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某社区下辖 4 个小区，现采用放回的 PPS 抽样从中抽取 1 次，各小区的规模（户数）分别为：甲小区 400，乙小区 600，丙小区 900，丁小区 100，总规模为 2000。规定各小区被抽中的概率与其规模成比例（即 πᵢ = n·Mᵢ/M，此处 n=1）。请写出每个小区的包含概率 πᵢ，并验证这些包含概率之和等于样本量 n。
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某高校图书馆新到图书共 N=45 册，按编号 1 至 45 顺序排列。现采用圆形系统抽样从中抽取 n=5 册检查装订质量，抽样间隔 k=9，在 1 至 45 中随机确定的起点为 r=28，从起点开始沿编号递增方向连续抽取（编号超过 45 时回到 1 继续计数）。请写出被抽中的 5 册图书的编号，并计算第 4 个被抽中编号与第 1 个被抽中编号的编号之差。
某总体分为两层，层权分别为 W₁=0.6，W₂=0.4。从各层独立进行简单随机抽样，样本量 n₁=20，n₂=30。已知第一层样本均值 ȳ₁=52，第二层样本均值 ȳ₂=38，两层样本方差分别为 s₁²=16，s₂²=25。试求总体均值 Ȳ 的分层估计量 ŷst，并给出其方差的估计 v(ŷst)（按放回抽样公式计算，结果保留两位小数）。
设二维时间序列 y_t = (y₁,t, y₂,t)ᵀ 服从 VAR(1) 模型 y_t = A y_(t-1) + ε_t，其中 A = [[0.4, 0.3], [-0.1, 0.5]]，ε_t 为白噪声，各分量方差有限且相互独立。以 Ψ(h) = A^h（h = 0, 1, 2, …）表示该模型的脉冲响应矩阵，Ψ(h) 的第 i 行第 j 列元素表示 ε_jt 的一个单位冲击对 y_i,(t+h) 的影响。(1) 写出 y₁,t 对 ε₂,t 单位冲击的脉冲响应在 h = 1 和 h = 2 处的值；(2) 判断该 VAR(1) 系统是否平稳（即 A 的特征根是否全部位于单位圆内），并说明脉冲响应是否随 h → ∞ 收敛于零。
某养殖场共有 N=250 个鱼塘，欲估计鱼塘平均产量，已知总体方差 σ²=80（千克²）。（1）若采用放回简单随机抽样抽取 n=25 个鱼塘，求样本均值估计量的方差；（2）若采用不放回简单随机抽样抽取 n=25 个鱼塘，求样本均值估计量的方差（抽样比小于5%时可用近似公式，此处请用精确有限总体修正系数）。
设二维时间序列 y_t = (y₁,t, y₂,t)ᵀ 服从 VAR(1) 模型 y_t = A y_(t-1) + ε_t，其中误差项为标准正交白噪声（协方差矩阵为单位矩阵），系数矩阵 A 的元素为：第一行 (0.2, 0)；第二行 (0.3, 0.6)。记 ψ(h) = A^h 为脉冲响应函数矩阵（h 步脉冲响应）。请计算：(1) y₁ 对 ε₁ 的 1 步脉冲响应 ψ(1) 的第 (1,1) 元素；(2) y₁ 对 ε₁ 的 2 步脉冲响应 ψ(2) 的第 (1,1) 元素，要求写出矩阵乘法过程。
某乡有 5 个行政村，现采用放回的 PPS 抽样从中抽取 2 次，各村的规模（住户数）分别为：A 村 300，B 村 500，C 村 700，D 村 200，E 村 300。设各村在一次抽取中被抽中的概率与其规模成比例。请计算：(1) 各村在一次抽取中被抽中的概率 pᵢ；(2) 各村的包含概率 πᵢ（即各村至少被抽中一次的概率）。
某市有100个街道，从中随机不放回抽取10个街道，再从每个被抽街道的200户中不放回随机抽取20户调查家庭月用水量。已知街道间总体方差 S₁²=400 升²，街道内户间总体方差 S₂²=50 升²。写出该两阶段抽样估计家庭月平均用水量的估计量方差的表达式并计算其数值（单位：升²）。
某企业有 N=400 名员工，按员工编号 1 至 400 顺序排列，采用系统抽样从中抽取容量 n=20 的样本，抽样间隔 k=20。若随机起点为 7，则抽中的员工编号依次为 7, 27, 47, …, 387。已知样本中 20 名员工的日加工件数之和为 1800 件，试用样本均值估计全体员工平均日加工件数，并写出该系统抽样估计量的表达式。
对某时间序列拟合模型后得到残差序列 {εₜ}，样本量 n=80。现对该残差序列作 Ljung-Box 白噪声检验，取滞后阶数 m=3，测得各阶残差自相关系数为 r₁=0.06，r₂=0.08，r₃=0.04。试计算 Ljung-Box 统计量 Q(LB)=n(n+2)∑(rₖ²/(n−k))（k=1 到 m）的值，并在显著性水平 α=0.05 下（χ²(3) 的 0.05 上侧分位数为 7.81）判断该残差序列能否视为白噪声。
