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某研究团队分析手机品牌对用户评分的影响，品牌分三个互斥类别：甲、乙、丙。若以「丙」为基准类别，设置两个虚拟变量 D₁、D₂：品牌为甲时 D₁=1、D₂=0；品牌为乙时 D₁=0、D₂=1；品牌为丙时 D₁=____、D₂=____。若某样本中观测到 D₁=0 且 D₂=0，则该样本对应的品牌是____。
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某银行研究客户贷款审批额度的影响因素，解释变量包括客户年收入（定量变量）与是否有房产抵押（定性变量，含两个互斥类别：有抵押、无抵押）。若以「无抵押」为基准类别设置虚拟变量 D，则当客户有房产抵押时 D=____，当客户无房产抵押时 D=____，这种设置方式称为____式虚拟变量。
设非线性回归模型 y=θ·e^x+ε（θ>0 为待估参数），不作变换，直接用非线性最小二乘法估计 θ。现有三组观测数据：(x,y)=(0,3)，(1,6)，(2,15)。即使残差平方和 S(θ)=∑[yᵢ-θe^(xᵢ)]² 达到最小的 θ 的估计值为（结果保留两位小数，参考值：e≈2.718，e²≈7.389） A. 2.07 B. 1.50 C. 2.50 D. 3.07
某物流公司用多元线性回归研究日配送成本 y（元）与配送件数 x₁（件）、行驶里程 x₂（公里）的关系，得到含截距项的回归方程。经检验方程整体显著。已知 x₂ 保持不变时，x₁ 每增加 1 件，y 平均增加 3.5 元；x₁ 保持不变时，x₂ 每增加 1 公里，y 平均增加 2 元。请据此回答：(1) 写出 x₁、x₂ 的偏回归系数及其单位；(2) 用一句话解释偏回归系数 b₂ 在本模型中的确切含义，说明它与简单地把所有件数不同的日成本直接作平均比较有何本质区别。
某疾控中心研究居民日均饮水量 y（毫升/天）与日平均气温 x₁（℃）、日均运动时长 x₂（小时）的关系，拟合了含截距项的二元线性回归方程。其中 x₂ 的偏回归系数为正，表明其他条件不变时运动时长越长饮水量越多。下列关于该方程中 x₁ 偏回归系数的解释，正确的是：A. 表示气温每升高1℃，饮水量平均增加的量，与运动时长无关 B. 表示在运动时长保持不变的条件下，气温每升高1℃饮水量平均变化的量 C. 表示气温与运动时长对饮水量影响中较大者的作用强度 D. 表示气温与饮水量之间简单相关关系的强弱
在研究某物流企业日均配送成本的多元线性回归中，基于同一样本（n=16）建立两个模型：模型A含4个自变量，决定系数R²=0.80；模型B含6个自变量，决定系数R²=0.84。利用调整决定系数 R̄² = 1 - (n-1)/(n-p) × (1-R²)（p 为自变量个数）比较两模型，应选择哪个模型？ A. 模型A，因其调整决定系数为0.75，高于模型B B. 模型B，因其调整决定系数为0.76，高于模型A C. 模型A，因其自变量更少 D. 模型B，因其决定系数更大
设 X = (x₁, x₂)ᵀ 服从二元正态分布 N₂(0, I₂)，其中 I₂ 为二阶单位矩阵。考察二次型 Q = 2x₁² − 4x₁x₂ + 2x₂²，则 Q 服从的分布是（ ） A. χ²(2) B. 4χ²(1) C. χ²(1) D. 2χ²(2)
对一维样本 {0,2,4,6,9,11} 执行 K-means 聚类（K=2），采用绝对距离 |x-y|，初始中心取 m₁=1、m₂=9。第一轮按最近中心将样本划分并更新两类中心；第二轮重新划分后发现不再变化，算法收敛。则第一轮更新后的两个中心分别为 ____ 和 ____，最终分类结果中与样本 0 同类的样本集合为 ____。
某研究团队对8个样品进行系统聚类，按不同聚类数k计算类内平方和SSE，结果如下：k=1时SSE=48，k=2时SSE=21，k=3时SSE=10，k=4时SSE=9.2，k=5时SSE=8.5。现采用“肘部法则”确定最佳聚类数目，判定规则为：取使SSE(k)首次不超过SSE(1)的25%（即SSE(k)≤0.25×SSE(1)）的最小k作为聚类数目。请依据该规则计算0.25×SSE(1)的值，并确定最佳聚类数目k。
对6个样本进行系统聚类（离差平方和法），依次合并时的类间距离依次为：第1次合并距离0.8，第2次合并距离1.2，第3次合并距离1.5，第4次合并距离4.6，第5次合并距离5.0。按“合并距离出现显著跃升则停止合并”的肘部法则确定聚类数目：若某次合并距离超过前一次合并距离的2倍，则在该次合并之前停止。请计算并指出最优聚类数目。
对6个样品作系统聚类，依次合并时的距离记录如下：由6类并成5类的距离为1.1，5类并成4类为2.0，4类并成3类为2.3，3类并成2类为5.1，2类并成1类为5.4。若采用肘部法（观察合并距离随类别数减少的增量突变处）确定聚类数目，则最佳聚类数为____。
