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一空腔处于温度 T=290 K 的热平衡态，可视为黑体。已知普朗克黑体辐射公式给出的谱辐射出射度 M(λ,T) = 2πhc²/λ⁵ · 1/(e^(hc/(λkT)) − 1)，维恩常量 b = 2.898×10⁻³ m·K，h = 6.626×10⁻³⁴ J·s，c = 3.00×10⁸ m/s。求该黑体辐射极大值对应的波长 λm，并以纳米为单位表示。
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设系统由 N 个可分辨的定域子系组成，每个子系只有两个能级：基态能量 0，简并度 g₀=1；激发态能量 ε，简并度 g₁=3。子系按玻尔兹曼分布 nᵢ∝gᵢe^(−βε) 占据各能级（β=1/kT）。（1）由等概率原理与最概然分布方法（拉格朗日乘子法）简述玻尔兹曼分布 nᵢ=gᵢe^(−α−βε) 的推导思路；（2）实验测得处于激发态的子系数与总子系数之比 n₁/N=1/4，求 e^(−βε) 的值；（3）求系统的内能 E 与温度参量 β 的关系式，并代入（2）的结果求 E/N。
设一立方容器体积 V = 3 m³ 内盛有 N = 9×10²⁴ 个某单原子理想气体分子，处于温度 T = 300 K 的平衡态。按照统计理论，压强可由分子对器壁碰撞的动量输运导出，满足 pV = (2/3)N·ε̄，其中 ε̄ 为单个分子平均平动动能。已知由能量均分定理 ε̄ = (3/2)kT，玻尔兹曼常数 k = 1.38×10⁻²³ J/K。求：(1) 单个分子的平均平动动能 ε̄；(2) 气体的压强 p。
某系统由 N 个可分辨的全同粒子组成，只有两个能级：ε₀=0（简并度 g₀=1）和 ε₁=ε（简并度 g₁=3）。（1）写出系统微观态总数 Ω 用各能级粒子数 n₀、n₁ 表示的表达式，并在总粒子数 N=n₀+n₁ 与总能量 E=n₁ε 两个约束下，用拉格朗日乘子法从 lnΩ 取极大导出玻尔兹曼分布 nᵢ∝gᵢe^(−βεᵢ)，说明 β 与温度的关系由理想气体定容热容或与温度的宏观定义比较确定；（2）设在某温度 T 下 ε/(kT)=ln6，求该温度下处于激发态 ε₁ 与基态 ε₀ 的粒子数之比 n₁/n₀，以及激发态粒子数占总粒子数的比例 n₁/N。
设某物质液相和气相的摩尔体积分别为 V₁=1.1×10⁻⁵ m³/mol 和 V₂=3.2×10⁻² m³/mol，在温度 T=350 K 时其饱和蒸气压随温度的变化率为 dp/dT=4.5×10³ Pa/K。已知相变潜热随温度变化可忽略，试利用克拉珀龙方程求该物质在此温度下的摩尔汽化热，并判断该相变是体积增大还是体积减小的相变。
某均匀系统的吉布斯函数为 G(T)=2000−20T−0.01T²（单位：J，T 为热力学温度，单位 K）。试利用吉布斯-亥姆霍兹方程的相关关系式，求该系统在 T=300 K 时的熵 S 和焓 H 的值。
某气体的摩尔物态方程为 p = RT/(v−b) − a/v²，其中 a、b 为常数。已知摩尔内能满足 (∂u/∂v)_T = T(∂p/∂T)_v − p。（1）推导该气体 (∂u/∂v)_T 的表达式；（2）写出 (∂s/∂v)_T 的表达式（用麦克斯韦关系）；（3）若 a = 0.024 Pa·m⁶·mol⁻²，v = 0.02 m³·mol⁻¹，计算 (∂u/∂v)_T 的数值。
某物质的物态方程为 p(v,T) = RT/v（v 为摩尔体积）。利用麦克斯韦关系 (∂s/∂v)_T = (∂p/∂T)_v 及内能的微分关系 (∂u/∂v)_T = T(∂p/∂T)_v − p，求该物质内能对体积的偏导数 (∂u/∂v)_T 的值。
1 mol 理想气体（单原子，C_V=3R/2，R=8.31 J/(mol·K)）从初态（T₁=400 K，V₁=1.00 L）出发，先经可逆等温过程体积膨胀至 2.00 L，再经可逆等容过程温度降至 300 K，到达末态。已知熵是态函数，ΔS=∫dQ_rev/T。求：(1) 等温过程的熵变 ΔS₁；(2) 等容过程的熵变 ΔS₂；(3) 全过程的总熵变 ΔS。结果保留三位有效数字。
