量的多元线性回归中，基于同一批样本（n=50）建立两个模型：模型A含6个自变量，决定系数R²=0.75；模型B含4个自变量，决定系数R²=0.74。利用调整决定系数 R̄² = 1 - (n-1)/(n-p) × (1-R²) 比较两模型，应选择的模型及其调整决定系数（保留三位小数）为 A. 模型A，R̄²=0.722 B. 模型B，R̄²=0.723 C. 模型A，R̄²=0.750 D. 模型B，R̄²=0.740
在某新建住宅区，用电量 y（千度）关于住户数 x（百户）的一元线性回归中，由 8 组月度观测数据算得回归系数的估计值 b₁ = 3，残差平方和 SSE = 24，自变量离差平方和 Sxx = 16。设误差方差 σ² 的估计为 SSE/(n−2)，并取 t 分布分位数 t₀.₀₂₅(n−2) = 2.447，则回归系数 β₁ 的 95% 置信区间约为（____，____）。