在系统聚类分析中，常用碎石图（scree plot）辅助确定聚类数目。方法是：将各类内平方和随聚类数 k 变化绘制成折线图，观察曲线由陡峭转为平缓的拐点，该拐点对应的 k 即为参考聚类数。某次聚类中得到：k=2 时总类内平方和为 380，k=3 时为 150，k=4 时为 120，k=5 时为 110。按碎石图法，应选取的聚类数目为多少？ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
为考察两种训练方案对员工综合素质的影响，随机抽取两组员工各6名，分别观测其工作效能与协作能力两项指标（p=2）。经计算，两组合并的组内离差阵W的行列式 |W|=9，总离差阵T的行列式 |T|=25。请用Wilks统计量 Λ=|W|/|T| 检验两组均值向量是否存在显著差异：求Λ的值；将其转化为近似F统计量 F=[(1-Λ)/Λ]×[(n₁+n₂-p-1)/p]，其中n₁=n₂=6；并与临界值 F₀.₀₅(2,9)=4.26 比较后作出结论。
某大学统计实验室对两组各11名学生的三项生理指标进行比较。设第一组样本协方差阵行列式 |S₁|=4，第二组 |S₂|=9，两组合并样本协方差阵的行列式 |S_p|=8。按 Box M 检验，取统计量 M=(N−k)·ln|S_p|−Σ(nᵢ−1)·ln|Sᵢ|，其中 N=22 为总样本量，k=2 为组数（自然对数）。计算得 M 的值最接近 5.75。在显著性水平 α=0.05 下，取 M·C 近似服从自由度为 3 的卡方分布（修正因子 C≈1），临界值 χ²₀.₀₅(3)=7.81。则关于两组协方差阵是否相等的检验结论是：A. 不拒绝原假设，可认为两组协方差阵相等 B. 拒绝原假设，认为两组协方差阵不相等 C. M 值应约为 11.5，故拒绝原假设 D. M 值应为负，检验无效，需重新计算
设三维随机向量 (X₁, X₂, X₃) 服从三元正态分布，均值向量 μ=(0, 1, 0)，协方差矩阵 Σ=[[4,2,0],[2,3,1],[0,1,2]]。已知多元正态分布的任意条件分布仍为正态分布。则在给定 X₂=2 的条件下，X₁ 的条件分布为 N(____, ____)（第一空填条件均值，第二空填条件方差）。
为研究某软件的学习效应，测得训练时长 x（小时）与操作正确率 y（%）的 4 组数据。根据散点特征选用对数模型 y = a + b·ln x 进行拟合。令 x′ = ln x，则模型化为线性形式 y = a + b·x′。由数据算得：n = 4，Σx′ = 4，Σy = 22，Σ(x′)² = 6，Σx′y = 30。请：(1) 用最小二乘法求 b 与 a；(2) 写出拟合方程，并预测当训练时长 x = e² 小时时正确率 y 的值。
某城市交通管理部门研究一条地铁线路在不同运营时段与天气下的客流量，记录了 30 天的日均客流 Y（万人次）。设 Y 服从泊松分布，采用泊松回归模型 log(μ) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂，其中 x₁ 为时段指示变量（高峰时段取 1，平峰时段取 0），x₂ 为天气指示变量（雨天取 1，晴天取 0）。已拟合得 β̂₀ = 1.60，β̂₁ = 0.50，β̂₂ = −0.30（e^1.60 ≈ 4.953，e^2.10 ≈ 8.166，e^1.80 ≈ 6.050，e^2.30 ≈ 9.974）。试求：晴天高峰时段该线路日均客流的预测值（万人次），结果保留两位小数。
关于岭回归估计与最小二乘估计的比较，下列说法正确的是： A. 岭回归估计是无偏估计，且在均方误差意义下总是优于最小二乘估计 B. 岭回归估计是有偏估计，但适当选取岭参数时，其均方误差可以小于最小二乘估计的均方误差 C. 岭回归估计是使残差平方和达到最小的估计，与最小二乘估计的目标函数完全相同 D. 当岭参数 k 增大时，岭回归估计的偏差随之减小，方差随之增大
某医院研究患者是否出现术后并发症（出现记1，未出现记0）与年龄 x 的关系，建立Logistic回归模型：ln(π/(1−π)) = β₀ + β₁x，其中 π 为并发症出现概率。由极大似然估计得 β̂₀ = −2.0，β̂₁ = 0.05。对 β₁ 的检验，Wald统计量为 W = (β̂₁/SE(β̂₁))² = 4.84。已知 Wald 统计量在原假设 H₀: β₁ = 0 下近似服从自由度为1的卡方分布，取显著性水平 α = 0.05，临界值 χ²₀.₀₅(1) = 3.84。请判断年龄对并发症出现概率的影响是否显著，并说明理由。
为研究广告投入 x（万元）对线上销售额 y（万元）的影响，某公司引入虚拟变量 D（D=1 表示一线城市，D=0 表示其他城市），并估计模型 y = β₀ + β₁x + β₂D + β₃xD + ε，得 β̂₁ = 2.5，β̂₂ = 40，β̂₃ = 1.5。则一线城市的广告投入边际效应（每增加 1 万元广告带来的销售额增量）比其他城市高 ____ 万元，且当两地区广告投入均为 10 万元时，一线城市的预测销售额比其他城市高 ____ 万元。