某系统在温度 T=400 K 的热源处吸热 Q=500 J，同时系统的熵变为 ΔS=1.2 J/K。试用克劳修斯不等式判据计算 ΔS−Q/T 的值，并判断该过程是可逆过程、不可逆过程，还是违反热力学第二定律而不可能发生的过程。
在恒定压强下，质量为 1.2 kg 的某合金块吸收热量 1.02×10⁴ J 后，温度由 30 ℃ 升高到 45 ℃。设在该温度区间内合金的比热容为常量。求此合金的比热容。
低能粒子被某球对称势场散射，仅 l=0 与 l=1 两个分波有显著贡献，其余各分波相移可忽略。已知入射波数 k = 1，s 波相移 δ₀ = π/6，p 波相移 δ₁ = π/6。由分波法求总散射截面 σ，并指出微分截面中不同分波干涉项对总截面的贡献（只需说明为零）。
设轨道角动量量子数 l=2，其本征态记为 |2,m⟩（m=2,1,0,−1,−2），满足 L²|2,m⟩=l(l+1)ℏ²|2,m⟩，Lz|2,m⟩=mℏ|2,m⟩。某体系处于归一化态 |ψ⟩ = (1/√21)(|2,2⟩ + 2|2,1⟩ + 4|2,0⟩)。(1) 验证 |ψ⟩ 确已归一化；(2) 求测量 Lz 得到 0 的概率；(3) 求 ⟨L²⟩ 与 ⟨Lz⟩（以 ℏ 表示）。
质量为 m 的粒子（取 ħ=1）被球对称指数势 V(r)=V₀e^(-μr) 散射，其中 V₀、μ 为正常数。已知一级玻恩近似下，对中心势 V(r)，散射振幅为 f(θ)=-(2m/q)∫₀^∞ rV(r)sin(qr)dr，其中 q=2k·sin(θ/2) 为动量转移。利用积分公式 ∫₀^∞ re^(-μr)sin(qr)dr = 2μq/(μ²+q²)²，求 f(θ) 的表达式。
某孤立系统由8个可分辨程度相同的分子组成，分子按速度大小分为两组状态。定义单位体积的H函数为 H=Σ (gᵢ/N) ln(gᵢ/N)，其中 gᵢ 为处于第 i 组的分子数，N=8 为总分子数，对数以 e 为底。设初始时刻两组分子数分别为 g₁=6、g₂=2，经分子间碰撞充分演化后达到均匀分布 g₁=g₂=4。（1）计算初始时刻的 H 值；（2）计算末态的 H 值；（3）求 ΔH=H末−H初，并依玻尔兹曼 H 定理说明该结果是否合理。
某球形布朗微粒悬浮于温度 T=300 K 的液体中，已知其斯托克斯阻力系数为 γ=4.14×10⁻¹⁰ N·s/m，玻尔兹曼常量 k=1.38×10⁻²³ J/K。（1）求该微粒的扩散系数 D；（2）已知液体粘度 η=2.2×10⁻⁴ Pa·s，利用斯托克斯公式 γ=6πηa 求微粒半径 a；（3）由所得结果说明爱因斯坦关系 D=kT/γ 反映的物理联系。
某单原子分子理想气体系统与温度 T = 300 K 的大热源接触并处于平衡，其定容热容为 Cv = 12.5 J/K。已知玻尔兹曼常量 k_B = 1.38×10⁻²³ J/K。根据热力学涨落的基本公式，计算该系统内能的方均涨落 <(ΔE)²>，并给出内能的方均根涨落 ΔE_rms。
某单原子分子理想气体由巨正则系综描述，化学势为 μ，温度为 T，体积为 V，粒子质量为 m，热波长 λ = h/√(2πmkT)，每个粒子能量为 p²/2m。已知单粒子配分函数 Z₁ = V/λ³。试写出巨配分函数 Ξ 的表达式（用 μ、T、V 表示），并由 ln Ξ 求出平均粒子数 N̄ 和平均能量 Ū 的表达式，最后给出压强 p 与 Ū 的关系。
将 N=8×10²² 个质量为 m 的全同玻色子视为理想玻色气体，封闭在体积 V=1.0×10⁻⁶ m³ 的容器中，已知其玻色-爱因斯坦凝聚临界温度 Tc=300 K。(1) 写出发生玻色-爱因斯坦凝聚时激发态粒子数所满足的条件，并说明凝聚的物理含义；(2) 将系统温度降至 T=150 K（T<Tc），求基态凝聚的粒子数 N₀（结果用解析式表示并给出数值）。
实验室里，小红将两只小灯泡L₁和L₂并联后接到电源上，用电压表测得灯泡L₁两端的电压为2.5V。求：（1）灯泡L₂两端的电压是多少？（2）电源电压是多少？