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某医院为鉴别两种同类疾病，分别从甲病（π₁）和乙病（π₂）中各抽取训练样本建立距离判别规则。回代检验时，π₁ 的 12 个样品中有 3 个被误判入 π₂，π₂ 的 15 个样品中有 2 个被误判入 π₁。为更客观评价判别效果，又对同一判别规则做留一法交叉验证，此时 π₁ 有 4 个样品被误判，π₂ 有 3 个样品被误判。试分别计算：（1）回代误判率（表观误判率）；（2）留一法误判率估计；（3）判断该判别规则的实际效果是偏乐观还是偏悲观，并简述理由。
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为考察某化学处理是否改变溶液的两项特性指标 X₁, X₂，从处理前、处理后的溶液中各独立随机抽取 6 份样本（n₁=n₂=6）。由样本算得两总体协方差阵的合并估计 S = [[2,1],[1,2]]，两样本均值向量之差 d = x̄₁ − x̄₂ = (4, 2)′。在两总体均为二元正态且协方差阵相等的假定下，取显著性水平 α=0.05，试用两样本 Hotelling T² 检验判断处理前后两总体的均值向量是否存在显著差异。已知 F₀.₀₅(2,9) = 4.26。
设非线性回归模型 y = x/θ + ε（θ>0 为待估参数，模型对参数非线性，不作变换，直接采用非线性最小二乘法）。现有三组观测数据：(x,y)=(1,1)，(1,1)，(2,1)。记残差平方和 S(θ)=Σ[yᵢ−xᵢ/θ]²。(1) 写出驻点方程并对 S(θ) 求导化简，求 θ 的非线性最小二乘估计 θ̂；(2) 计算 S(θ̂)。
某公司研究广告投入 x（万元）对月销售额 y（万元）的影响，测得 4 期数据。由散点特征选用对数模型 y = a + b·ln x 拟合。令 x′ = ln x，将其化为线性回归 y = a + b·x′。经计算得：n = 4，Σx′ᵢ = 10，Σyᵢ = 40，Σx′ᵢ² = 30，Σx′ᵢyᵢ = 110。试用最小二乘法求 b 和 a 的估计值，并写出拟合方程。
某保险公司研究客户是否购买某附加险（购买记1，未购买记0）与年收入 x（单位：十万元）的关系，建立Logistic回归模型 ln(π/(1−π)) = β₀ + β₁x。由极大似然估计得 β̂₀ = −0.6，β̂₁ = 0.5，且 β̂₁ 的标准误 SE(β̂₁) = 0.25。(1) 求年收入 x = 2（即20万元）时客户购买该附加险的概率 π（保留4位小数）；(2) 对 β₁ = 0 构造Wald统计量 z = β̂₁/SE(β̂₁)，在显著性水平 α = 0.05 下判断年收入对购买行为的影响是否显著（参考临界值 z₀.₀₂₅ = 1.96）。
某保险公司研究保单持有人一年内的理赔次数 Y 与年龄 x（岁）的关系。设 Y|X=x 服从泊松分布，采用泊松回归模型 log(μ) = β₀ + β₁x，其中 μ = E(Y|X=x)。由样本估计得 β₀ = -2，β₁ = 0.4。现有一名年龄为 5 岁（模型中自变量取 x = 5）的投保人，请计算：(1) 该投保人的期望理赔次数 μ；(2) 该投保人一年内理赔次数为 0 的概率 P(Y = 0)（结果保留 4 位小数）。
某研究人员考察温度 x 对某化学品日产量损失率的影响，构建广义线性模型。他给出四条候选表述：① 随机成分：设 Y 服从 Gamma 分布，均值 E(Y)=μ；② 系统成分：线性预测子 η=β₀+β₁x；③ 连接函数：g(μ)=η，即 g(μ)=ln μ；④ 随机成分：设 Y 服从 N(μ², σ²)，其中 μ 由连接方程 ln μ=β₀+β₁x 反解得到。请指出其中正确刻画了广义线性模型三大组成部分（随机成分、系统成分、连接函数）的表述序号，并写出该模型的连接函数在 μ=1 处的函数值。