某高校共有 3000 名教职工，拟采用不重复简单随机抽样估计其中持有某资格证书的比例。取置信度约 95%（z=2），允许的估计误差限 d=0.05，且事先对比例 p 完全未知，故取 p=0.5 以求最保守的样本量。请求出所需的最小样本量 n。
某物流园区共有 N=600 个网点，采用不放回简单随机抽样抽取 n=40 个网点调查日发货量。已知各网点日发货量的总体方差 S²=45（件²）。求样本均值估计量 ȳ 的方差 V(ȳ)，并计算其标准误 SE(ȳ)（结果保留三位小数）。
设时间序列 {xₜ} 与 {yₜ} 均为一阶单整 I(1) 序列。取线性组合 zₜ = xₜ + 5yₜ − 8，经检验 {zₜ} 为零均值平稳白噪声序列。试判断：序列 {xₜ} 与 {yₜ} 之间是否存在协整关系？若存在，写出协整向量并指出协整组合序列 zₜ 的单整阶数。
设平稳 AR(1) 模型 X_t = 0.6·X_{t-1} + ε_t，其中 {ε_t} 为零均值白噪声，方差 σ² = 3。已知 X_30 = 6。（1）用最小均方误差准则求 X_32 的点预测值；（2）求该预测的预测方差；（3）在正态误差假设下，写出 X_32 的 95% 预测区间（取 z₀.₀₂₅ = 1.96），结果保留两位小数。
设一阶单整序列 y_t 与 x_t 存在协整关系，长期均衡为 y_t = 5x_t，协整残差 e_t = y_t − 5x_t。某研究者将双变量误差修正模型设定为：Δy_t = αe_{t-1} + βΔx_t + u_t，且已知当偏离均衡时 y 的调整速度 α = −0.5。若 y_{t-1} = 102，x_{t-1} = 20，Δx_t = 2，β = 0.8，u_t = 0。求：(1) 误差修正项 e_{t-1} 的值；(2) 本期 y 的变化量 Δy_t；(3) 若调整速度由 −0.5 误设为 +0.5，则 Δy_t 又为多少？并据此说明正确设定的 α 应满足什么符号条件才能保证系统向均衡收敛。
某研究人员对一个月度宏观经济序列 {y_t} 进行单位根检验。该序列无确定性趋势，故采用含截距项的 DF 回归：Δy_t = α + γ·y_(t-1) + u_t，以 t 统计量检验原假设 H₀: γ = 0（序列存在单位根）对备择假设 H₁: γ < 0（序列平稳）。已知样本容量 T = 121，估计得到的 γ 的 t 统计量为 t = -2.18，而该情形下 DF 检验在 5% 显著性水平下的临界值为 -2.86，在 10% 显著性水平下的临界值为 -2.57。请依据 DF 检验原理回答：（1）说明 t = -2.18 作为检验统计量时应与何种分布的临界值比较，能否直接查标准 t 分布表判断？（2）在 5% 和 10% 两个显著性水平下分别判断能否拒绝原假设，并据此给出该序列在两个水平下平稳性检验的最终结论。
设二维时间序列 yₜ=(y₁ₜ, y₂ₜ)′ 服从不含常数项的 VAR(1) 模型，且已知模型结构满足：y₂ₜ 不受 y₁ₜ₋₁ 的影响（对应滞后系数为 0），其余跨方程与自身滞后系数均不为零，误差项 εₜ=(ε₁ₜ, ε₂ₜ)′ 为白噪声向量。请写出该 VAR(1) 模型的一般形式：先写出矩阵形式 yₜ=A₁yₜ₋₁+εₜ 中 A₁ 的结构，再写出两个分量方程的具体表达式（系数用 a₁₁、a₁₂、a₂₁、a₂₂ 表示，并标明哪些为零）。
设二维时间序列 yₜ=(y₁ₜ, y₂ₜ)′ 服从 VAR(2) 模型：yₜ = c + A₁yₜ₋₁ + A₂yₜ₋₂ + εₜ，其中常数向量 c = (0.5, −1)′，滞后一期系数矩阵 A₁ = [[0.3, 0.1], [−0.2, 0.4]]，滞后两期系数矩阵 A₂ = [[0.2, 0], [0.1, −0.3]]，εₜ 为白噪声向量。请写出该 VAR(2) 模型对应的两个分量方程的完整显式表达式。
某检验人员打算对序列 x_t 的对数序列 ln x_t 进行 ADF 单位根检验。考虑到 ln x_t 具有明显的线性上升走势且存在序列相关，请写出该检验应采用的含常数项与趋势项、含两阶滞后差分项的 ADF 检验回归模型，标明各参数下标，并说明在原假设 H₀ 下参数 γ 的取值是什么。
某工厂共有 N=40 名质检员，按编号 1 至 40 排列，现采用线性系统抽样从中抽取 n=8 人进行工时考核。先计算抽样间隔 K=⌊N/n⌋=5，再在 1 至 K 中随机确定起点 r=3，则入样编号依次为 r, r+K, r+2K, …。已知这 8 名质检员的周工时（小时）依次为 12, 15, 13, 17, 14, 16, 15, 18。求：(1) 写出全部入样编号；(2) 用样本均值估计全体质检员的平均周工时。