某物流公司用多元线性回归研究日配送成本 y（元）与配送件数 x₁（件）、行驶里程 x₂（公里）的关系，得到含截距项的回归方程。经检验方程整体显著。已知 x₂ 保持不变时，x₁ 每增加 1 件，y 平均增加 3.5 元；x₁ 保持不变时，x₂ 每增加 1 公里，y 平均增加 2 元。请据此回答：(1) 写出 x₁、x₂ 的偏回归系数及其单位；(2) 用一句话解释偏回归系数 b₂ 在本模型中的确切含义，说明它与简单地把所有件数不同的日成本直接作平均比较有何本质区别。
某研究团队对8个样品进行系统聚类，按不同聚类数k计算类内平方和SSE，结果如下：k=1时SSE=48，k=2时SSE=21，k=3时SSE=10，k=4时SSE=9.2，k=5时SSE=8.5。现采用“肘部法则”确定最佳聚类数目，判定规则为：取使SSE(k)首次不超过SSE(1)的25%（即SSE(k)≤0.25×SSE(1)）的最小k作为聚类数目。请依据该规则计算0.25×SSE(1)的值，并确定最佳聚类数目k。
对6个样本进行系统聚类（离差平方和法），依次合并时的类间距离依次为：第1次合并距离0.8，第2次合并距离1.2，第3次合并距离1.5，第4次合并距离4.6，第5次合并距离5.0。按“合并距离出现显著跃升则停止合并”的肘部法则确定聚类数目：若某次合并距离超过前一次合并距离的2倍，则在该次合并之前停止。请计算并指出最优聚类数目。
为考察两种训练方案对员工综合素质的影响，随机抽取两组员工各6名，分别观测其工作效能与协作能力两项指标（p=2）。经计算，两组合并的组内离差阵W的行列式 |W|=9，总离差阵T的行列式 |T|=25。请用Wilks统计量 Λ=|W|/|T| 检验两组均值向量是否存在显著差异：求Λ的值；将其转化为近似F统计量 F=[(1-Λ)/Λ]×[(n₁+n₂-p-1)/p]，其中n₁=n₂=6；并与临界值 F₀.₀₅(2,9)=4.26 比较后作出结论。
为研究某软件的学习效应，测得训练时长 x（小时）与操作正确率 y（%）的 4 组数据。根据散点特征选用对数模型 y = a + b·ln x 进行拟合。令 x′ = ln x，则模型化为线性形式 y = a + b·x′。由数据算得：n = 4，Σx′ = 4，Σy = 22，Σ(x′)² = 6，Σx′y = 30。请：(1) 用最小二乘法求 b 与 a；(2) 写出拟合方程，并预测当训练时长 x = e² 小时时正确率 y 的值。
某城市交通管理部门研究一条地铁线路在不同运营时段与天气下的客流量，记录了 30 天的日均客流 Y（万人次）。设 Y 服从泊松分布，采用泊松回归模型 log(μ) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂，其中 x₁ 为时段指示变量（高峰时段取 1，平峰时段取 0），x₂ 为天气指示变量（雨天取 1，晴天取 0）。已拟合得 β̂₀ = 1.60，β̂₁ = 0.50，β̂₂ = −0.30（e^1.60 ≈ 4.953，e^2.10 ≈ 8.166，e^1.80 ≈ 6.050，e^2.30 ≈ 9.974）。试求：晴天高峰时段该线路日均客流的预测值（万人次），结果保留两位小数。
某医院研究患者是否出现术后并发症（出现记1，未出现记0）与年龄 x 的关系，建立Logistic回归模型：ln(π/(1−π)) = β₀ + β₁x，其中 π 为并发症出现概率。由极大似然估计得 β̂₀ = −2.0，β̂₁ = 0.05。对 β₁ 的检验，Wald统计量为 W = (β̂₁/SE(β̂₁))² = 4.84。已知 Wald 统计量在原假设 H₀: β₁ = 0 下近似服从自由度为1的卡方分布，取显著性水平 α = 0.05，临界值 χ²₀.₀₅(1) = 3.84。请判断年龄对并发症出现概率的影响是否显著，并说明理由。
某物流公司研究员工日工资的影响因素，拟建立回归模型，解释变量包括工作年限 x（定量，单位：年）与是否持有职业资格证书（定性，含两个互斥类别：已持有、未持有）。请以「未持有」为基准类别设置虚拟变量 D，写出 D 的取值规则，并写出含该虚拟变量的回归模型的一般形式（参数用 β₀、β₁、β₂ 表示），同时说明系数 β₂ 的含义。
某研究小组考察催化剂用量 x 与反应速率 y 的关系，拟用模型 y = a·e^(b√x)（a>0）拟合。为线性化，对模型两边取自然对数，令 z = ln y，t = √x，则 z = ln a + b·t。实验获得三组数据：(1, 3e^0.5)，(4, 3e)，(9, 3e^1.5)。（1）写出变换后各点的坐标 (tᵢ, zᵢ)；（2）由这三点求出 b 与 a 的值；（3）据此预测 x = 25 时 y 的值（结果用 e 的幂表示）。
设线性模型 y=β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+ε 的数据已中心化并单位化，设计矩阵满足正交条件 XᵀX=I，此时最小二乘估计为 b=(b₁,b₂,b₃)ᵀ=(6,−4,1)ᵀ。现采用Lasso估计，即最小化 ||y−Xβ||²+λ∑|βⱼ|（λ>0），其解具有软阈值形式 β̂ⱼ=sign(bⱼ)(|bⱼ|−λ)₊。取 λ=5：(1) 写出 β̂₁、β̂₂、β̂₃ 的值；(2) 指出Lasso保留了哪些变量，并说明被删去变量的系数被压缩成了什么值，体现了Lasso的何种性质。
在某地区商品房价格研究项目中，研究者建立了以房价（万元）为因变量，房屋面积 x₁、房间数 x₂、房龄 x₃ 为解释变量的多元线性回归模型。收集数据后发现：x₁ 与 x₂ 的样本相关系数高达 0.97，且对 x₂ 关于 x₁ 作辅助回归的可决系数 R²=0.9409。某同学据此认为：「既然 R² 很高，说明模型整体拟合优度好，因此 x₁ 与 x₂ 之间的这种关系对回归分析没有危害，可以不作处理。」请回答：(1) 指出该同学说法中的判断错误，说明 x₁ 与 x₂ 之间存在何种问题；(2) 说明这种问题会导致最小二乘回归系数估计值出现哪些危害（至少写出两条）；(3) 计算方差膨胀因子 VIF₂=1/(1-R²) 的数值，并依据经验法则 VIF>10 判断共线性是否严重。
在研究某地区每月用电量 y 关于平均气温 x 的线性回归时，得到 32 组残差。为检验误差方差齐性，采用 Goldfeld-Quandt 检验：将气温从小到大排序后剔除中间 6 组数据，前 13 组与后 13 组的残差平方和分别为 SSE₁=39 与 SSE₂=117，构造统计量 F=SSE₂/SSE₁，其在显著性水平 α=0.05 下的临界值为 F₀.₀₅(11,11)=2.82。为检验误差项正态性，计算得残差的 Shapiro-Wilk 统计量 W=0.958，临界值 W₀.₀₅(32)=0.930。试计算 F 统计量的值，并在 α=0.05 下分别给出方差齐性与正态性检验的结论。
在某多元线性回归诊断中，基于 n=21 个观测拟合了含 p=3 个回归参数（含截距）的线性模型。已知第 9 个观测点的普通残差 e₉=6，误差方差估计 s²=4，杠杆值 h₉₉=0.5。库克距离的计算公式为 D_i = (r_i²/p)·(h_ii/(1−h_ii))，其中 r_i 为标准化残差，满足 r_i² = e_i²/(s²·h_ii)。请计算第 9 个观测点的库克距离 D₉，并判断该点（以 D_i>1 为强影响点判别标准）是否为强影响点。